§ 3.7NCERT कक्षा 11 · भौतिकी · अध्याय 3

द्विविमीय में आपेक्षिक वेग — नदी-नाव एवं वर्षा समस्याएँ (पाठ्यक्रम पूरक)

QCC Notes · कक्षा 11 भौतिकी NCERT आधारित अद्यतन 26 सितंबर 2026 11 मिनट पठन

1. समतल में आपेक्षिक वेग क्या है?

अध्याय 2 का नियम v_AB = v_A − v_B पूरी तरह लागू रहता है — केवल अब यह घटाव एक वास्तविक सदिश व्यवकलन (विषय 1) है, जिसे घटक-दर-घटक किया जाता है। B के सापेक्ष A का वेग v_AB = v_A − v_B है; प्रेक्षक को उलटने पर सदिश विपरीत हो जाता है: v_BA = −v_AB; और किसी मध्यवर्ती निर्देश तंत्र के माध्यम से रूपांतरण श्रृंखला नियम (chain rule) v_AC = v_AB + v_BC का पालन करता है — यही प्रत्येक "नदी में नाव" और "वर्षा में व्यक्ति" समस्या का मूल आधार है: v_{नाव,धरातल} = v_{नाव,जल} + v_{जल,धरातल}।

परीक्षा में दो निर्देश-तंत्र रूपांतरण स्थितियाँ प्रमुख हैं। नदी-नाव समस्या: एक नाव जो जल के सापेक्ष v_bw से चल सकती है, उसे v_w वेग से बहने वाली d चौड़ाई की नदी पार करनी है — प्रश्न हमेशा यह होता है कि नाव का रुख किस दिशा में रखा जाए? वर्षा-व्यक्ति समस्या: ऊर्ध्वाधर रूप से गिरती वर्षा गतिमान प्रेक्षक के लिए एक आभासी क्षैतिज घटक प्राप्त कर लेती है, जिससे छाते का झुकाव कोण निर्धारित होता है। ये दोनों स्थितियाँ एक त्रिभुज की सहायता से सावधानीपूर्वक v_AB = v_A − v_B का विश्लेषण करने के अलावा और कुछ नहीं हैं।

2. संपूर्ण सिद्धांत: दो पारगमन मोड और छाते का कोण

मोड 1 — न्यूनतम समय (Shortest time)। पार करने का समय केवल किनारों के लंबवत वेग घटक द्वारा निर्धारित होता है: t = d/v_⊥। t को न्यूनतम करने के लिए, v_⊥ को अधिकतम करें — नाव का रुख ठीक सामने (किनारों के लंबवत) रखें (v_⊥ = v_bw, इसका अधिकतम संभव मान)। तब t_min = d/v_bw, और जलधारा नाव को अपवाह (drift) = v_wt_min अनुप्रवाह (downstream) की ओर बहा ले जाती है। न्यूनतम समय में पार करने पर गंतव्य हमेशा अभीष्ट बिंदु से अनुप्रवाह में प्राप्त होता है।

मोड 2 — शून्य अपवाह या न्यूनतम पथ (Zero drift / Shortest path)। ठीक सामने वाले बिंदु पर पहुँचने के लिए, नाव के धारा के प्रतिकूल घटक को धारा के वेग को निरस्त करना होगा: v_bw sin φ = v_w, जहाँ φ लंबवत रेखा से धारा के प्रतिकूल (upstream) कोण है। इसके लिए आवश्यक शर्त v_bw > v_w है; अन्यथा sin φ का मान 1 से अधिक हो जाएगा और कोई भी दिशा नाव को सामने नहीं पहुँचा सकती। जब यह संभव होता है, तो प्रभावी पारगमन चाल √(v_bw² − v_w²) होती है और समय d/√(v_bw² − v_w²) होता है — जो कि हमेशा न्यूनतम समय से अधिक होता है। तुलना "t_{न्यूनतम-पथ} बनाम t_{न्यूनतम-समय}" NEET का एक मानक बहुविकल्पीय प्रश्न युग्म है।

