समतल में एकसमान त्वरित गति (NCERT 3.7–3.8)
1. गति में दूसरा अक्ष जुड़ने पर क्या बदलता है?
अध्याय 2 में स्थिति केवल एक संख्या x(t) थी; अब यह एक सदिश r(t) = x(t)î + y(t)ĵ है, और परिभाषाएँ स्वतः उन्नत (upgrade) हो जाती हैं: वेग v = dr/dt = vxî + vyĵ और त्वरण a = dv/dt। किसी सदिश का अवकलन करने पर उसके प्रत्येक घटक का अलग-अलग अवकलन होता है — अतः समतल में शुद्धगतिकी (kinematics) कोई नई भौतिकी नहीं है; यह अध्याय 2 की शुद्धगतिकी ही है जो दोनों अक्षों पर अलग-अलग लागू होती है, और अंत में परिणामों को पाइथागोरस प्रमेय द्वारा संयोजित किया जाता है। औसत की परिभाषाएँ भी यथावत रहती हैं: vavg = Δr/Δt (एक सदिश) तथा औसत चाल = कुल पथ-लंबाई/Δt (एक अदिश), जहाँ औसत चाल ≥ |vavg| ठीक वैसे ही सत्य है जैसा 1-D में था (अध्याय 2 का औसत चाल व वेग पृष्ठ)।
यह पूरा अनुभाग केवल एक कथन द्वारा संचालित होता है: यदि a नियत (एकसमान) है, तो अध्याय 2 का प्रत्येक समीकरण दोनों घटकों पर स्वतंत्र रूप से लागू होता है। यही कथन प्रक्षेप्य गति के व्यवहार का मूल आधार है, और NTA के कथन-आधारित (statement-based) प्रश्न ठीक इसी स्वतंत्रता की संकल्पना का परीक्षण करते हैं।
2. संपूर्ण सिद्धांत: सदिश समीकरण और उनके घटक
सदिश समीकरण (केवल नियत a के लिए)। a = dv/dt का समाकलन करने पर v = v0 + at प्राप्त होता है; पुनः समाकलन करने पर r = r0 + v0t + ½at² मिलता है। ये सदिश समीकरण हैं — यहाँ योग त्रिभुज नियम के अनुसार होता है — और ये केवल नियत त्वरण (constant acceleration) के लिए ही मान्य हैं, जो कि इनके 1-D मूल समीकरणों की भी वैधता शर्त थी। t को विलोपित करने वाला एक उपयोगी तीसरा रूप है: r − r0 = ½(v0 + v)t।
घटक समीकरण (Component equations)। समकोणिक अक्षों (rectangular axes) का चयन करने पर प्रत्येक सदिश समीकरण दो सामान्य 1-D समीकरणों के युग्म में विभाजित हो जाता है: x0, v0x, ax द्वारा x-अक्षीय गति निर्धारित होती है; y0, v0y, ay द्वारा y-अक्षीय गति निर्धारित होती है; दोनों गतियों में केवल समय प्राचल (parameter) t उभयनिष्ठ (साझा) होता है। 2-D में औसत त्वरण aavg = Δv/Δt है, जहाँ Δv = v2 − v1 घटक-वार परिकलित किया जाता है — सदिश तीरों को घटाएँ, परिमाणों को नहीं।
प्रक्षेप-पथ (Trajectory)। x(t) और y(t) के बीच से t को विलोपित करने पर प्रक्षेप-पथ y(x) प्राप्त होता है। जब a नियत और अशून्य हो, तो प्रक्षेप-पथ सदैव एक परवलय (parabola) होता है (या उस अपभ्रष्ट/विशेष स्थिति में एक सरल रेखा जब प्रारंभिक वेग v0 त्वरण a के समांतर हो — जिसमें a = 0 भी शामिल है)। यह विलोपन तकनीक ठीक वही विधि है जिससे प्रक्षेप्य गति पृष्ठ पर y = x tan θ − gx²/(2u²cos²θ) व्युत्पन्न किया जाता है, अतः पहले किसी यादृच्छिक r(t) पर इसका अभ्यास करना अत्यंत लाभकारी है, जहाँ बीजगणित अपेक्षाकृत सरल होता है।
3. घटक स्वतंत्रता का चित्रांकन
चित्र 3.6 — एक समस्या, दो स्वतंत्र 1-D समस्याएँ
ऊपर से नीचे पढ़ें: प्रत्येक अक्ष पर अपनी स्वतंत्र अध्याय 2 की गणना चलती है; केवल अंत में दोनों पंक्तियाँ मिलकर सदिश बनाती हैं।
