§ 2.7NCERT कक्षा 11 · भौतिकी · अध्याय 2

आपेक्षिक वेग

QCC Notes · कक्षा 11 भौतिकी NCERT आधारित अद्यतन 26 सितंबर 2026 10 मिनट पठन

जब आप किसी वेग का उल्लेख करते हैं, तो आप अनजाने में एक प्रेक्षक का चुनाव कर लेते हैं: "ट्रेन 60 km h⁻¹ की चाल से चलती है" का अर्थ है 60 km h⁻¹ प्लेटफॉर्म से देखने पर। यदि इसे साथ-साथ चल रही दूसरी ट्रेन से देखा जाए, तो वही ट्रेन स्थिर लग सकती है — या, यदि वह आमने-सामने आ रही हो, तो 100 km h⁻¹ की गोली जैसी लग सकती है। आपेक्षिक वेग वह लेखा-जोखा नियम है जो प्रेक्षकों के बीच रूपांतरण करता है, और यह इस अध्याय का अंतिम विचार है क्योंकि इसे अब तक निर्मित सभी चीजों की आवश्यकता है: चिन्हित 1D वेग, विस्थापन का लेखा-जोखा, और स्थिर-दर मिलने की समस्याएँ। NTA इससे पहुँचने की चाल के पूर्णांक प्रश्नों, ट्रेन और कार के पीछा करने, और परिभाषा पर कभी-कभी अभिकथन-कारण प्रश्न पूछता है। अध्याय यहाँ समाप्त होता है, लेकिन विचार नहीं: वही घटाव नियम, सदिशों में उन्नत होकर, समतल में गति में प्रक्षेप्य फ्रेम और नदी-नाव की समस्याओं को शक्ति प्रदान करता है — यही कारण है कि इस पृष्ठ का अंतिम खंड जानबूझकर उस पुल को स्थापित करता है।

आपेक्षिक वेग क्या है? — पूर्ण सिद्धांत

1. परिभाषा और उसका एक-पंक्ति व्युत्पत्ति

मान लीजिए दो वस्तुएँ A और B एक ही रेखा के अनुदिश स्थिर वेग v_A और v_B (चिन्हित, भू-फ्रेम में मापा गया, t = 0 पर एक ही मूल साझा करते हुए) से गति करती हैं। उनकी स्थितियाँ x_A = v_At और x_B = v_Bt हैं, इसलिए उनका पृथक्करण इस प्रकार बदलता है:

x_A − x_B = (v_A − v_B)t → v_AB = v_A − v_B

यह पूरा सिद्धांत है: B से देखने पर A का वेग, A के वेग में से B के वेग को घटाने पर प्राप्त होता है — एक विमा में चिन्हों के साथ। विमीय जाँच: [v_A] − [v_B] = [L T⁻¹] ✔। सबस्क्रिप्ट का क्रम मायने रखता है और इसे "B के सापेक्ष A का v" पढ़ा जाता है; इसे उलटने पर चिन्ह बदल जाता है, क्योंकि v_BA = −v_AB। तीन प्रेक्षकों के लिए एक उपयोगी पहचान श्रृंखला: v_AC = v_AB + v_BC — आपेक्षिक वेग सदिशों की तरह जुड़ते हैं, यह एक ऐसा तथ्य है जो अगले अध्याय में 2D में आवश्यक हो जाता है।

2. दो 1D स्थितियाँ: पीछा करना और आमने-सामने

स्थिति	चिन्हित इनपुट	आपेक्षिक चाल	अर्थ
समान दिशा (A, B का पीछा करता है)	v_A = +15, v_B = +10	\|15 − 10\| = 5 m s⁻¹	अंतर धीरे-धीरे कम होता है
विपरीत दिशाएँ (आमने-सामने)	v_A = +15, v_B = −10	\|15 − (−10)\| = 25 m s⁻¹	अंतर तेजी से कम होता है

एक सूत्र दोनों को कवर करता है — चिन्हित वेगों को घटाएँ — लेकिन याद रखने योग्य सारांश है: एक ही दिशा → चालों को घटाएँ; विपरीत दिशाएँ → चालों को जोड़ें। मात्रा |v_AB| को पहुँचने की चाल कहा जाता है जब पृथक्करण कम हो रहा हो और अलग होने की चाल जब यह बढ़ रहा हो। मिलने/पकड़ने का समय तुरंत प्राप्त होता है: मिलने का समय = प्रारंभिक अंतर ÷ पहुँचने की चाल। एक आमने-सामने की जोड़ी चालों के योग पर अंतर को कम करती है — यही कारण है कि सामने से आने वाला यातायात ओवरटेक करने वाले यातायात की तुलना में बहुत तेज लगता है, एक रोज़मर्रा का अवलोकन जिसे NTA ने प्रश्नों में बदल दिया है।

