तात्क्षणिक वेग और तात्क्षणिक चाल
किसी कार का स्पीडोमीटर पूरी यात्रा का औसत नहीं दर्शाता — यह ठीक इसी क्षण का मान बताता है। वह "ठीक इसी क्षण" वाला मान ही तात्क्षणिक वेग (Instantaneous Velocity) कहलाता है, और इसे कठोरता से परिभाषित करना कक्षा 11 भौतिकी में कलन (Calculus) का पहला उपयोग है। NCERT इसे एक सीमा के रूप में तैयार करता है: अभीष्ट क्षण के आस-पास समय अंतराल Δt को सूक्ष्म करते जाइए और देखिए कि औसत वेग Δx/Δt एक निश्चित मान — अवकलज dx/dt की ओर अग्रसर होता है। यह एक विचार शुद्धगतिकी के संपूर्ण विश्लेषणात्मक पक्ष को खोल देता है: स्थिति फलन अवकलन द्वारा वेग फलन बन जाते हैं, और वेग फलन पुनः अवकलन करने पर त्वरण बन जाते हैं। NTA इस अवधारणा का परीक्षण स्पर्श रेखा-प्रवणता वाले ग्राफ प्रश्नों, "किस समय वेग शून्य होगा" वाले दिशा-परिवर्तन प्रश्नों और पूर्णांक-उत्तर प्रारूप में सीधे घात-नियम अवकलन के माध्यम से करता है। इस व्युत्पत्ति को एक बार ठीक से समझ लेने पर कलन का उपयोग करने वाला प्रत्येक अगला अध्याय सहज हो जाता है।
तात्क्षणिक वेग क्या है? — संपूर्ण सिद्धांत
1. औसत से तात्क्षणिक तक: सीमा परिभाषा
[t, t + Δt] अंतराल पर औसत वेग Δx/Δt होता है। क्षण t के परितः समय अंतराल को सूक्ष्म करें:
v = limΔt→0 (Δx/Δt) = dx/dt — SI मात्रक m s⁻¹; विमाएँ [L T⁻¹] (सीमा प्रक्रिया विमाओं को नहीं बदल सकती)।
क्षण t का प्रत्येक चुनाव अपना अलग v(t) देता है — तात्क्षणिक वेग समय का एक फलन है, जबकि एक औसत मान एक पूरे अंतराल से संबंधित होता है। ज्यामितीय रूप से, जैसे-जैसे Δt घटता है, दोनों बिंदुओं के बीच की छेदक रेखा उस बिंदु पर स्पर्श रेखा (Tangent) में बदल जाती है, अतः v(t), x–t वक्र की स्पर्श रेखा की प्रवणता (ढाल) होती है। एक विमा में तात्क्षणिक चाल केवल इसका परिमाण होती है: चाल = |v| — समान मात्रक वाली एक अदिश राशि। परिमाण लेने का यह चरण किसी एक क्षण पर तो वैध है, लेकिन अंतराल के औसतों के लिए नहीं, और NTA इसी अंतर का जानबूझकर उपयोग करता है (नीचे दिया गया जाल बॉक्स देखें)।
2. अवकलन: कार्यशील उपकरण
जब स्थिति एक सूत्र के रूप में दी गई हो, तो तात्क्षणिक वेग केवल एक अवकलन की दूरी पर होता है। इस अध्याय के लिए आवश्यक मूल नियम:
| नियम | कथन | उदाहरण |
|---|---|---|
| घात नियम (Power rule) | d(tⁿ)/dt = n tⁿ⁻¹ | d(t²)/dt = 2t; d(t³)/dt = 3t² |
| अचर गुणन नियम | d(k·f)/dt = k·df/dt | d(5t²)/dt = 10t |
| योग नियम | पद-दर-पद अवकलन करें | d(3t² + 2t)/dt = 6t + 2 |
| अचर का अवकलज शून्य | d(नियतांक)/dt = 0 | x = 4 + t² → v = 2t (4 विलुप्त हो जाता है) |