वर्षा-छाता (Rain-umbrella)। वर्षा ऊर्ध्वाधर रूप से v_r चाल से गिरती है; एक प्रेक्षक क्षैतिज रूप से v_m से दौड़ता है। प्रेक्षक के निर्देश तंत्र में वर्षा का आपेक्षिक वेग v_r,man = v_r − v_m होता है — एक सदिश जिसका ऊर्ध्वाधर घटक v_r और क्षैतिज घटक v_m दौड़ने की विपरीत दिशा में होता है। इसलिए वर्षा सामने से आती हुई प्रतीत होती है, और छाते को ऊर्ध्वाधर से आगे की ओर θ कोण पर झुकाना चाहिए जहाँ tan θ = v_m/v_r। आपेक्षिक वर्षा चाल √(v_m² + v_r²) होती है, और जब संख्याएँ 12 और 35 हों तो यह पाइथागोरस त्रिक 37 पर पहुँचती है — जो इस क्लासिक समस्या के लिए NTA का पसंदीदा प्रारूप है।

NTA ट्रैप (1) सदिशों को घटाएँ, चालों को नहीं — "नाव की चाल 5 है और धारा की 3" का अर्थ यह नहीं है कि धरातल के सापेक्ष चाल 2 या 8 होगी, जब तक कि आप दिशाएँ निश्चित न कर लें। (2) न्यूनतम समय ≠ न्यूनतम पथ: सीधे सामने की ओर रुख करने से समय न्यूनतम होता है; धारा के प्रतिकूल चलने से समय की कीमत पर अपवाह (drift) शून्य हो जाता है। (3) जब v_w ≥ v_bw हो, तो शून्य अपवाह असंभव होता है — ऐसी स्थिति में ठीक सामने पहुँचने का दावा करने वाला विकल्प एक सुनियोजित गलत विकल्प होता है।

3. शून्य-अपवाह पारगमन का चित्रीय निरूपण

चित्र 3.7 — धारा के प्रतिकूल रुख करना ताकि परिणामी ठीक सामने पार करे

आसमानी तीर जलधारा है; नीला तीर जल के सापेक्ष नाव का रुख है (φ द्वारा धारा के प्रतिकूल झुका हुआ); हरा तीर वास्तविक धरातल-निर्देश तंत्र वेग है, जो ठीक सामने है।

ऊर्ध्वप्रवाह किनारा अनुप्रवाह किनारा जलधारा v_w = 3 m/s v_w नाव का रुख v_bw = 5 m/s, φ = 37° धारा के प्रतिकूल परिणामी: ठीक सामने, √(5²−3²) = 4 m/s

परीक्षा निष्कर्ष: वही 3-4-5 त्रिभुज, नदी के रूप में घूमा हुआ। धारा के प्रतिकूल घटक 5 sin 37° = 3 धारा को निरस्त करता है; पार करने वाला लंबवत घटक 5 cos 37° = 4 है। 100 m चौड़ाई के लिए: शून्य-अपवाह समय 25 s बनाम न्यूनतम समय 100/5 = 20 s (60 m अपवाह के साथ)। दो मोड, एक त्रिभुज।

4. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1 — एक ही नदी पर दोनों पारगमन मोड

100 m चौड़ी एक नदी 3 m/s के वेग से बह रही है। एक नाव शांत जल में 5 m/s की चाल से चल सकती है। ज्ञात कीजिए (i) न्यूनतम पारगमन समय तथा अपवाह (drift), (ii) ठीक सामने पहुँचने के लिए आवश्यक समय तथा नाव का रुख (heading)।

हल (चरणबद्ध): (i) ठीक सामने रुख करें: t_min = d/v_bw = 100/5 = 20 s; अपवाह (drift) = v_wt = 3 × 20 = 60 m अनुप्रवाह में। (ii) शून्य अपवाह: sin φ = v_w/v_bw = 3/5 = 0.6 → φ = लंबवत से 37° धारा के प्रतिकूल; पार करने की चाल = √(25 − 9) = 4 m/s; t = 100/4 = 25 s। याद रखने योग्य निष्कर्ष: इस नदी पर ठीक सामने पहुँचने के लिए 5 अतिरिक्त सेकंड का समय लगता है।

उदाहरण 2 — 12-35-37 वर्षा समस्या

वर्षा ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर 35 m/s से गिर रही है। एक व्यक्ति क्षैतिज दिशा में 12 m/s से चलता है। उसे अपने छाते को ऊर्ध्वाधर से किस कोण पर रखना चाहिए, और वर्षा उससे किस चाल से टकराएगी?

