एकसमान वृत्तीय गति — अभिकेंद्रीय त्वरण a = v²/r (NCERT 3.10)
1. एकसमान वृत्तीय गति क्या है? (What Is Uniform Circular Motion?)
एकसमान वृत्तीय गति (Uniform circular motion - UCM) नियत चाल से एक वृत्त में होने वाली गति है। शब्द "एकसमान" केवल चाल को संदर्भित करता है — और यही इस संपूर्ण विषय का वैचारिक केंद्र बिंदु है: वेग प्रत्येक क्षण वृत्त की स्पर्शरेखा के अनुदिश होता है, इसलिए इसकी दिशा लगातार बदलती रहती है भले ही इसका परिमाण अपरिवर्तित रहे। परिभाषा के अनुसार, बदलते हुए वेग सदिश का अर्थ त्वरण है। इसलिए UCM एक त्वरित गति (accelerated motion) है, और त्वरण उत्पन्न करने वाला कारक वह बल है जो पथ को अंदर की ओर मोड़ता है — डोरी में तनाव, कार के टायर पर घर्षण, उपग्रह के लिए गुरुत्वाकर्षण। इस पृष्ठ पर प्रत्येक अभिकथन-कारण (assertion–reason) प्रश्न इसी चाल-बनाम-वेग के अंतर पर आधारित है, जो विषय 1 के सदिश तर्क को गतिविज्ञान (dynamics) में विस्तारित करता है।
यह अध्याय यहाँ समाप्त होता है क्योंकि UCM गति के नियम (Laws of Motion) (कौन सा बल a = v²/r प्रदान करता है?), गुरुत्वाकर्षण (Gravitation) (उपग्रह: गुरुत्वाकर्षण ही अभिकेंद्रीय बल है) और घूर्णी गति (Rotational Motion) का प्रवेश द्वार है। जो शुद्धगतिकी (kinematics) आप अभी तैयार करते हैं — ω, T, v = ωr, a = v²/r — वह इन तीनों अध्यायों में यथावत प्रयुक्त होती है।
2. संपूर्ण सिद्धांत: कोणीय चर और v²/r का निगमन
कोणीय विवरण (Angular description): मान लीजिए कि कण की त्रिज्या सदिश Δθ कोण (रेडियन में) घूमती है। कोणीय वेग (angular velocity) ω = Δθ/Δt है; आवर्तकाल T में एक पूर्ण परिक्रमण 2π रेडियन के लिए, ω = 2π/T होता है। चाप-लंबाई संबंध Δs = rΔθ तुरंत इन दोनों विवरणों को जोड़ता है: v = ωr — घूर्णन करते हुए किसी दृढ़ पिंड का प्रत्येक बिंदु समान ω साझा करता है, लेकिन बाह्य बिंदु रैखिक रूप से अधिक तीव्र गति करते हैं। आवृत्ति ν = 1/T और rpm का रूपांतरण ω = 2πν = 2π(rpm)/60 के माध्यम से होता है।
a = v²/r का निगमन (NCERT ज्यामितीय तर्क — चरणों को समझें, ये पूछे जाते हैं): केंद्रीय कोण Δθ द्वारा अलग किए गए दो निकटवर्ती बिंदुओं पर वेग सदिश लें। दोनों का परिमाण v है, और दोनों वेग सदिशों के बीच का कोण भी Δθ है (स्पर्शरेखाएँ त्रिज्या के साथ घूमती हैं)। सदिश परिवर्तन Δv समद्विबाहु वेग त्रिभुज को पूर्ण करता है: छोटे Δθ के लिए |Δv| = 2v sin(Δθ/2) ≈ vΔθ। Δt से भाग देने पर और Δθ = vΔt/r का उपयोग करने पर: a = |Δv|/Δt = v·(vΔt/r)/Δt = v²/r। छोटे Δθ के लिए Δv की दिशा कोण समद्विभाजक के अनुदिश होती है — अर्थात, त्रिज्यीय रूप से अंदर की ओर, केंद्र की ओर; इसलिए इसे अभिकेंद्रीय (centripetal - केंद्र की ओर आकर्षित होने वाला) कहा जाता है। v = ωr प्रतिस्थापित करने पर इसका दूसरा रूप a = ω²r प्राप्त होता है।
आत्मसात करने योग्य गुणधर्म: त्वरण प्रत्येक क्षण वेग के लंबवत होता है — एक लंबवत बल द्वारा किया गया कार्य शून्य होता है (W = F·d cos 90° = 0), ठीक यही कारण है कि चाल नियत रहती है। परिमाण a = v²/r नियत रहता है, लेकिन सदिश a घूमता रहता है (सदैव केंद्र की ओर इंगित करता है), अतः UCM का त्वरण स्वयं एक परिवर्तनशील सदिश है — कथन आधारित प्रश्नों में यह एक पसंदीदा सूक्ष्म बिंदु है। UCM में कोई भी कारक "पिंड को बाहर की ओर नहीं फेंकता": अंदर की ओर लगने वाला बल वास्तविक है; "अपकेंद्रीय बल (centrifugal force)" केवल एक निर्देश तंत्र का प्रभाव (छद्म बल) है, जिसे आगामी अध्यायों में विस्तार से समझा जाएगा।