विमीय जाँच सदैव करें: यदि x मीटर में और t सेकंड में है, तो dx/dt की विमा [L T⁻¹] होनी चाहिए — और वास्तव में t² (विमा [T²]) का सेकंड के सापेक्ष अवकलन करने पर सेकंड की प्रथम घात बचती है। यदि आपके अवकलित वेग का मात्रक गलत आता है, तो स्थिति फलन स्वयं विमीय रूप से असंगत था — कुछ भी गणना करने से पहले वापस जाकर उसे ठीक करें। व्युत्पन्न सूत्रों की विमीय जाँच की यह आदत अध्याय 1 के विमा पृष्ठ से मिलती है और हर अगले अध्याय में लाभ देती है।
3. स्थिति-समय ग्राफ से वेग पढ़ना
प्रवणता के तीन तथ्य किसी भी x–t आलेख को वेग की कहानी में बदल देते हैं। पहला: प्रवणता का चिह्न v का चिह्न होता है — चढ़ता हुआ ग्राफ, v > 0; गिरता हुआ ग्राफ, v < 0। दूसरा: ढाल का खड़ापन (Steepness) चाल को दर्शाता है — अधिक खड़ी स्पर्श रेखा का अर्थ तीव्र गति है, और बिंदु-दर-बिंदु प्रवणता का बढ़ना (अवतल-ऊपर वक्र) दर्शाता है कि कण त्वरित हो रहा है। तीसरा: शून्य प्रवणता (क्षैतिज स्पर्श रेखा, प्रायः शिखर पर) का अर्थ है कि कण क्षणिक विराम अवस्था में है — सामान्यतः गति का मोड़ बिंदु। शिखर गति का अंत नहीं है: वेग शून्य से गुजरता है और अपना चिह्न बदलता है, ठीक वैसे ही जैसे ऊपर फेंकी गई गेंद अपने उच्चतम बिंदु पर व्यवहार करती है (इसे मुक्त पतन पृष्ठ पर विस्तार से समझाया गया है)।
तात्क्षणिक वेग का दृश्यावलोकन: स्पर्श रेखा
चित्र 2.3 — स्पर्श रेखा प्रवणता = तात्क्षणिक वेग
ठोस वक्र स्थिति-समय का आलेख है। हरी डैश्ड रेखा चिह्नित बिंदु P पर वक्र को स्पर्श करती है — यह वहाँ स्पर्श रेखा है। वक्र के अनुदिश एक पैमाना खिसकाकर स्पर्श रेखा की ढाल में बदलाव देखें: वही बदलती हुई ढाल बदलता हुआ तात्क्षणिक वेग है।
परीक्षा विश्लेषण: बिंदु P पर स्पर्श रेखा, मूल बिंदु से P तक की छेदक रेखा से अधिक खड़ी है — अतः P पर तात्क्षणिक वेग, P तक के औसत वेग से अधिक है। यह अकेला तुलनात्मक प्रश्न JEE Main का एक पूरा प्रश्न बनता है। शिखर पर स्पर्श रेखा क्षैतिज हो जाती है (v = 0, क्षणिक विराम); शिखर के बाईं ओर प्रवणता धनात्मक है, दाईं ओर ऋणात्मक — अर्थात कण ने अपनी दिशा बदल ली है।
तात्क्षणिक वेग पर हल किए गए उदाहरण (चरण-दर-चरण)
हल किया गया उदाहरण 1 — तात्क्षणिक बनाम औसत: 14 बनाम 8
प्र. एक कण x-अक्ष के अनुदिश x = 3t² + 2t (मीटर, सेकंड) के अनुसार गति करता है। ज्ञात कीजिए (i) t = 2 s पर तात्क्षणिक वेग और (ii) [0, 2 s] अंतराल पर औसत वेग।
चरण 1. अवकलन करें: v = dx/dt = d(3t²)/dt + d(2t)/dt = 6t + 2।
चरण 2. t = 2 s पर: v = 6(2) + 2 = 14 m s⁻¹ — उस क्षण स्पीडोमीटर का पाठ्यांक।
चरण 3. औसत: x(0) = 0, x(2) = 12 + 4 = 16 m → v̄ = 16/2 = 8 m s⁻¹।
चरण 4. दोनों मान इसलिए भिन्न हैं क्योंकि कण लगातार त्वरित हो रहा है (v का मान 2 से बढ़कर 14 होता है); औसत 8 छेदक रेखा की प्रवणता है, तात्क्षणिक 14 स्पर्श रेखा की प्रवणता है। दोनों अलग-अलग प्रश्नों के सही उत्तर हैं।
उत्तर: (i) 14 m s⁻¹; (ii) 8 m s⁻¹हल किया गया उदाहरण 2 — कण अपनी दिशा कहाँ बदलता है?