3. हल किए गए सूक्ष्म-मामले जिन्हें आपको देखते ही पहचानना चाहिए

एक-दूसरे को पार करती दो ट्रेनें: यदि लंबाई L₁ और L₂ को पार करना है, तो पार करने का समय (L₁ + L₂)/|v_rel| है — आपेक्षिक वेग दर प्रदान करता है, संयुक्त लंबाई दूरी प्रदान करती है। छूटती बस को पकड़ना: धावक स्थिर चाल से, बस विराम से त्वरित होती है — दोनों स्थितियों को एक ही मूल से लिखें और उन्हें बराबर सेट करें (एक पूर्ण हल किया गया संस्करण अध्याय परीक्षण, सेट B में है)। समांतर पटरियों पर जुड़वाँ: समान चाल, समान दिशा → v_rel = 0, प्रत्येक दूसरे के लिए स्थिर रहता है, भले ही जमीन कितनी भी तेजी से क्यों न गुजर रही हो। प्रत्येक मामला केवल "प्रेक्षक चुनें, घटाएँ, फिर नए फ्रेम में x = vt या गति के समीकरणों को लागू करें" है — गति के समीकरण किसी भी स्थिर वेग से गतिमान फ्रेम में मान्य होते हैं, एक गहरा तथ्य जिसे आप गैलीलियन आपेक्षिकता के रूप में फिर से मिलेंगे।

NTA ट्रैप क्लासिक गलत कदम: आमने-सामने की गति के लिए भी परिमाणों का उपयोग करके आपेक्षिक चाल को |v_A − v_B| के रूप में गणना करना — जिससे 5 m s⁻¹ प्राप्त होता है जहाँ सत्य 25 m s⁻¹ है। v_AB = v_A − v_B में ऋण चिन्ह चिन्हित वेगों पर कार्य करता है; विपरीत दिशाएँ विपरीत चिन्हों के रूप में प्रवेश करती हैं और एक ऋणात्मक का घटाव एक जोड़ बन जाता है। इसके अलावा: आपेक्षिक वेग एक सदिश है — शून्य आपेक्षिक वेग का अर्थ है "पृथक्करण में कोई परिवर्तन नहीं", न कि "कोई गति नहीं"।

आपेक्षिक वेग का दृश्यावलोकन: चिन्हित बार

चित्र 2.7 — चिन्हित वेगों (+15 और −5) के साथ v_AB = v_A − v_B

प्रत्येक पंक्ति एक सामान्य अक्ष पर खींचा गया एक वेग है (डैश वाली रेखा = शून्य, दाएँ = धनात्मक)। केवल तीरों की लंबाई को नहीं, बल्कि बार को पढ़ें: चिन्ह शून्य रेखा का पक्ष है।

ट्रेन A: v_A = +15 m s⁻¹→ 15

ट्रेन B: v_B = −5 m s⁻¹← 5

v_AB = 15 − (−5) = +20 m s⁻¹→ 20

परीक्षा अवलोकन: क्योंकि B का बार ऋणात्मक पक्ष पर है, "B को घटाना" 15 में 5 जोड़ता है — आमने-सामने का मामला हमेशा बार को किसी भी इनपुट से आगे बढ़ाता है। यदि B उसी तरह +5 पर चलता, तो वही घटाव इसे 10 तक सिकोड़ देता। एक सूत्र, दो परिणाम, पूरी तरह से चिन्हों द्वारा तय किए गए।

आपेक्षिक वेग पर हल किए गए उदाहरण (चरण-दर-चरण)

हल किया गया उदाहरण 1 — दो ट्रेनें, दोनों मामले

प्र. ट्रेन A 54 km h⁻¹ की चाल से और ट्रेन B 36 km h⁻¹ की चाल से समानांतर सीधी पटरियों पर चलती हैं। A की चाल B के सापेक्ष ज्ञात करें जब (i) वे एक ही दिशा में चलती हैं और (ii) वे विपरीत दिशाओं में चलती हैं।

चरण 1. दोनों को परिवर्तित करें: 54 × 5/18 = 15 m s⁻¹; 36 × 5/18 = 10 m s⁻¹।

चरण 2. समान दिशा: v_A = +15, v_B = +10 → v_AB = 15 − 10 = 5 m s⁻¹ (एक धीमी ओवरटेक)।

चरण 3. विपरीत दिशाएँ: v_A = +15, v_B = −10 → v_AB = 15 − (−10) = 25 m s⁻¹ (तेज आमने-सामने का पास)।

उत्तर: (i) 5 m s⁻¹; (ii) 25 m s⁻¹

हल किया गया उदाहरण 2 — मिलने का समय

प्र. दो कारें 500 m की दूरी पर एक सीधी सड़क पर एक-दूसरे की ओर 20 m s⁻¹ और 30 m s⁻¹ की चाल से चलती हैं। वे कितने समय बाद मिलेंगी, और धीमी कार कितनी दूर चली होगी?