केवल x0, v0x, ax का उपयोग — y से पूरी तरह स्वतंत्र
केवल y0, v0y, ay का उपयोग — x से पूरी तरह स्वतंत्र
परीक्षा अंतर्दृष्टि (Exam read-out): संयोजन का चरण ही वह स्थान है जहाँ अंक कटते हैं — यहाँ √ होता है, न कि +। vx = 3 और vy = 4 के लिए, चाल 5 m/s होगी, कभी भी 7 नहीं। गोली और गुटके का प्रदर्शन (समान ऊँचाई से गिराई गई गोली बनाम क्षैतिज रूप से दागी गई गोली का एक साथ जमीन पर पहुँचना) इस चित्र के लिए चिरसम्मत प्रकथन-कारण (assertion–reason) उदाहरण है।
4. हल किए गए उदाहरण
उदाहरण 1 — r = 3tî + (4t − 2t²)ĵ का पूर्ण विश्लेषण (मीटर, सेकंड)
v(t), a(t), अधिकतम y-निर्देशांक तथा उस समय कण की स्थिति ज्ञात कीजिए।
हल (चरण-दर-चरण): घटक-वार अवकलन करें: v = 3î + (4 − 4t)ĵ m/s; पुनः अवकलन करें: a = −4ĵ m/s² — नियत, नीचे की ओर, अतः शुद्धगतिक समीकरण पूर्णतः मान्य हैं। y-दिशा में वेग शून्य होगा जब 4 − 4t = 0 → t = 1 s; इस समय y = 4(1) − 2(1)² = 2 m (y का शिखर मान), जबकि x(1) = 3 m आगे बढ़ता रहता है — कण की स्थिति (3, 2) है। t = 0 पर, चाल = √(3² + 4²) = 5 m/s। ध्यान दें कि x-वेग कभी नहीं बदलता: क्षैतिज दिशा बल-मुक्त है।
उदाहरण 2 — मूलबिंदु से नियत त्वरण गति
एक कण मूलबिंदु से v0 = 6î m/s से चलना प्रारंभ करता है तथा नियत त्वरण a = 2ĵ m/s² से गति करता है। t = 2 s पर इसकी स्थिति और चाल ज्ञात कीजिए।
हल: x-पंक्ति: ax = 0 → x = 6 × 2 = 12 m। y-पंक्ति: ऊर्ध्वाधर दिशा में विराम से गति प्रारंभ करता है → y = ½ × 2 × 2² = 4 m। स्थिति (12, 4) m। वेग: vx = 6 (अपरिवर्तित), vy = 2 × 2 = 4 → v = 6î + 4ĵ, चाल = √(36 + 16) = √52 = 2√13 ≈ 7.21 m/s। दिशा: tan α = 4/6 → α ≈ 33.7° x-अक्ष से ऊपर। प्रक्षेप-पथ: t = x/6 को विलोपित करने पर → y = 2(x/6)²/2... अर्थात्, y = x²/36 — जैसा कि बताया गया था, एक परवलय।
5. अभ्यास प्रश्न
Q1. r = 2t²î + 3tĵ के लिए, t = 0 तथा t = 2 s के बीच औसत वेग ज्ञात कीजिए।
उत्तर: r(0) = 0; r(2) = 8î + 6ĵ। vavg = Δr/Δt = (8î + 6ĵ)/2 = 4î + 3ĵ m/s, परिमाण 5 m/s, tan⁻¹(3/4) ≈ 36.9° पर। केवल प्रारंभिक व अंतिम बिंदु — वक्र पथ vavg के लिए अप्रासंगिक है।
Q2. एक कण नियत वेग v = 3î + 4ĵ m/s से गति करता है। 5 s में इसका विस्थापन और इसका त्वरण ज्ञात कीजिए।
उत्तर: Δr = vΔt = 15î + 20ĵ m, परिमाण √(225+400) = 25 m। त्वरण 0 है — नियत वेग का अर्थ है नियत चाल तथा नियत दिशा दोनों।
Q3 (MCQ). नियत त्वरण से समतल में गति के लिए, कौन-सा कथन असत्य है? (a) प्रक्षेप-पथ एक परवलय होता है (b) x और y समीकरण स्वतंत्र होते हैं (c) वेग सदैव त्वरण के समांतर होता है (d) v = v0 + at लागू होता है
उत्तर: (c)। वेग केवल 1-D गति में या जब v0 ∥ a हो तभी त्वरण के समांतर होता है; सामान्यतः v धीरे-धीरे a की दिशा में झुकता है। (a) तब लागू होता है जब v0 का a के लंबवत घटक उपस्थित हो; सरल रेखीय गति परवलय-रहित अपभ्रष्ट स्थिति है।
6. मुख्य सूत्र एवं महत्वपूर्ण बिंदु
| संबंध | शर्त / टिप्पणी |
