सरल रेखीय गति में त्वरण

वेग बताता है कि स्थिति कितनी तेजी से बदलती है; त्वरण बताता है कि वेग स्वयं कितनी तेजी से बदलता है — दर की दर। यह वह अवधारणा है जो वर्णनात्मक शुद्धगतिकी को पूर्वानुमानित यांत्रिकी में बदल देती है, क्योंकि अगले अध्याय में बल कार्य करेंगे और त्वरण उत्पन्न करेंगे (F = ma)। इस अध्याय के भीतर, त्वरण ही है जो शुद्धगतिकीय समीकरणों को संभव बनाता है: वे ठीक तभी काम करते हैं जब a स्थिर रहता है। NTA का पसंदीदा परीक्षण कोण चिह्न तर्क है — जो उम्मीदवार "ऋणात्मक त्वरण" को "धीमा होना" मानते हैं, वे हर साल अंक खो देते हैं — साथ ही v–t प्रवणता रीडिंग और छोटे औसत-त्वरण संख्यात्मक प्रश्न भी। यह पृष्ठ औसत और तात्क्षणिक त्वरण दोनों को परिभाषित करता है, चिह्न तर्क को कठोरता से बनाता है, और दो ग्राफ कौशल — प्रवणता और क्षेत्रफल — का परिचय देता है जिन पर अध्याय का शेष भाग आधारित है।

त्वरण क्या है? — पूर्ण सिद्धांत

1. औसत और तात्क्षणिक परिभाषाएँ

यदि वेग Δt अंतराल में v₁ से v₂ में बदलता है, तो औसत त्वरण है

ā = Δv/Δt = (v₂ − v₁)/Δt — SI मात्रक m s⁻²; विमाएँ [L T⁻²] (वेग [L T⁻¹] प्रति समय [T])।

तात्क्षणिक त्वरण Δt → 0 के रूप में इसकी सीमा है, अर्थात वेग फलन का अवकलज:

a = dv/dt = d²x/dt² — स्थिति का दूसरा अवकलज।

दोनों 1D में एक चिह्न रखते हैं: a = −2 m s⁻² का अर्थ है −x दिशा में 2 m s⁻² परिमाण का त्वरण। ध्यान दें कि त्वरण क्या नहीं है: यह "गति की मात्रा" (वह वेग है) और "तय की गई दूरी की मात्रा" (वह दूरी है) नहीं है। एक जेट जो 900 km h⁻¹ की चाल से सीधी रेखा में चल रहा है, उसका त्वरण शून्य होता है; एक गेंद जिसे विराम से छोड़ा जाता है, उस क्षण उसका त्वरण 9.8 m s⁻² होता है। व्युत्पन्न त्वरणों की विमा जाँच हमेशा करें: m s⁻¹ में v का s में t के सापेक्ष अवकलन करने पर m s⁻² प्राप्त होना चाहिए — यदि ऐसा नहीं होता है, तो अवकलन में कोई त्रुटि आ गई है।

2. चिह्न तर्क: गति बढ़ना बनाम गति घटना

वेग के सापेक्ष त्वरण की दिशा — केवल त्वरण का चिह्न नहीं — यह तय करती है कि चाल बढ़ती है या घटती है। 1D में परीक्षण चिह्न गुणनफल v·a है:

शब्दावली: मंदन (या मंदता) "ऋणात्मक त्वरण" नहीं है — इसका अर्थ है कि चाल घट रही है, अर्थात a, v का विरोध करता है, चाहे चिह्न कुछ भी हों। यह इस विषय की सबसे अधिक जाँची जाने वाली सूक्ष्मता है, और यह यह भी बताता है कि ऊर्ध्वाधर प्रक्षेपण के शीर्ष पर एक पिंड (v = 0) में अभी भी पूर्ण गुरुत्वाकर्षण त्वरण क्यों होता है: वेग ऋणात्मक होने वाला होता है जबकि a पूरे समय −g रहता है (मुक्त पतन पृष्ठ इस उदाहरण को पूरी तरह से समझाता है)।

3. दो ग्राफ कौशल: v–t प्लॉट पर प्रवणता और क्षेत्रफल

वेग-समय ग्राफ इस अध्याय का कार्यस्थल है, और यह ठीक दो संक्रियाओं का समर्थन करता है। प्रवणता त्वरण देती है: किसी भी क्षण v–t वक्र की प्रवणता dv/dt होती है — एक सीधी तिरछी रेखा का अर्थ है स्थिर a, एक क्षैतिज रेखा का अर्थ है a = 0, और एक घुमावदार रेखा का अर्थ है कि a स्वयं बदल रहा है (शून्य नहीं!)। क्षेत्रफल विस्थापन देता है: चूंकि [v]·[t] = [L], v–t वक्र और समय अक्ष के बीच घिरा क्षेत्रफल उस अंतराल में विस्थापन के बराबर होता है; अक्ष के ऊपर के क्षेत्र धनात्मक गिने जाते हैं, नीचे के ऋणात्मक। क्षेत्रफल कौशल को शुद्धगतिकीय समीकरण पृष्ठ पर समाकलन द्वारा ठीक से सिद्ध किया गया है और JEE Main के संख्यात्मक प्रश्नों में खंडशः गति को संभालने का मानक तरीका बन जाता है। इस जोड़ी — प्रवणता ऊपर, क्षेत्रफल नीचे — में महारत हासिल करें, और अधिकांश ग्राफ प्रश्न दो लुक-अप तक कम हो जाते हैं।

त्वरण का दृश्यावलोकन: v–t कहानी

त्वरण पर हल किए गए उदाहरण (चरण-दर-चरण)

