मुक्त पतन और गुरुत्वाकर्षण के अधीन गति

पृथ्वी की सतह के पास प्रत्येक ऊर्ध्वाधर गति — एक गिराया गया पत्थर, एक उछाली गई गेंद, एक गोताखोर का बोर्ड छोड़ना — एक ही संख्या पर निर्भर करती है: g = 9.8 m s⁻², नीचे की ओर निर्देशित। क्योंकि यह त्वरण नियत है, गति के समीकरण सीधे लागू होते हैं, और मुक्त पतन पूरे अध्याय का सबसे स्वच्छ अनुप्रयोग बन जाता है। यह NTA के सबसे विश्वसनीय प्रश्न-निर्माताओं में से एक भी है: "v = 0 लेकिन a = 9.8 m s⁻²" उच्चतम-बिंदु का जाल, अधिकतम-ऊँचाई और उड्डयन-काल के संख्यात्मक प्रश्न, ऊपर-नीचे समरूपता की जाँच, और प्रतिक्रिया-समय स्केल प्रयोग को एक पूर्णांक-उत्तर प्रश्न के रूप में पुनर्चक्रित किया जाता है। यह पृष्ठ पूर्ण टूलकिट को एक साथ लाता है — गिराए गए पिंड, ऊपर फेंके गए पिंड, नीचे फेंके गए पिंड — एक सख्त चिह्न परिपाटी के साथ ताकि कोई भी चिह्न कभी न छूटे, और उन क्लासिक प्रयोगों के साथ समाप्त होता है जिन्होंने सबसे पहले g को मापने योग्य बनाया।

मुक्त पतन क्या है? — पूर्ण सिद्धांत

1. मॉडल और उसकी तीन शर्तें

मुक्त पतन केवल गुरुत्वाकर्षण के अधीन गति है: वायु प्रतिरोध को नगण्य माना जाता है, पिंड पृथ्वी की सतह के पास रहता है जहाँ g ऊँचाई के साथ भिन्न नहीं होता है, और पथ एक ऊर्ध्वाधर सरल रेखा होती है। इन तीन शर्तों के तहत प्रत्येक गिरते हुए पिंड — पंख या लोहे की गेंद — का त्वरण g = 9.8 m s⁻² नीचे की ओर समान होता है, एक तथ्य जिसने अरस्तू के अनुयायियों को चौंका दिया और अभी भी छात्रों को चौंकाता है: द्रव्यमान कभी भी शुद्ध गतिकी में प्रवेश नहीं करता है। मान 9.8 m s⁻² स्वयं एक त्वरण है (विमा [L T⁻²]), इसलिए "9.8 का बल" या "g न्यूटन" लिखना एक विमीय त्रुटि है — न्यूटन में g, W = mg से संबंधित है, जो पूरी तरह से एक अलग संबंध है (अध्याय 4)। नीचे दिए गए सभी सूत्र a को g से प्रतिस्थापित करके गति के समीकरण हैं; वे उन समीकरणों की प्रत्येक वैधता शर्त को विरासत में लेते हैं।

2. विराम से गिराया गया पिंड (यहाँ नीचे को धनात्मक लें)

v₀ = 0 और a = +g (शुद्ध पतन के लिए नीचे = धनात्मक — सबसे स्वच्छ परिपाटी) के साथ:

v = gt · h = ½gt² · v = √(2gh)

तीसरा संबंध — t को समाप्त करके प्राप्त किया गया — कहता है कि संघट्ट चाल केवल गिरने की ऊँचाई पर निर्भर करती है, न कि द्रव्यमान या लगने वाले समय पर। याद रखने योग्य त्वरित अंशांकन संख्याएँ: 1 s के बाद, v = 9.8 m s⁻¹ और h = 4.9 m; 2 s के बाद, v = 19.6 m s⁻¹ और h = 19.6 m। समय को दोगुना करने से दूरी चौगुनी हो जाती है (t² नियम) — एक आनुपातिकता जिसे NTA सीधे परीक्षण करता है: "एक पिंड पहले सेकंड की तुलना में n वें सेकंड में n गुना अधिक दूर गिरता है?" शैली के प्रश्न गतिज पृष्ठ से विषम-संख्या सीढ़ी 1 : 3 : 5 : … तक कम हो जाते हैं।