|---|---|
| r(t) = x(t)î + y(t)ĵ | स्थिति सदिश; घटक सामान्य फलन हैं |
| v = dr/dt = vxî + vyĵ | घटक-वार अवकलन करें; चाल = |v| = √(vx²+vy²) |
| a = dv/dt | r का द्वितीय अवकलज; नियत a अगली पंक्तियों के समीकरणों को मान्य करता है |
| v = v0 + at | सदिश रूप; केवल नियत a के लिए; प्रत्येक अक्ष पर अलग लागू |
| r = r0 + v0t + ½at² | सदिश रूप; परवलयाकार पथ जब तक कि v0 ∥ a न हो |
| r − r0 = ½(v0 + v)t | समय t से मुक्त रूप; नियत a अनिवार्य |
| vavg = Δr/Δt | प्रारंभिक व अंतिम बिंदुओं से सदिश; औसत चाल ≥ |vavg| |
| aavg = Δv/Δt | घटक-वार Δv; सदिश तीरों को घटाएँ, परिमाणों को नहीं |
7. अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQs)
समतल में एकसमान त्वरित गति के समीकरण क्या हैं?
सदिश रूप में ये ठीक एक-विमीय समीकरणों जैसे दिखते हैं: v = v0 + at तथा r = r0 + v0 t + ½ a t², जो केवल तभी मान्य हैं जब त्वरण सदिश a नियत हो। घटकों में लिखने पर, यह एकल सदिश समीकरण दो स्वतंत्र एक-विमीय समीकरण समूहों में विभाजित हो जाता है: x = x0 + v0x t + ½ ax t² और y = y0 + v0y t + ½ ay t², जहाँ vx = v0x + ax t और vy = v0y + ay t। प्रत्येक अक्ष को अध्याय 2 की एक पृथक समस्या के रूप में हल किया जाता है, फिर परिणामों को पुनः संयोजित किया जाता है।
x और y गतियों के स्वतंत्र होने का क्या अर्थ है?
x-दिशा का त्वरण (a_x) केवल x-समीकरणों को प्रभावित करता है, और a_y केवल y-समीकरणों को प्रभावित करता है — जब परस्पर लंबवत (समकोणिक) दिशाएँ चुनी जाती हैं, तो दोनों अक्ष एक-दूसरे को प्रभावित नहीं करते। क्षैतिज रूप से दागी गई गोली और उसी ऊँचाई से मुक्त रूप से गिराई गई गोली धरातल पर एक साथ पहुँचती हैं, क्योंकि क्षैतिज वेग चाहे कुछ भी हो, दोनों के लिए ऊर्ध्वाधर गति सर्वसम होती है। इसी स्वतंत्रता के कारण दो-विमीय समस्याएँ दो एक-विमीय समस्याओं में सरलीकृत हो जाती हैं।
किसी कण के r(t) से उसका प्रक्षेप-पथ कैसे ज्ञात करते हैं?
स्थिति के घटकों x(t) और y(t) को लिखें, उनके बीच से समय प्राचल t को विलोपित करें, और प्राप्त संबंध y(x) ही प्रक्षेप-पथ कहलाता है। उदाहरण के लिए, यदि x = 3t और y = 4t − 2t² है, तो t = x/3 तथा y = (4/3)x − (2/9)x², जो नीचे की ओर खुलने वाला एक परवलय है। सरल रेखीय प्रक्षेप-पथ केवल तभी प्राप्त होता है जब वेग की दिशा कभी न बदले, अर्थात् जब v और a समांतर हों (या a = 0)।
क्या किसी कण की चाल उसके औसत वेग के परिमाण के बराबर होती है?
सामान्यतः नहीं। तात्क्षणिक चाल तात्क्षणिक वेग का परिमाण होती है, |v| = √(vx² + vy²)। परंतु औसत वेग विस्थापन बटा समय होता है — जो कि एक सदिश है — जबकि औसत चाल कुल पथ-लंबाई बटा समय होती है — जो कि एक अदिश है। जब भी गति का पथ वक्र होता है या दिशा उलटती है, तो पथ-लंबाई विस्थापन के परिमाण से अधिक होती है, अतः औसत चाल सदैव औसत वेग के परिमाण से अधिक (या बराबर) होती है, ठीक वैसे ही जैसे अध्याय 2 के एक-विमीय मामले में था।
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