3. वृत्त की शुद्धगतिकी का दृश्य निरूपण (Visualising the Kinematics of the Circle)
चित्र 3.9 — वेग स्पर्शरेखीय है; त्वरण केंद्र की ओर इंगित करता है
नारंगी तीर: वेग (सदैव स्पर्शरेखीय, नियत लंबाई v)। हरे तीर: अभिकेंद्रीय त्वरण (सदैव केंद्र की ओर, नियत लंबाई v²/r)। कण की गति के साथ दोनों घूमते हैं।
परीक्षा मुख्य बिंदु (Exam read-out): प्रत्येक बिंदु पर v ⊥ a — यह लंबवत होना ही वह कारण है जिससे बल कोई कार्य नहीं करता और चाल कभी नहीं बदलती। ध्यान दें कि दोनों तीर एक साथ घूमते हैं; उनके परिमाण व्यक्तिगत रूप से नियत हैं, लेकिन उनकी दिशाएँ नियत नहीं हैं।
4. हल किए गए उदाहरण (Solved Examples)
उदाहरण 1 — वृत्ताकार ट्रैक पर कार (r = 50 m, v = 10 m/s)
एक कार 50 m त्रिज्या वाले वृत्ताकार ट्रैक पर 10 m/s की एकसमान चाल से चक्कर लगाती है। इसका अभिकेंद्रीय त्वरण, कोणीय वेग और आवर्तकाल ज्ञात कीजिए।
हल (चरण-दर-चरण): a = v²/r = (10)²/50 = 2 m s⁻², केंद्र की ओर निर्देशित — मात्रक पर ध्यान दें: m s⁻², यह वास्तविक त्वरण है भले ही स्पीडोमीटर की सुई स्थिर रहे। ω = v/r = 10/50 = 0.2 rad s⁻¹। आवर्तकाल T = 2π/ω = 2π/0.2 = 10π ≈ 31.4 s प्रति चक्कर। विमीय परीक्षण: [v²/r] = (LT⁻¹)²/L = LT⁻² ✓ — अध्याय 1 की जाँच की आदत प्रत्येक व्युत्पन्न सूत्र पर लागू होती है।
उदाहरण 2 — 300 rpm पर पंखे का ब्लेड (r = 0.3 m)
पंखे के ब्लेड की नोक 0.3 m त्रिज्या के वृत्त पर 300 rpm से घूर्णन करती है। ω, नोक की चाल, और इसका त्वरण ज्ञात कीजिए।
हल: ω = 2π(300)/60 = 10π ≈ 31.4 rad s⁻¹। नोक की चाल v = ωr = 10π × 0.3 = 3π ≈ 9.42 m/s — टेबल फैन की नोक पर एक धावक के बराबर चाल। त्वरण a = ω²r = (10π)² × 0.3 = 30π² ≈ 30 × 9.87 ≈ 296 m s⁻² — लगभग 30 g! निष्कर्ष: तीव्र घूर्णन, छोटा वृत्त → अत्यधिक अभिकेंद्रीय त्वरण, यही कारण है कि असंतुलित पंखे के ब्लेड टूटकर अलग हो जाते हैं।
5. अभ्यास प्रश्न (Practice Questions)
Q1. एक कण 2 m त्रिज्या के वृत्त में 4 s के आवर्तकाल के साथ गति करता है। ω, v और a ज्ञात कीजिए।
उत्तर: ω = 2π/T = π/2 ≈ 1.57 rad/s। v = ωr = π ≈ 3.14 m/s। a = v²/r = ω²r = (π/2)² × 2 = π²/2 ≈ 4.93 m/s² केंद्र की ओर।
Q2 (MCQ). एक पत्थर को क्षैतिज वृत्त में नियत चाल से घुमाया जाता है। यदि v को समान रखते हुए डोरी फिसलकर आधी त्रिज्या की हो जाती है, तो अभिकेंद्रीय त्वरण हो जाता है: (a) आधा (b) दोगुना (c) चार गुना (d) अपरिवर्तित
उत्तर: (b) दोगुना — v नियत होने पर a = v²/r से a ∝ 1/r प्राप्त होता है; r को आधा करने पर a दोगुना हो जाता है। (अन्य रूप पर ध्यान दें: यदि इसके स्थान पर ω को नियत रखा जाए, तो a = ω²r के अनुसार r के साथ आधा हो जाएगा।)
Q3. 0.8 m लंबी डोरी से बंधा एक पत्थर 30 rpm से घूमता है। ω, v और a ज्ञात कीजिए।
उत्तर: ω = 2π(30)/60 = π ≈ 3.14 rad/s। v = ωr = 0.8π ≈ 2.51 m/s। a = ω²r = π² × 0.8 ≈ 7.90 m/s², डोरी के अनुदिश हाथ की ओर निर्देशित।
