सदिशों का वियोजन — समकोणिक घटक (NCERT 3.5)
1. सदिश का वियोजन क्या है?
वियोजन (Resolution) सदिश योग की विपरीत प्रक्रिया है: दो परस्पर लंबवत सदिशों को मिलाकर एक परिणामी बनाने के बजाय, हम एक सदिश को दो परस्पर लंबवत भागों में विभाजित करते हैं (परंपरानुरूप x और y अक्षों के अनुदिश), जो मिलकर ठीक उसी मूल सदिश को पुनः उत्पन्न करते हैं। इन दोनों भागों को सदिश के समकोणिक घटक (rectangular components) कहा जाता है। यदि परिमाण A वाला कोई सदिश A धनात्मक x-अक्ष (+x) के साथ θ कोण बनाता है, तो इसके घटक Ax = A cos θ और Ay = A sin θ होते हैं, तथा सदिश का पुनर्निर्माण A = Axî + Ayĵ के रूप में होता है। ज्यामितीय दृष्टि से, A उस आयत का विकर्ण है जिसकी भुजाएँ Ax और Ay हैं।
इसकी आवश्यकता क्यों है? क्योंकि घटक सदिश समस्याओं को साधारण अंकगणित में बदल देते हैं। एक बार जब किसी प्रश्न में प्रत्येक सदिश को î–ĵ भाषा में लिख लिया जाता है, तो सदिशों को जोड़ना, बलों का योग करना, या न्यूटन का द्वितीय नियम लिखना मात्र स्तम्भवार (column-wise) संख्याओं को जोड़ना रह जाता है। यह एक दक्षता प्रक्षेप्य गति (प्रथक्कृत क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर गतियों), आनत तल, और गति के नियम (Laws of Motion) में बनाए जाने वाले प्रत्येक मुक्त पिण्ड आरेख (FBD) का आधार है। NTA इस अध्याय के लगभग आधे संख्यात्मक प्रश्नों को केवल एक स्पष्ट वियोजन और उसके बाद पाइथागोरस प्रमेय व स्पर्शज्या (tangent) के सरल अनुप्रयोग पर आधारित करता है।
2. संपूर्ण सिद्धांत: घटक, एकांक सदिश, पुनर्निर्माण
दिशा वाहक के रूप में एकांक सदिश। प्रतीक î, ĵ, k̂ किसी दक्षिणावर्ती निकाय (right-handed system) के +x, +y, +z अक्षों के अनुदिश एकांक सदिश हैं; प्रत्येक का परिमाण 1 होता है और ये विमाहीन होते हैं। कोई भी सदिश तीन संख्याओं और मानक दिशाओं का समुच्चय बन जाता है: 3-D में A = Axî + Ayĵ + Azk̂ (यहाँ हम मुख्यतः समतल में कार्य करते हैं)। चूँकि î·î = 1 और î·ĵ = 0 होता है, घटकीय संख्याएँ भौतिक जानकारी को सरलता से व्यक्त कर देती हैं — यही वह कार्यप्रणाली है जिसका उपयोग अदिश और सदिश गुणनफल पृष्ठ पर किया गया है।
पुनर्निर्माण (व्युत्क्रम समस्या)। घटक दिए होने पर, परिमाण पाइथागोरस प्रमेय से प्राप्त होता है, A = √(Ax² + Ay²), और दिशा tan θ = Ay/Ax से। मुख्य बिंदु चतुर्थांश का है: आर्कटैनजेंट केवल एक संदर्भ कोण देता है, अतः Ax और Ay के चिन्ह वास्तविक चतुर्थांश निर्धारित करते हैं — चतुर्थांश I (+, +), II (−, +), III (−, −), IV (+, −)। "लंबवत" दिशा में वियोजन शून्य होता है: सदिश A के स्वयं के लंबवत दिशा में घटक A cos 90° = 0 होता है; इस तथ्य का उपयोग NTA "ĵ के अनुदिश 6 î का घटक क्या है?" जैसे प्रश्नों में करता है (उत्तर: शून्य)।
उचित अक्षों का चयन। अक्षों का चयन आपकी स्वेच्छा पर निर्भर करता है, और एक बुद्धिमत्तापूर्ण चयन त्रिकोणमिति को न्यूनतम कर देता है: किसी एक अक्ष को गति की दिशा या सतह के अनुदिश संरेखित करें। किसी आनत तल पर, भार (weight) को "ढलान के अनुदिश" (mg sin θ) और "ढलान के लंबवत" (mg cos θ) वियोजित करने से दो घटक शून्य हो जाते हैं, और यह संपूर्ण यांत्रिकी में सबसे अधिक बार दोहराया जाने वाला वियोजन है।
3. घटकों का दृश्यांकन (Visualising Components)
चित्र 3.3 — θ = 37° पर A = 50 मात्रक का वियोजन