हल किया गया उदाहरण 1 — स्थिर ब्रेकिंग, दो तरीकों से पढ़ें

प्र. एक कण का वेग v = 20 − 5t (SI) है। ज्ञात कीजिए (i) त्वरण, (ii) यह क्षण भर के लिए कब विराम पर होता है, और (iii) उस क्षण के ठीक बाद यह कैसे गति करता है।

चरण 1. a = dv/dt = −5 m s⁻² — स्थिर (v, t में रैखिक है; v–t ग्राफ एक सीधी गिरती हुई रेखा है)।

चरण 2. विराम पर: v = 0 → 20 − 5t = 0 → t = 4 s।

चरण 3. t > 4 s के लिए, v ऋणात्मक हो जाता है जबकि a −5 रहता है: v·a > 0 → कण −x दिशा में गति बढ़ाता है। ब्रेकिंग चरण (0 से 4 s, v·a < 0) एक विपरीत त्वरण चरण में बदल जाता है।

हल किया गया उदाहरण 2 — दिशा पलटने के साथ औसत त्वरण

प्र. एक धीमी गति के रीप्ले के दौरान, एक गेंद का वेग Δt = 4 s में 10 m s⁻¹ नीचे की ओर से 10 m s⁻¹ ऊपर की ओर बदलता है। ऊपर की ओर को धनात्मक मानते हुए, इस अंतराल में औसत त्वरण ज्ञात कीजिए।

चरण 1. Δv = v₂ − v₁ = (+10) − (−10) = +20 m s⁻¹ — उत्क्रमण परिवर्तन को दोगुना कर देता है।

चरण 2. ā = Δv/Δt = 20/4 = +5 m s⁻², अर्थात 5 m s⁻² ऊपर की ओर।

चरण 3. ट्रैप जाँच: परिमाणों को सीधे घटाने से (10 − 10 = 0) दिशा परिवर्तन पूरी तरह से छूट जाएगा — हमेशा पहले चिह्नांकित वेगों में परिवर्तित करें।

त्वरण पर अभ्यास प्रश्न (समाधान सहित)

अभ्यास प्रश्न 1 (संख्यात्मक-मान प्रकार)

प्र. एक कण की स्थिति x = 4t³ − 6t (SI) है। t = 2 s पर इसका त्वरण ______ m s⁻² है।

समाधान. v = dx/dt = 12t² − 6; a = dv/dt = 24t। t = 2 s पर: a = 48 m s⁻²। (स्थिति का दूसरा अवकलज, घात नियम दो बार।)

अभ्यास प्रश्न 2 (एकल-सही MCQ)

प्र. +x के अनुदिश गतिमान एक पिंड का v = −3 m s⁻¹ और a = −1 m s⁻² है। यह: (a) धीमा हो रहा है (b) गति बढ़ा रहा है (c) विराम पर है (d) स्थिर चाल से गति कर रहा है

समाधान. v·a = (−3)(−1) = +3 > 0 → वेग और त्वरण एक ही दिशा में इंगित करते हैं → गति बढ़ रही है (3 m s⁻¹ से आगे)। ऋणात्मक चिह्न दिशा का वर्णन करते हैं, कमी का नहीं।

अभ्यास प्रश्न 3 (अभिकथन-कारण)

प्र. अभिकथन (A): एक पिंड का वेग शून्य हो सकता है और फिर भी त्वरण अशून्य हो सकता है। कारण (R): त्वरण वेग के परिवर्तन की दर है, इसलिए क्षण भर के लिए शून्य वेग भी बदल सकता है।
विकल्प: (a) दोनों सत्य, R, A की व्याख्या करता है · (b) दोनों सत्य, R, A की व्याख्या नहीं करता है · (c) A सत्य, R असत्य · (d) A असत्य, R सत्य

समाधान. एक ऊर्ध्वाधर प्रक्षेपण का शीर्ष: शिखर पर v = 0 जबकि a = 9.8 m s⁻² नीचे की ओर — वेग शून्य से गुजर रहा है, वहां स्थिर नहीं है। R ठीक यही बताता है कि A क्यों संभव है।

मुख्य सूत्र और निष्कर्ष

त्वरण पर अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

एक-विमीय गति में त्वरण क्या है?

यह वेग के परिवर्तन की दर है: a = dv/dt = d²x/dt², जिसका SI मात्रक m s⁻² है। धनात्मक त्वरण का अर्थ है कि वेग अधिक धनात्मक हो रहा है, न कि वस्तु की गति बढ़ रही है।

क्या ऋणात्मक त्वरण का हमेशा मतलब गति का धीमा होना है?

नहीं। वस्तु तभी धीमी होती है जब त्वरण वेग का विरोध करता है (v·a < 0)। यदि दोनों ऋणात्मक हैं — उदाहरण के लिए v = −5 m s⁻¹ और a = −2 m s⁻² — तो चाल 5 से 7 m s⁻¹ तक बढ़ती है, इसलिए वस्तु की गति बढ़ती है।

वेग-समय ग्राफ के अंतर्गत का क्षेत्रफल क्या दर्शाता है?

विस्थापन: वेग × समय की विमाएँ लंबाई की होती हैं। समय अक्ष के नीचे के क्षेत्र ऋणात्मक माने जाते हैं, इसलिए कुल दूरी के लिए क्षेत्रों को उनके चिह्नों के बिना गिना जाना चाहिए।

क्या किसी पिंड का वेग शून्य और त्वरण अशून्य हो सकता है?

हाँ — ऊर्ध्वाधर प्रक्षेपण के शीर्ष पर वेग शून्य होता है जबकि त्वरण 9.8 m s⁻² नीचे की ओर होता है। शून्य वेग का अर्थ है क्षण भर के लिए विराम पर, न कि कोई बल कार्य नहीं कर रहा है।