3. ऊपर फेंका गया पिंड (अब ऊपर को धनात्मक लें, तो a = −g)

ऊपर की ओर प्रारंभिक चाल u के साथ:

v = u − gt · h = ut − ½gt² · शीर्ष पर v = 0

v = 0 रखने पर दो मुख्य परिणाम मिलते हैं:

t_up = u/g (शीर्ष तक का समय) · h_max = u²/2g (अधिकतम ऊँचाई)

अवरोहण आरोहण का उल्टा है: वायु प्रतिरोध के बिना पिंड u चाल (चाल समरूपता) के साथ प्रक्षेपण बिंदु पर वापस आ जाता है, कुल उड्डयन काल T = 2u/g के बाद — ऊपर जाने का समय नीचे आने के समय के बराबर होता है। पूर्ण v–t ग्राफ −g की प्रवणता वाली एक सीधी रेखा है जो शीर्ष पर ठीक एक बार शून्य को पार करती है; ग्राफ के बारे में कुछ भी "तेज" नहीं है, यही कारण है कि वहाँ v = 0 का अर्थ a = 0 नहीं है। यदि पिंड को u₀ चाल से नीचे फेंका जाता है, तो बस v = u₀ + gt का उपयोग करें जिसमें नीचे धनात्मक हो — एक परिपाटी, बिना किसी माफी के लागू की गई, ही पूरी कुशलता है।

4. प्रतिक्रिया समय: g एक स्टॉपवॉच के रूप में (NCERT प्रयोग)

एक दोस्त से एक स्केल को ऊर्ध्वाधर रूप से पकड़ने के लिए कहें और बिना चेतावनी के उसे गिरा दें; उसे पकड़ें और गिरने की दूरी d पढ़ें। आपके मस्तिष्क की देरी t = √(2d/g) है, सीधे h = ½gt² से। d = 19.6 cm = 0.196 m के लिए: t = √(2 × 0.196/9.8) = √0.04 = 0.2 s — एक विशिष्ट मानव प्रतिक्रिया समय, यही कारण है कि यह उदाहरण हर परीक्षा चक्र में जीवित रहता है: यह g का उपयोग करके एक लंबाई माप को एक समय माप में परिवर्तित करता है।

एक ऊर्ध्वाधर प्रक्षेपण का दृश्यीकरण: एक रेखा, पूरी कहानी

मुक्त पतन पर हल किए गए उदाहरण (चरण-दर-चरण)

हल किया गया उदाहरण 1 — 19.6 m से गिराया गया

प्र. एक पत्थर को 19.6 m ऊँची चट्टान से गिराया जाता है। जमीन तक पहुँचने का समय और संघट्ट चाल ज्ञात कीजिए (g = 9.8 m s⁻²)।

चरण 1. नीचे को धनात्मक लें, v₀ = 0। समय: h = ½gt² → 19.6 = ½(9.8)t² = 4.9t² → t² = 4 → t = 2 s।

चरण 2. चाल: v = gt = 9.8 × 2 = 19.6 m s⁻¹।

चरण 3. समय-मुक्त रूप से क्रॉस-चेक करें: v = √(2gh) = √(2 × 9.8 × 19.6) = √384.16 = 19.6 m s⁻¹ ✔।

हल किया गया उदाहरण 2 — 19.6 m s⁻¹ पर ऊपर फेंका गया

प्र. एक गेंद को 19.6 m s⁻¹ पर ऊर्ध्वाधर रूप से ऊपर फेंका जाता है। अधिकतम ऊँचाई, शीर्ष तक का समय और कुल उड्डयन काल ज्ञात कीजिए।