6. मुख्य सूत्र और स्मरणीय तथ्य (Key Formulas & Takeaways)
| संबंध (Relation) | शर्त / टिप्पणी (Condition / remark) |
|---|---|
| ω = Δθ/Δt = 2π/T = 2πν | θ रेडियन में; rad विमाहीन है |
| v = ωr | स्पर्शरेखीय चाल; ω संपूर्ण दृढ़ पिंड के लिए समान |
| a = v²/r = ω²r | अभिकेंद्रीय, सदैव केंद्र की ओर, v के ⊥ |
| T = 2πr/v = 2π/ω | परिक्रमण का आवर्तकाल; ν = 1/T |
| rpm → ω: × 2π/60 | मानक रूपांतरण; 60 rpm = 2π rad/s |
| W = F·d cos 90° = 0 | लंबवत अभिकेंद्रीय बल चाल को परिवर्तित नहीं कर सकता |
| [v²/r] = L T⁻² | प्रत्येक UCM सूत्र की विमीय जाँच |
अंदर की ओर लगने वाला बल कौन प्रदान करता है, यह गति के नियम का विषय है (तनाव, घर्षण, गुरुत्वाकर्षण, अभिलंब बल)। यहाँ हम केवल गति का वर्णन करते हैं; वहाँ हम इसकी व्याख्या करते हैं — वही समीकरण, नया अनुप्रयोग।
7. अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (Frequently Asked Questions)
चाल नियत होने के बावजूद एकसमान वृत्तीय गति को त्वरित गति क्यों कहा जाता है?
त्वरण वेग में परिवर्तन की दर है, और वेग एक सदिश राशि है — इसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं। एकसमान वृत्तीय गति में चाल (परिमाण) नियत रहती है, लेकिन जब कण वृत्त के अनुदिश गति करता है, तो वेग की दिशा लगातार बदलती रहती है, जो सदैव पथ के स्पर्शरेखीय होती है। बदलते हुए वेग सदिश का अर्थ है एक अशून्य त्वरण, जिसका परिमाण v²/r होता है और यह केंद्र की ओर निर्देशित होता है।
एकसमान वृत्तीय गति में अभिकेंद्रीय त्वरण के व्यंजक का निगमन कीजिए।
कोण Δθ द्वारा अलग किए गए दो समीपवर्ती बिंदुओं पर वेग सदिश v और v′ लें। उनके परिमाण समान (v) हैं, और दोनों सदिशों के बीच का कोण Δθ है। परिवर्तन Δv वेग त्रिभुज को पूर्ण करता है, अतः छोटे Δθ के लिए |Δv| = 2v sin(Δθ/2) ≈ v Δθ। चूँकि चाप की लंबाई Δs = v Δt = r Δθ है, हमें Δθ = v Δt/r प्राप्त होता है। अतः a = |Δv|/Δt = v Δθ/Δt = v²/r, जो दोनों वेग सदिशों के समद्विभाजक के अनुदिश केंद्र की ओर निर्देशित होता है। v = ωr का उपयोग करने पर समतुल्य रूप से a = ω²r प्राप्त होता है।
रैखिक चाल और कोणीय वेग के बीच क्या संबंध है?
v = ωr। कोणीय वेग ω = Δθ/Δt (rad/s में, प्रति परिक्रमण 2π rad) एक घूर्णन करते हुए दृढ़ पिंड के प्रत्येक बिंदु के लिए समान होता है, लेकिन घूर्णन अक्ष से दूरी r बढ़ने के साथ रैखिक चाल v बढ़ती है — पंखे के ब्लेड की नोक उसके मध्य बिंदु की तुलना में अधिक तेज़ी से गति करती है। आवर्तकाल T = 2πr/v = 2π/ω से प्राप्त होता है, और rpm मान का रूपांतरण ω = 2π(rpm)/60 द्वारा किया जाता है।
क्या अभिकेंद्रीय त्वरण कण की चाल को परिवर्तित करता है?
नहीं। अभिकेंद्रीय त्वरण सदैव वेग के लंबवत होता है (त्रिज्यीय रूप से अंदर की ओर बनाम स्पर्शरेखीय गति), और एक लंबवत बल द्वारा किया गया कार्य शून्य होता है (cos 90° = 0 के साथ W = F·d = 0)। यह केवल वेग की दिशा को बदलता है, चाल को नियत रखता है। चाल केवल तभी बदलती है जब कोई अतिरिक्त स्पर्शरेखीय त्वरण उपस्थित हो — परंतु तब वह गति एकसमान वृत्तीय गति नहीं रह जाती।
केवल इसी डिवाइस पर सेव — कोई अकाउंट या साइन-इन नहीं।