सदिश योग — विश्लेषणात्मक विधि (NCERT 3.6)
1. विश्लेषणात्मक विधि क्या है?
तीर खींचना दो सदिशों और स्थूल अनुमानों के लिए ठीक है, परंतु NTA को दो सार्थक अंकों तक सटीक संख्यात्मक मान चाहिए — और इसके लिए ज्यामिति को बीजगणित में बदलना आवश्यक है। विश्लेषणात्मक विधि (Analytical method) आलेखीय विधि के समांतर चतुर्भुज निर्माण को दो संक्षिप्त सूत्रों में बदल देती है: एक परिणामी के परिमाण के लिए, R = √(A² + B² + 2AB cos θ), और दूसरा इसकी दिशा के लिए, tan α = B sin θ/(A + B cos θ)। दोनों परीक्षाओं (JEE/NEET) में सदिश योग का प्रत्येक MCQ इन्हीं दो सूत्रों और विशेष कोण मानों पर आधारित होता है, इसलिए इस विषय पर महारत हासिल करने का लाभ अत्यधिक है।
यह विधि बहुत सुगमता से सामान्यीकृत हो जाती है। दो से अधिक सदिशों के लिए, प्रत्येक को घटकों में वियोजित करें और स्तंभ-वार जोड़ें (जैसा कि उदाहरण 2 में दिखाया गया है) — यही विधि द्विविमीय शुद्धगतिकी में वेगों और त्वरणों के लिए उपयोग की जाती है। संक्षेप में, विश्लेषणात्मक योग वास्तव में दो बार सदिश वियोजन (पिछला विषय) और एक बार पाइथागोरस प्रमेय का अनुप्रयोग है।
2. संपूर्ण सिद्धांत: उपपत्ति, दिशा एवं विशेष स्थितियां
उपपत्ति (इसे अच्छी तरह समझें — यह पूछी जाती है): एक उभयनिष्ठ बिंदु से प्रारंभिक बिंदु (tails) मिलाकर θ कोण पर A और B खींचें तथा समांतर चतुर्भुज को पूरा करें; परिणामी R उस उभयनिष्ठ बिंदु से गुजरने वाला विकर्ण है। B के शीर्ष से A की रेखा पर एक लंब डालें। समकोण त्रिभुज की भुजाएँ B sin θ (A के लंबवत) और A + B cos θ (A के अनुदिश) हैं। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: R² = (A + B cos θ)² + (B sin θ)² = A² + 2AB cos θ + B²(cos²θ + sin²θ) = A² + B² + 2AB cos θ, सर्वसमिका cos²θ + sin²θ = 1 का उपयोग करते हुए। परिणामी की दिशा उसी त्रिभुज से प्राप्त होती है: tan α = (सम्मुख भुजा)/(संलग्न भुजा) = B sin θ/(A + B cos θ), जहाँ α सदिश A से मापा गया कोण है।
विशेष कोण — इन मानों को कंठस्थ करें: θ = 0°: R = A + B। θ = 90°: R = √(A² + B²), जहाँ tan α = B/A। θ = 180°: R = |A − B|। θ कोण पर समान सदिश (A = B): समद्विभाजक के अनुदिश R = 2A cos(θ/2) — जिससे 60° पर R = √3A, 90° पर √2A, 120° पर A, और 180° पर 0 प्राप्त होता है। व्यवकलन (घटाव) केवल कोज्या (cosine) पद का चिह्न बदलता है: |A − B| = √(A² + B² − 2AB cos θ), क्योंकि घटाना वास्तव में B के प्रति-समांतर (antiparallel) सदिश को जोड़ने के समान है।
कोण निर्धारण जो अंक बचाता है: दोनों सूत्रों में प्रयुक्त θ उन सदिशों के प्रारंभिक बिंदुओं (tails) के बीच का कोण है जब उन्हें एक ही बिंदु से खींचा जाता है। यदि किसी प्रश्न में "A और −B के विस्तार के बीच का कोण" या किसी बहुभुज का आंतरिक कोण दिया गया हो, तो पहले उनके प्रारंभिक बिंदुओं को एक साथ रखकर पुनः आरेख बनाएं। पुनः आरेख बनाने की यह एक आदत परीक्षा में होने वाली सबसे सामान्य त्रुटि से बचाती है।