नारंगी बिंदुकित रेखाएँ बाणाग्र (arrowhead) से अक्षों पर लंब डालती हैं; ये ही घटक हैं, और A उनके आयत का विकर्ण है।
परीक्षा अंतर्दृष्टि (Exam Read-out): पुनः 3-4-5 त्रिभुज: 50 → (40, 30)। पाइथागोरस से जांच करें: 40² + 30² = 1600 + 900 = 2500 = 50²। जब भी NTA 37° या 53° कोण देता है, तो पूर्णांक घटकों की अपेक्षा रखें — यही कारण है कि इन कोणों को चुना जाता है।
4. हल किए गए उदाहरण (Solved Examples)
उदाहरण 1 — क्षैतिज से 37° ऊपर की ओर बल
एक रस्सी एक क्रेट को क्षैतिज से 37° ऊपर F = 50 N के बल से खींचती है। क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटक तथा उनके मात्रक ज्ञात कीजिए।
हल (चरण-दर-चरण): Fx = F cos θ = 50 × cos 37° = 50 × 0.8 = 40 N (क्षैतिज); Fy = F sin θ = 50 × 0.6 = 30 N (ऊर्ध्वाधर)। भौतिक अर्थ: केवल 40 N वाला भाग ही क्रेट को आगे खींचता है; 30 N वाला भाग गुरुत्वाकर्षण का विरोध करता है (जिससे अभिलम्ब प्रतिक्रिया कम हो जाती है)। वियोजन के बाद भी मात्रक अपरिवर्तित रहते हैं — घटकों में न्यूटन मात्रक होता है, और एकांक सदिश केवल दिशा बताते हैं, यही कारण है कि Â स्वयं विमाहीन होता है।
उदाहरण 2 — द्वितीय चतुर्थांश का उदाहरण, सही विधि से
परिमाण 10 वाला एक सदिश +x अक्ष के साथ 120° का कोण बनाता है। इसके घटक ज्ञात कीजिए और पुनर्निर्माण की पुष्टि कीजिए।
हल: Ax = 10 cos 120° = 10 × (−0.5) = −5; Ay = 10 sin 120° = 10 × (√3/2) ≈ +8.66। चिन्ह (−, +) तीर को सही ढंग से द्वितीय चतुर्थांश में स्थापित करते हैं। पुनर्निर्माण: √((−5)² + (8.66)²) = √(25 + 75) = √100 = 10 ✓। ध्यान दें कि कैलकुलेटर का tan⁻¹(8.66/−5) = tan⁻¹(−1.732) = −60° आपको 180° भटका देता — चिन्ह की जांच सही उत्तर देती है: 180° − 60° = 120°।
5. अभ्यास प्रश्न (Practice Questions)
प्र. 1. एक पिंड को क्षैतिज से 53° ऊपर की दिशा में 10 m विस्थापित किया जाता है। क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर विस्थापन ज्ञात कीजिए।
उत्तर: Δx = 10 cos 53° = 10 × 0.6 = 6 m; Δy = 10 sin 53° = 10 × 0.8 = 8 m — 6-8-10 त्रिभुज। परिणामी की जांच: √(36 + 64) = 10 ✓।
प्र. 2. B = 4î − 3ĵ + 12k̂ के अनुदिश एकांक सदिश लिखिए।
उत्तर: |B| = √(16 + 9 + 144) = √169 = 13, अतः B̂ = (4î − 3ĵ + 12k̂)/13। 3-D में भी यही पाइथागोरस प्रमेय वर्गमूल के अंतर्गत तीन पदों के वर्गों तक विस्तृत हो जाती है।
प्र. 3 (MCQ). y-अक्ष के अनुदिश सदिश 6î का घटक है: (a) 6 (b) 0 (c) 6√2 (d) 3
उत्तर: (b) 0 — î लंबवत है ĵ के, और लंबवत दिशा के अनुदिश घटक A cos 90° = 0 होता है।
6. मुख्य सूत्र एवं महत्वपूर्ण बिंदु
| संबंध / सूत्र | शर्त / टिप्पणी |
|---|---|
| Ax = A cos θ; Ay = A sin θ | θ को +x अक्ष से वामावर्त (anticlockwise) मापा गया है; चिन्ह चतुर्थांश के अनुसार होते हैं |
| A = Axî + Ayĵ | पुनर्निर्माण; A घटकों द्वारा निर्मित आयत का विकर्ण है |
| A = √(Ax² + Ay²) | पाइथागोरस प्रमेय; 3-D में +Az² तक विस्तृत होता है |
| tan θ = Ay/Ax | केवल संदर्भ कोण — घटकों के चिन्हों से वास्तविक चतुर्थांश निर्धारित करें |
| A के लंबवत (⊥) घटक शून्य होता है | A cos 90° = 0; जैसे, ĵ के अनुदिश 6î का घटक 0 है |
| अक्षों का दक्ष चयन | किसी घटक को शून्य करने के लिए अक्ष को गति या सतह के अनुदिश संरेखित करें |
7. अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)
समकोणिक घटकों में सदिश का वियोजन क्या है?