हल: व्यक्ति के निर्देश तंत्र में: v_r,man = v_r − v_m, जिसके घटक 35 m/s नीचे और 12 m/s क्षैतिज (उसकी गति के विपरीत — वर्षा सामने से आती है) हैं। आपेक्षिक चाल = √(12² + 35²) = √(144 + 1225) = √1369 = 37 m/s। छाते का कोण: tan θ = 12/35 = 0.343 → θ ≈ 18.9° ऊर्ध्वाधर से, आगे की ओर झुका हुआ (जिस दिशा में वह चलता है)। छाते की धुरी वर्षा के आभासी वेग के विपरीत होनी चाहिए — ज्यामितीय रूप से "बचाव" का यही अर्थ है।

5. अभ्यास प्रश्न

प्र. 1. 60 m चौड़ी एक नदी 4 m/s से बह रही है जबकि एक नाव शांत जल में केवल 3 m/s की चाल प्राप्त कर सकती है। क्या नाव ठीक सामने वाले बिंदु पर पहुँच सकती है?
उत्तर: नहीं। शून्य अपवाह के लिए आवश्यक है sin φ = v_w/v_bw = 4/3 > 1 — जो असंभव है। नाव हमेशा अनुप्रवाह (downstream) की ओर बहेगी; सबसे अच्छा विकल्प यह है कि वह ठीक सामने की ओर रुख करके पार करे (t = 20 s) और फिर किनारे के सहारे पैदल वापस आए।

प्र. 2. वर्षा ऊर्ध्वाधर रूप से 8 m/s से गिरती है। एक साइकिल चालक क्षैतिज रूप से 6 m/s की चाल से चलता है। वर्षा की आभासी चाल तथा ऊर्ध्वाधर से छाते का कोण ज्ञात कीजिए।
उत्तर: v_rel = √(6² + 8²) = 10 m/s (6-8-10 त्रिक)। tan θ = 6/8 = 0.75 → θ ≈ 36.9° ऊर्ध्वाधर से, आगे की ओर झुका हुआ — साइकिल चालक का 37° कोण फिर से प्राप्त होता है।

प्र. 3 (MCQ). उसी नदी को पार करने वाली v_bw > v_w वाली नाव के लिए कौन सा कथन सत्य है? (a) t_न्यूनतम-पथ > t_न्यूनतम-समय (b) t_न्यूनतम-पथ < t_न्यूनतम-समय (c) न्यूनतम-समय मोड में अपवाह शून्य होता है (d) दोनों समय बराबर होते हैं
उत्तर: (a)। न्यूनतम-समय मोड में नदी पार करने के लिए पूरी चाल का उपयोग होता है (t = d/v_bw) लेकिन अपवाह होता है; शून्य-अपवाह मोड में नाव कम चाल √(v_bw² − v_w²) से पार करती है, इसलिए इसमें अधिक समय लगता है। (c) असत्य है — उस मोड में अपवाह v_w t होता है।

6. मुख्य सूत्र एवं महत्वपूर्ण बिंदु

संबंध	शर्त / टिप्पणी
v_AB = v_A − v_B; v_BA = −v_AB	सदिश व्यवकलन, घटक-वार
v_AC = v_AB + v_BC	निर्देश तंत्रों के बीच श्रृंखला नियम (Chain rule)
t_min = d/v_bw; drift = v_wt_min	सीधे सामने की ओर रुख (न्यूनतम समय)
sin φ = v_w/v_bw; t = d/√(v_bw²−v_w²)	शून्य अपवाह; आवश्यकता v_bw > v_w
tan θ = v_m/v_r	ऊर्ध्वाधर से छाते का कोण, आगे की ओर झुका हुआ
v_{rel rain} = √(v_m² + v_r²)	3-4-5 त्रिकों पर ध्यान दें (12-35-37, 6-8-10)

