सदिश योग एवं व्यवकलन — आलेखीय विधि (NCERT 3.3, 3.4)
1. आलेखीय सदिश योग क्या है?
चूँकि सदिशों में दिशा होती है, इसलिए उन्हें सामान्य बीजगणित या बिल की तरह सीधे नहीं जोड़ा जा सकता; तीरों की ज्यामिति ही उनके योग का निर्धारण करती है। आलेखीय विधि (graphical method) योग को चित्रांकन में बदल देती है: प्रत्येक सदिश को एक तीर के रूप में निरूपित किया जाता है जिसकी लंबाई (पैमाने के अनुसार) परिमाण होती है और उसका झुकाव दिशा को दर्शाता है। इसके दो तुल्य आलेखीय निरूपण उपलब्ध हैं — त्रिभुज नियम (शीर्ष-से-पुच्छ विधि / head-to-tail law) और समांतर चतुर्भुज नियम (parallelogram law) — और दोनों से सर्वसम परिणामी ही प्राप्त होता है। आलेखीय निरूपण केवल सैद्धांतिक कार्य नहीं है: NEET के कई प्रश्न सही रेखाचित्र बनाकर पाँच सेकंड में हल किए जा सकते हैं, और यही चित्र आगे चलकर गणितीय विधि (analytical method) का विश्लेषणात्मक सूत्र प्रदान करते हैं।
व्यवकलन (घटाव) के लिए किसी अलग नियम की आवश्यकता नहीं होती। A − B ज्ञात करने के लिए, B को उलटकर −B प्राप्त करें (समान लंबाई, विपरीत दिशा) और जोड़ दें: A − B = A + (−B)। चूँकि A और −B के बीच का कोण 180° − θ होता है (जहाँ θ सदिश A और B के बीच का कोण है), इसलिए व्यवकलन का विकर्ण योग के विकर्ण से भिन्न होता है — यही साधारण तथ्य NTA के |A + B| बनाम |A − B| पर आधारित बहुविकल्पीय प्रश्नों (MCQs) की श्रृंखला तैयार करता है।
2. संपूर्ण सिद्धांत: त्रिभुज नियम, समांतर चतुर्भुज नियम, गुणधर्म
त्रिभुज नियम (Triangle law): सदिश A में B को जोड़ने के लिए, B की पुच्छ (tail) को A के शीर्ष (head) पर रखें। परिणामी R = A + B, सदिश A की पुच्छ से B के शीर्ष तक खींचा जाता है, जो त्रिभुज को बंद करता है। यह रचना क्रम पर निर्भर नहीं करती: इसी नियम से A को B में जोड़ने पर भी वही R प्राप्त होता है — इसका बीजगणितीय कथन क्रमविनिमेय नियम (commutative law) A + B = B + A है। तीन सदिशों के लिए, शीर्ष-से-पुच्छ श्रृंखला A → B → C प्रथम पुच्छ से अंतिम शीर्ष तक R द्वारा बंद होती है, और साहचर्य नियम (associative law) (A + B) + C = A + (B + C) यह सुनिश्चित करता है कि किसी भी समूह में योग किया जा सकता है।
समांतर चतुर्भुज नियम (Parallelogram law): यदि दो सदिशों को एक ही उभयनिष्ठ बिंदु से समांतर चतुर्भुज की दो आसन्न भुजाओं के रूप में खींचा जाए, तो उनका परिणामी उस समांतर चतुर्भुज का वह विकर्ण होता है जो उसी उभयनिष्ठ बिंदु से होकर गुजरता है। कोसाइन नियम से इसका परिमाण R = √(A² + B² + 2AB cos θ) प्राप्त होता है, जहाँ θ दोनों सदिशों के बीच का कोण है (जब दोनों की पुच्छ एक साथ हों)। दो सीमांत स्थितियाँ प्रत्येक अनुमान का आधार हैं: θ = 0° (समांतर) होने पर अधिकतम मान R = A + B प्राप्त होता है; θ = 180° (प्रतिसमांतर) होने पर न्यूनतम मान R = |A − B| प्राप्त होता है। किसी भी मध्यवर्ती कोण के लिए, |A − B| ≤ R ≤ A + B होता है।
शून्य परिणामी (Zero resultant): दो सदिश केवल तभी एक-दूसरे को निरस्त कर सकते हैं जब उनके परिमाण समान हों और दिशाएँ परस्पर विपरीत (प्रतिसमांतर) हों। तीन सदिश असमान परिमाण होने पर भी शून्य परिणामी दे सकते हैं यदि वे शीर्ष-से-पुच्छ क्रम में एक बंद त्रिभुज बना सकें — तब प्रत्येक परिमाण शेष दो के योग से छोटा होना चाहिए (त्रिभुज असमिका)। चार सदिशों के निरस्तीकरण के लिए एक बंद बहुभुज आवश्यक है; NTA कथन-आधारित प्रश्नों में इसी "बंद बहुभुज ⇒ शून्य परिणामी" की अवधारणा का परीक्षण करता है।
3. दोनों नियमों का दृश्य निरूपण (Visualization)
चित्र 3.2 — त्रिभुज नियम (बायाँ) और समांतर चतुर्भुज नियम (दायाँ)
तीरों का शीर्ष-से-पुच्छ अनुसरण करें; हरा तीर सदैव आकृति को बंद करने वाला परिणामी सदिश है।