प्र. x = 6t − t² (SI) के लिए, वह समय और स्थिति ज्ञात कीजिए जहाँ कण क्षणिक विराम अवस्था में होता है, तथा t = 5 s पर वेग ज्ञात कीजिए।
चरण 1. v = dx/dt = 6 − 2t। v = 0 रखने पर → t = 3 s।
चरण 2. विराम की स्थिति: x(3) = 18 − 9 = 9 m — x–t वक्र का शिखर।
चरण 3. t = 5 s पर: v = 6 − 10 = −4 m s⁻¹: −x दिशा में 4 m s⁻¹ की चाल से गतिमान, प्रारंभिक बिंदु की ओर लौटते हुए।
उत्तर: t = 3 s पर विराम अवस्था, x = 9 m; v(5 s) = −4 m s⁻¹तात्क्षणिक वेग पर अभ्यास प्रश्न (हल सहित)
अभ्यास प्रश्न 1 (संख्यात्मक-मान प्रकार)
प्र. किसी पिंड की स्थिति x = 5t² + 3 (SI) है। t = 2 s पर इसका तात्क्षणिक वेग ______ m s⁻¹ है।
हल. v = dx/dt = 10t + 0 = 10t; t = 2 s पर, v = 20 m s⁻¹। अचर पद 3 का कोई योगदान नहीं है — स्थिति का प्रारंभिक विस्थापन वेग को कभी प्रभावित नहीं करता।
उत्तर: 20अभ्यास प्रश्न 2 (एकल-सही MCQ)
प्र. स्थिति-समय ग्राफ पर, किसी अंतराल में एक सीधी क्षैतिज रेखा का अर्थ है कि कण: (a) स्थिर वेग से गति कर रहा है (b) पूरे अंतराल में विराम अवस्था में है (c) स्थिर त्वरण से गति कर रहा है (d) लगातार दिशा बदल रहा है
हल. क्षैतिज रेखा → प्रत्येक क्षण पर शून्य प्रवणता → पूरे समय v = 0 → कण विराम में रहता है। (स्थिर वेग के लिए एक सीधी तिरछी रेखा की आवश्यकता होती है।)
उत्तर: (b)अभ्यास प्रश्न 3 (अभिकथन–कारण)
प्र. अभिकथन (A): किसी कण की तात्क्षणिक चाल उसके तात्क्षणिक वेग के परिमाण के बराबर होती है। कारण (R): चाल एक अदिश राशि है जबकि वेग एक सदिश राशि है, और 1D में सदिश की दिशा पूरी तरह से उसके चिह्न द्वारा निर्धारित होती है।
विकल्प: (a) दोनों सत्य हैं, R, A की सही व्याख्या करता है · (b) दोनों सत्य हैं, R, A की सही व्याख्या नहीं करता है · (c) A सत्य है, R असत्य है · (d) A असत्य है, R सत्य है
हल. किसी एक क्षण पर चाल और वेग के बीच का एकमात्र अंतर दिशा का होता है; 1D में दिशा केवल चिह्न है, जिसे परिमाण हटा देता है। दोनों कथन सत्य हैं और R, A की सही व्याख्या करता है।
उत्तर: (a)मुख्य सूत्र और मुख्य बातें
| नियम | कथन | त्वरित उदाहरण |
|---|---|---|
| परिभाषा | v = limΔt→0 Δx/Δt = dx/dt | x = 3t² + 2t → v = 6t + 2 |
| तात्क्षणिक चाल | |v| (केवल परिमाण) | v = −4 m s⁻¹ → चाल 4 m s⁻¹ |
| ग्राफ पठन | स्पर्श रेखा की प्रवणता = उस क्षण v | क्षैतिज स्पर्श रेखा → v = 0 |
| घात नियम | d(tⁿ)/dt = n tⁿ⁻¹; अचर शून्य हो जाता है | x = 5t² + 3 → v = 10t |
| दिशा परिवर्तन | मोड़ बिंदुओं पर v = 0 | x = 6t − t² → t = 3 s पर विराम |
| विमीय जाँच | [dx/dt] = [L T⁻¹] | मीटर प्रति सेकंड ✔ |
| अगला चरण | a = dv/dt = d²x/dt² | v = 6 − 2t → a = −2 m s⁻² |
तात्क्षणिक वेग और चाल पर अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
सरल शब्दों में तात्क्षणिक वेग क्या है?
यह किसी एक निश्चित क्षण पर वेग होता है — जब समय अंतराल शून्य की ओर अग्रसर होता है, तब Δx/Δt की सीमा, जिसे v = dx/dt लिखा जाता है। स्थिति-समय ग्राफ पर यह उस क्षण खींची गई स्पर्श रेखा की प्रवणता (ढाल) होती है।
तात्क्षणिक चाल तात्क्षणिक वेग से किस प्रकार संबंधित है?
एकविमीय गति में तात्क्षणिक चाल सदैव तात्क्षणिक वेग के परिमाण |dx/dt| के बराबर होती है। यह समानता किसी एक क्षण पर तो सदैव सत्य है, लेकिन अंतरालों के औसतों के लिए नहीं — औसत चाल का |औसत वेग| के बराबर होना आवश्यक नहीं है।
स्थिति-समय ग्राफ पर शून्य प्रवणता का क्या अर्थ है?
उस क्षण तात्क्षणिक वेग शून्य होता है — कण क्षणिक विराम अवस्था में होता है, उदाहरण के लिए ऊर्ध्वाधर प्रक्षेपण के शीर्ष पर। वहाँ त्वरण का शून्य होना आवश्यक नहीं है।
वेग प्राप्त करने के लिए x = 3t² + 2t का अवकलन कैसे किया जाता है?
प्रत्येक पद पर घात नियम d(tⁿ)/dt = n tⁿ⁻¹ लागू करें: d(3t²)/dt = 6t और d(2t)/dt = 2, जबकि किसी नियतांक का अवकलज शून्य होता है। अतः v = dx/dt = 6t + 2 (SI मात्रक: m s⁻¹)।
केवल इसी डिवाइस पर सेव — कोई अकाउंट या साइन-इन नहीं।