1-D विशेष स्थिति (ट्रेन का आगे निकलना, आमने-सामने आना) अध्याय 2 के आपेक्षिक वेग पृष्ठ पर उपलब्ध है — वहाँ चालों को संख्याओं के रूप में जोड़ा या घटाया जाता है; यहाँ उन्हें पहले सदिश तीरों के रूप में चित्रित करना आवश्यक है।

7. अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)

द्विविमीय में आपेक्षिक वेग को कैसे परिभाषित किया जाता है?

B के सापेक्ष A का वेग (B द्वारा देखा गया) सदिश व्यवकलन v_AB = v_A − v_B है, जिसे घटक-दर-घटक किया जाता है। यह व्युत्क्रमण नियम v_BA = −v_AB और श्रृंखला नियम v_AC = v_AB + v_BC का पालन करता है, जो आपको निर्देश तंत्रों के बीच बदलने की अनुमति देता है: व्यक्ति-धरातल = व्यक्ति-जल + जल-धरातल। कभी भी केवल परिमाणों को न घटाएं बल्कि सदिश तीरों को घटाएं — 2-D में वेगों के बीच का कोण उनके परिमाण जितना ही महत्वपूर्ण होता है।

न्यूनतम समय में नदी पार करने के लिए नाव को किस दिशा में चलना चाहिए?

न्यूनतम समय के लिए, नाव को ठीक सामने, किनारों के लंबवत अपनी पूरी चाल v_bw के साथ चलना चाहिए, क्योंकि पार करने का समय t = d/v_bw तब न्यूनतम होता है जब प्रवाह के लंबवत वेग घटक अधिकतम हो। इसके बाद जलधारा नाव को drift = v_w t द्वारा अनुप्रवाह की ओर बहा ले जाती है। इसलिए न्यूनतम समय में पार करने पर अशून्य अपवाह होता है — नाव ठीक सामने वाले बिंदु के आगे अनुप्रवाह में पहुँचती है।

नाव शून्य अपवाह के साथ नदी कैसे पार कर सकती है, और यह कब असंभव होता है?

ठीक सामने वाले बिंदु पर पहुँचने के लिए, नाव को लंबवत से धारा के प्रतिकूल कोण φ पर चलना चाहिए ताकि उसका ऊर्ध्वप्रवाह घटक धारा के वेग को निरस्त कर दे: v_bw sin φ = v_w, जिससे sin φ = v_w/v_bw प्राप्त होता है। प्रभावी पार करने की चाल v_bw cos φ = √(v_bw² − v_w²) होती है, और समय d/√(v_bw² − v_w²) होता है — जो न्यूनतम समय से अधिक है। जब भी v_w ≥ v_bw हो, शून्य अपवाह असंभव होता है, क्योंकि sin φ का मान 1 के बराबर या उससे अधिक नहीं हो सकता; ऐसी स्थिति में नाव अनिवार्य रूप से अनुप्रवाह में बह जाएगी।

ऊर्ध्वाधर गिरती वर्षा में दौड़ते समय छाते को आगे की ओर क्यों झुकाना पड़ता है?

दौड़ने वाले व्यक्ति के निर्देश तंत्र में वर्षा का आपेक्षिक वेग v_rain − v_man होता है: वर्षा दौड़ने की दिशा के विपरीत एक क्षैतिज घटक प्राप्त कर लेती है, जिससे यह सामने से आती हुई प्रतीत होती है। छाते को सामने से आती वर्षा की ओर इंगित करना चाहिए, अर्थात् ऊर्ध्वाधर से आगे की ओर कोण θ पर झुकाना चाहिए जहाँ tan θ = v_man/v_rain होता है। 35 m/s पर वर्षा और 12 m/s पर दौड़ने वाले व्यक्ति के लिए, आपेक्षिक वर्षा चाल √(35² + 12²) = 37 m/s और θ = tan⁻¹(12/35) ≈ 18.9° होती है।

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