चरण 1. ऊपर को धनात्मक लें, a = −g। शीर्ष: v = 0 → t_up = u/g = 19.6/9.8 = 2 s।

चरण 2. ऊँचाई: h_max = u²/2g = (19.6)²/(2 × 9.8) = 384.16/19.6 = 19.6 m।

चरण 3. उड़ान: T = 2u/g = 2 × 2 = 4 s; गेंद 19.6 m s⁻¹ नीचे की ओर (समरूपता) पर हाथ में वापस आती है।

मुक्त पतन पर अभ्यास प्रश्न (समाधान सहित)

अभ्यास प्रश्न 1 (संख्यात्मक-मान प्रकार)

प्र. एक पिंड विराम से गिरता है और 49 m s⁻¹ पर जमीन से टकराता है। यह किस ऊँचाई से गिरा था? (g = 9.8 m s⁻²; उत्तर मीटर में दें)

समाधान. v² = 2gh → h = v²/2g = (49)²/(2 × 9.8) = 2401/19.6 = 122.5 m। द्रव्यमान और गिरने का समय गणना में कभी नहीं आया।

अभ्यास प्रश्न 2 (एकल-सही MCQ)

प्र. एक पत्थर को विराम से गिराया जाता है (नीचे धनात्मक)। 3 s के बाद उसकी चाल है: (a) 9.8 m s⁻¹ (b) 19.6 m s⁻¹ (c) 29.4 m s⁻¹ (d) 44.1 m s⁻¹

समाधान. v = gt = 9.8 × 3 = 29.4 m s⁻¹। (उस समय में गिरी हुई दूरी 44.1 m = ½ × 9.8 × 9 है — विकल्प (d) चाल के लिए दूरी का प्रतिस्थापन है।)

अभ्यास प्रश्न 3 (अभिकथन-कारण)

प्र. अभिकथन (A): निर्वात में, एक सिक्का और एक पंख एक ही ऊँचाई से एक साथ छोड़े जाने पर एक ही क्षण में फर्श पर पहुँचते हैं। कारण (R): मुक्त पतन का त्वरण पिंड के द्रव्यमान से स्वतंत्र होता है।
विकल्प: (a) दोनों सत्य, R, A की व्याख्या करता है · (b) दोनों सत्य, R, A की व्याख्या नहीं करता है · (c) A सत्य, R असत्य · (d) A असत्य, R सत्य

समाधान. घर्षण अनुपस्थित होने पर, दोनों पिंड द्रव्यमान की परवाह किए बिना a = g साझा करते हैं, इसलिए समान ऊँचाई में समान समय लगता है। R वह भौतिक कारण है जिससे A सत्य है।

मुख्य सूत्र और मुख्य बातें

मुक्त पतन और गुरुत्वाकर्षण के अधीन गति पर अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

मुक्त पतन क्या है?

केवल गुरुत्वाकर्षण के अधीन गति, जिसमें वायु प्रतिरोध को नगण्य माना जाता है। प्रत्येक पिंड के लिए त्वरण g = 9.8 m s⁻² नीचे की ओर निर्देशित होता है, जो उसके द्रव्यमान से स्वतंत्र होता है।

u चाल से ऊपर फेंकी गई गेंद की अधिकतम ऊँचाई क्या है?

h_max = u²/2g, जो t_up = u/g समय के बाद प्राप्त होती है। u = 19.6 m s⁻¹ और g = 9.8 m s⁻² के लिए, ऊँचाई 2 s के बाद 19.6 m होती है।

ऊर्ध्वाधर प्रक्षेपण के उच्चतम बिंदु पर त्वरण क्या होता है?

9.8 m s⁻² नीचे की ओर — पूर्ण गुरुत्वाकर्षण — भले ही उस बिंदु पर वेग क्षण भर के लिए शून्य हो। शून्य वेग का अर्थ शून्य त्वरण नहीं होता है।

क्या भारी वस्तुएँ तेज़ी से गिरती हैं?

नहीं। वायु प्रतिरोध के बिना मुक्त पतन में त्वरण g सभी द्रव्यमानों के लिए समान होता है, इसलिए निर्वात में एक पत्थर और एक पंख एक साथ छोड़े जाने पर एक साथ जमीन पर गिरते हैं।