3. समांतर चतुर्भुज गणना का दृश्यांकन
चित्र 3.4 — सूत्र R² = A² + B² + 2AB cos θ की ज्यामितीय उत्पत्ति
डैश वाली भुजाएँ उपपत्ति के समकोण त्रिभुज की दो भुजाएँ हैं; हरा विकर्ण परिणामी R है।
परीक्षा निष्कर्ष: A = B = 5 और θ = 60° के लिए, भुजाएँ 5 + 2.5 = 7.5 तथा 5 × (√3/2) ≈ 4.33 हैं, अतः R = √(56.25 + 18.75) = √75 = 5√3 ≈ 8.66 — समान-सदिश शॉर्टकट 2A cos(θ/2) संख्यात्मक रूप से सिद्ध होता है।
4. हल किए गए उदाहरण
उदाहरण 1 — 60° पर कार्यरत समान बल
प्रत्येक 5 N के दो बल परस्पर 60° के कोण पर कार्यरत हैं। परिणामी का परिमाण और दिशा ज्ञात कीजिए।
हल (चरणबद्ध): चूँकि A = B = 5, समान-सदिश शॉर्टकट का उपयोग करें: R = 2A cos(θ/2) = 2 × 5 × cos 30° = 10 × 0.866 = 8.66 N। दिशा: समद्विभाजक के अनुदिश, अर्थात् प्रत्येक बल से 30° पर (वैकल्पिक रूप से tan α = 5 sin 60°/(5 + 5 cos 60°) = 4.33/7.5 = 0.577 → α = 30° ✓)। पूर्ण सूत्र से पुनः जांच: R = √(25 + 25 + 2·25·0.5) = √75 ≈ 8.66 ✓। यह परिणामी किसी एक बल से बड़ा है परंतु उनके योग से छोटा है — ठीक वही जिसकी त्रिभुज असमिका पुष्टि करती है।
उदाहरण 2 — दो यादृच्छिक सदिशों के लिए घटक विधि
A = 3î + 4ĵ और B = 2î − ĵ (मात्रक स्वेच्छ हैं) को जोड़िए। R, इसका परिमाण और दिशा ज्ञात कीजिए।
हल: घटक योग: Rx = 3 + 2 = 5; Ry = 4 + (−1) = 3। अतः R = 5î + 3ĵ। परिमाण: |R| = √(25 + 9) = √34 ≈ 5.83। दिशा: tan α = 3/5 = 0.6, α ≈ 31.0° (+x अक्ष के साथ; दोनों घटक धनात्मक हैं → प्रथम चतुर्थांश, किसी संशोधन की आवश्यकता नहीं)। ध्यान दें कि "A और B के बीच के कोण" की त्रिकोणमिति की कोई आवश्यकता नहीं पड़ी — घटक विधि कोण-मुक्त होती है, यही कारण है कि यह सदिशों की किसी भी संख्या के लिए आसानी से लागू होती है।
5. अभ्यास प्रश्न
प्र. 1. 3 N और 4 N के बल परस्पर 60° के कोण पर कार्यरत हैं। परिणामी का परिमाण और 3 N के बल के साथ इसका कोण ज्ञात कीजिए।
उत्तर: R = √(9 + 16 + 2·3·4·0.5) = √(25 + 12) = √37 ≈ 6.08 N। tan α = 4 sin 60°/(3 + 4 cos 60°) = 3.464/5 = 0.693 → α ≈ 34.7° (3 N बल से)।
प्र. 2. प्रत्येक 10 N के दो बल 120° पर कार्यरत हैं। परिणामी ज्ञात कीजिए।
उत्तर: R = 2 × 10 × cos 60° = 10 N कोण समद्विभाजक के अनुदिश (प्रत्येक बल से 60° पर)। 120° पर दो समान सदिशों का परिणामी किसी एक सदिश के ही बराबर होता है — परीक्षा का पसंदीदा विशेष प्रकरण।
प्र. 3 (MCQ). A और B के बीच किस कोण के लिए |A + B| = |A − B| होता है? (a) 0° (b) 45° (c) 90° (d) 180°
उत्तर: (c) 90°। √(A²+B²+2AB cos θ) और √(A²+B²−2AB cos θ) की तुलना करने पर अनिवार्य रूप से cos θ = 0 प्राप्त होता है। इसका यह भी अर्थ है कि A·B = 0 — सदिश गुणनफल पृष्ठ देखें।
6. मुख्य सूत्र एवं महत्वपूर्ण निष्कर्ष