वियोजन एक सदिश को दो परस्पर लंबवत सदिशों (सामान्यतः x और y अक्षों के अनुदिश) द्वारा प्रतिस्थापित करता है, जिनका योग मूल सदिश के बराबर होता है। यदि A धनात्मक x-अक्ष से θ कोण बनाता है, तो घटक x के अनुदिश A_x = A cos θ और y के अनुदिश A_y = A sin θ होते हैं, तथा A = A_x î + A_y ĵ होता है। मूल सदिश वास्तव में इसके घटकों द्वारा निर्मित आयत का विकर्ण होता है। वियोजन θ = 90° पर समांतर चतुर्भुज नियम द्वारा सदिश योग की विपरीत प्रक्रिया है।
घटकों की सहायता से किसी सदिश का परिमाण और दिशा कैसे ज्ञात करते हैं?
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार परिमाण A = √(A_x² + A_y²) होता है। दिशा tan θ = A_y/A_x से प्राप्त होती है, लेकिन आर्कटैनजेंट केवल −90° और +90° के बीच का संदर्भ कोण देता है, इसलिए आपको A_x और A_y के चिन्हों की जांच करके कोण को सही चतुर्थांश में रखना होगा: दोनों धनात्मक → प्रथम चतुर्थांश (I), A_x ऋणात्मक → द्वितीय चतुर्थांश (II), A_y ऋणात्मक → तृतीय (III) या चतुर्थ (IV) चतुर्थांश।
tan θ = A_y/A_x का उपयोग करते समय चिन्हों की जांच करना क्यों आवश्यक है?
क्योंकि tan θ का मान 180° के अंतर वाले कोणों के लिए पुनरावृत्त होता है: tan 30° और tan 210° बराबर होते हैं, फिर भी सदिश विपरीत दिशाओं में इंगित करते हैं। घटकों के युग्म A_x = −4, A_y = 3 के लिए tan θ = −0.75 मिलता है और कैलकुलेटर −36.9° दिखाता है, परंतु वास्तव में सदिश द्वितीय चतुर्थांश में +x अक्ष से 143.1° पर स्थित होता है। घटकों के चिन्हों की जांच एक त्वरित रेखाचित्र से करना ही सही चतुर्थांश निर्धारित करने का एकमात्र विश्वसनीय तरीका है।
î, ĵ, k̂ क्या हैं और एकांक सदिश क्यों उपयोगी हैं?
î, ĵ और k̂ दक्षिणावर्ती निकाय (right-handed system) के +x, +y और +z अक्षों के अनुदिश एकांक सदिश (परिमाण 1, विमाहीन) हैं। ये मानक दिशा वाहक के रूप में कार्य करते हैं: किसी भी सदिश को A = A_x î + A_y ĵ + A_z k̂ के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ संख्याएँ A_x, A_y, A_z भौतिक मान व्यक्त करती हैं और î ĵ k̂ ज्यामितीय दिशा निर्धारित करते हैं। इससे सदिशों का योग केवल घटक-दर-घटक संख्याओं को जोड़ने में बदल जाता है, जो सदिश योग की विश्लेषणात्मक विधि का आधार है।
केवल इसी डिवाइस पर सेव — कोई अकाउंट या साइन-इन नहीं।