चरण 1. पहुँचने की चाल: 20 + 30 = 50 m s⁻¹ (आमने-सामने → चालें जुड़ती हैं)।

चरण 2. मिलने का समय: t = अंतर/पहुँचने की चाल = 500/50 = 10 s।

चरण 3. धीमी कार का हिस्सा: 20 × 10 = 200 m (तेज कार शेष 300 m तय करती है; कुल 500 m ✔)।

उत्तर: 10 s बाद मिलेंगी; धीमी कार 200 m चली होगी

आपेक्षिक वेग पर अभ्यास प्रश्न (समाधान सहित)

अभ्यास प्रश्न 1 (संख्यात्मक-मान प्रकार)

प्र. एक साइकिल चालक 8 m s⁻¹ की चाल से एक स्कूटर चालक का पीछा करता है जो उसी सीधी सड़क पर 6 m s⁻¹ की चाल से 40 m आगे है। पकड़ने का समय ______ s है।

समाधान. पीछा करना → आपेक्षिक चाल = 8 − 6 = 2 m s⁻¹; t = 40/2 = 20 s। (समान-दिशा गति में चालें घटती हैं।)

उत्तर: 20

अभ्यास प्रश्न 2 (एकल-सही MCQ)

प्र. दो ट्रेनें 72 km h⁻¹ और 54 km h⁻¹ की चाल से समानांतर पटरियों पर एक-दूसरे की ओर चलती हैं। m s⁻¹ में उनकी आपेक्षिक चाल है: (a) 5 (b) 20 (c) 35 (d) 45

समाधान. परिवर्तित करें: 72 → 20 m s⁻¹, 54 → 15 m s⁻¹। आमने-सामने: 20 + 15 = 35 m s⁻¹। (विकल्प (b) दूसरी ट्रेन को भूल जाता है; (a) km/h इकाइयों में समान-दिशा अंतर है जो गलत हो गया है।)

उत्तर: (c)

अभ्यास प्रश्न 3 (कथन प्रकार)

प्र. कथन I: जब दो पिंड एक रेखा के अनुदिश विपरीत दिशाओं में गति करते हैं, तो उनके आपेक्षिक वेग का परिमाण उनकी चालों के योग के बराबर होता है। कथन II: दो पिंडों की आपेक्षिक चाल हमेशा उनकी चाल के परिमाणों का अंतर होती है।

समाधान. I सत्य है: विपरीत चिन्ह v_A − v_B को योग में बदल देते हैं। II असत्य है — यह ठीक आमने-सामने के मामले में विफल रहता है। तो I सही है और II गलत है।

उत्तर: (c) कथन I सही, कथन II गलत

मुख्य सूत्र और मुख्य बातें

नियम	कथन	तेज उदाहरण
परिभाषा	v_AB = v_A − v_B (चिन्हित, 1D)	15 − (−5) = 20 m s⁻¹
पलटने का नियम	v_BA = −v_AB	प्रेक्षक बदलने पर चिन्ह पलट जाता है
स्टैक नियम	v_AC = v_AB + v_BC	2D सदिश रूप का पुल
पीछा करना	पहुँचने की चाल = v₁ − v₂; t = अंतर/(v₁ − v₂)	40 m, 2 m s⁻¹ पर → 20 s
आमने-सामने	पहुँचने की चाल = v₁ + v₂; t = अंतर/(v₁ + v₂)	500 m, 50 पर → 10 s
पार करना	t = (L₁ + L₂)/\|v_rel\|	लंबाई जुड़ती है, दरें घटती हैं
इकाइयों की जाँच	[v_AB] = [L T⁻¹]	पहले km/h → m/s (× 5/18) में परिवर्तित करें

आपेक्षिक वेग पर अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

आपेक्षिक वेग क्या है?

एक वस्तु का वेग, जैसा कि दूसरी वस्तु से मापा जाता है: सदिश रूप में v_AB = v_A − v_B। एक विमा में, वही सूत्र चिन्हित वेगों के साथ सीधे काम करता है।

विपरीत दिशाओं में गतिमान दो वस्तुओं की आपेक्षिक चाल कैसे ज्ञात करते हैं?

चालों को जोड़ें: 15 m/s और 5 m/s आमने-सामने के लिए, प्रत्येक दूसरे को 20 m/s पर दिखाई देता है। उसी दिशा में आपेक्षिक चाल अंतर, 10 m/s है।

एक-दूसरे की ओर गतिमान दो वस्तुएँ कब मिलती हैं?

जब प्रारंभिक पृथक्करण पहुँचने की चाल पर समाप्त हो जाता है: आमने-सामने की गति के लिए t = पृथक्करण/(v₁ + v₂), या पीछा करने के लिए पृथक्करण/(v₁ − v₂)।

चलते हुए व्यक्ति को वर्षा तिरछी क्यों दिखाई देती है?

व्यक्ति के सापेक्ष वर्षा का वेग v_rain − v_man होता है, जिसे चलने की चाल के बराबर एक पीछे की ओर क्षैतिज घटक प्राप्त होता है। छाते को tan⁻¹(v_man/v_rain) से झुकाना चाहिए — पूर्ण 2D उपचार 'समतल में गति' में आता है।

आपकी प्रगति

केवल इसी डिवाइस पर सेव — कोई अकाउंट या साइन-इन नहीं।