| संबंध / सूत्र | शर्त / टिप्पणी |
|---|---|
| R = √(A² + B² + 2AB cos θ) | प्रारंभिक बिंदुओं के बीच कोण θ; कोज्या नियम |
| tan α = B sin θ/(A + B cos θ) | A से कोण α; समान सदिश → α = θ/2 |
| |A − B| = √(A² + B² − 2AB cos θ) | व्यवकलन विकर्ण; −B को जोड़ना |
| समान सदिश: R = 2A cos(θ/2) | समद्विभाजक के अनुदिश; 120° पर A, 60° पर √3A, 90° पर √2A |
| Rx = ΣAx, Ry = ΣAy | घटक विधि — N सदिशों तक विस्तारित, कोण-मुक्त |
| Rmin/Rmax = |A−B| / (A+B) | संभावित परिणामी का परास; मध्यवर्ती सभी मान संभव |
7. अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQs)
विश्लेषणात्मक विधि द्वारा दो सदिशों के परिणामी के परिमाण का निगमन कीजिए।
एक उभयनिष्ठ बिंदु से θ कोण पर दो सदिशों A और B को खींचकर समांतर चतुर्भुज पूरा करें; परिणामी R उस बिंदु से गुजरने वाला विकर्ण है। B के शीर्ष से A की बढ़ाई गई रेखा पर एक लम्ब डालें। समकोण त्रिभुज में, A पर B का प्रक्षेप B cos θ और लम्बवत भाग B sin θ है। तब R² = (A + B cos θ)² + (B sin θ)² = A² + 2AB cos θ + B², अतः R = √(A² + B² + 2AB cos θ)। यह सदिश त्रिभुज पर लागू किया गया कोज्या नियम (law of cosines) है।
परिणामी सदिश की दिशा ज्ञात करने का सूत्र क्या है?
यदि परिणामी सदिश, सदिश A के साथ कोण α बनाता है, तो tan α = B sin θ / (A + B cos θ)। यहाँ अंश A के लम्बवत कुल घटक है और हर A की दिशा में कुल घटक है। समान परिमाण वाले सदिशों (A = B) के लिए, α = θ/2 — परिणामी उनके बीच के कोण को समद्विभाजित करता है, क्योंकि सूत्र tan α = sin θ/(1 + cos θ) = tan(θ/2) में बदल जाता है।
θ कोण पर कार्यरत दो समान परिमाण वाले सदिशों का परिणामी क्या होता है?
A = B के लिए, सामान्य सूत्र R = √(2A² + 2A² cos θ) = 2A cos(θ/2) देता है, जो उनके बीच के कोण के समद्विभाजक के अनुदिश होता है। महत्वपूर्ण स्थितियाँ: θ = 0° पर R = 2A; θ = 60° पर R = √3 A; θ = 90° पर R = √2 A; θ = 120° पर R = A; तथा θ = 180° पर R = 0। स्थिति θ = 120° (दो समान सदिश जिनका परिणामी किसी एक सदिश के बराबर होता है) NTA परीक्षा में बार-बार पूछा जाने वाला बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQ) है।
दो से अधिक सदिशों का विश्लेषणात्मक रूप से योग कैसे किया जाता है?
घटक विधि (component method) का उपयोग करें: प्रत्येक सदिश को x और y घटकों में वियोजित करें, सभी x-घटकों को जोड़कर R_x = ΣA_x प्राप्त करें, सभी y-घटकों को जोड़कर R_y = ΣA_y प्राप्त करें, और फिर संयोजित करें: R = √(R_x² + R_y²), जहाँ दिशा tan α = R_y/R_x से प्राप्त होती है (R_x और R_y के चिन्हों से चतुर्थांश की जांच की जाती है)। यह विधि सदिशों की किसी भी संख्या के लिए लागू होती है और इस अध्याय में द्विविमीय गति को इसी प्रकार हल किया जाता है।
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