त्रिभुज नियम: A के शीर्ष पर B; R, A की पुच्छ से B के शीर्ष तक बंद होता है
समांतर चतुर्भुज नियम: एक ही बिंदु से A, B; R इससे गुजरने वाला विकर्ण है
परीक्षा विश्लेषण: दोनों पैनल समान हरे तीर के साथ R = A + B को निरूपित करते हैं। दाएँ पैनल में बिंदीदार हल्के तीर समांतर चतुर्भुज को पूरा करते हैं; दूसरा विकर्ण (जो यहाँ नहीं खींचा गया है) A − B होगा। जब भी किसी प्रश्न में कहा जाए कि "समांतर चतुर्भुज के दो विकर्ण 10 और 6 हैं", तो तुरंत समझ जाएँ कि |A + B| = 10 और |A − B| = 6 हैं।
4. हल किए गए उदाहरण
उदाहरण 1 — लंबवत बल, 6-8-10 की स्थिति
एक पिंड पर 6 N का बल पूर्व दिशा में और 8 N का बल उत्तर दिशा में कार्य कर रहा है। समांतर चतुर्भुज नियम द्वारा परिणामी बल ज्ञात कीजिए।
हल (चरण-दर-चरण): दोनों बल परस्पर लंबवत हैं, θ = 90°, इसलिए cos θ = 0 तथा R = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 N। दिशा: tan α = 8/6 = 4/3 → α ≈ पूर्व से 53.1° उत्तर की ओर (6 N बल से मापा गया α)। यह पुनः वही 3-4-5 समकोण त्रिभुज है — NTA 6, 8, 10 और इसके 37°/53° युग्मों को बार-बार दोहराता है, इसलिए अध्याय हब का कोण बैंक (angle bank) यहाँ अत्यंत उपयोगी सिद्ध होता है।
उदाहरण 2 — अधिकतम, न्यूनतम और एक अभीष्ट परिणामी
दो बलों के परिमाण 7 N और 5 N हैं। ज्ञात कीजिए: (i) अधिकतम और न्यूनतम संभव परिणामी, (ii) क्या ठीक 3 N का परिणामी संभव है?
हल: (i) θ = 0° पर अधिकतम: R = 7 + 5 = 12 N; θ = 180° पर न्यूनतम: R = |7 − 5| = 2 N। (ii) जैसे-जैसे θ का मान 180° से 0° की ओर बढ़ता है, परिणामी का मान 2 N से 12 N तक निरंतर (सतत) परिवर्तित होता है, और इन सीमाओं के बीच का प्रत्येक मान प्राप्त होता है — अतः हाँ, 3 N संभव है (किसी अधिक कोण पर)। सामान्य कथन "दो सदिशों का परिणामी |A − B| और A + B के बीच कोई भी मान ले सकता है" एक मानक प्रकथन–कारण (assertion–reason) प्रश्न है; इसका कारण cos θ के माध्यम से θ पर R की सतत निर्भरता है।
5. अभ्यास प्रश्न
प्र. 1. एक पैदल यात्री 4 km पूर्व की ओर और फिर 3 km उत्तर की ओर जाता है। त्रिभुज नियम का उपयोग करके विस्थापन का परिमाण और दिशा ज्ञात कीजिए।
उत्तर: R = √(4² + 3²) = 5 km, tan⁻¹(3/4) ≈ पूर्व से 36.9° उत्तर की ओर (पूर्व दिशा वाले भाग से)। तय की गई कुल दूरी 7 km, विस्थापन 5 km — अध्याय 2 की असमिका का प्रत्यक्ष उदाहरण।
प्र. 2 (MCQ). 4 और 9 परिमाण वाले दो सदिशों को जोड़ा जाता है। कौन-सा परिणामी असंभव है? (a) 5 (b) 9 (c) 13 (d) 14
उत्तर: (d) 14 — परिणामी A + B = 13 से अधिक नहीं हो सकता। इसकी सीमाएँ |9 − 4| = 5 से लेकर 13 तक हैं, इसलिए 5, 9 और 13 तीनों संभव हैं।
प्र. 3. 10 मात्रक और 10 मात्रक के दो सदिश परस्पर 60° के कोण पर कार्य करते हैं। आलेखीय रूप से परिणामी के परिमाण का अनुमान लगाइए और सत्यापित कीजिए: क्या यह 10 से अधिक, कम या बराबर है?
उत्तर: 10 से अधिक। समान सदिश θ < 120° पर सदैव प्रत्येक सदिश से बड़ा परिणामी R देते हैं (R > प्रत्येक सदिश); यहाँ विश्लेषणात्मक जाँच (अगले विषय की विधि) से कोण समद्विभाजक के अनुदिश R = 2 × 10 × cos 30° = 17.3 मात्रक प्राप्त होता है। आलेखीय रूप से भी आकृति को बंद करने वाला विकर्ण किसी भी भुजा से स्पष्ट रूप से लंबा है।
6. मुख्य सूत्र एवं स्मरणीय बिंदु (Key Formulas & Takeaways)
| संबंध / सूत्र | शर्त / टिप्पणी |
|---|---|
| R = A + B (त्रिभुज नियम) | शीर्ष-से-पुच्छ; R सदिश A की पुच्छ से B के शीर्ष तक |
| A + B = B + A; (A+B)+C = A+(B+C) | क्रमविनिमेय और साहचर्य — क्रम व समूहन से स्वतंत्र |
| R = √(A²+B²+2AB cos θ) | समांतर चतुर्भुज का विकर्ण; पुच्छों के बीच कोण θ |
| |A − B| = √(A²+B²−2AB cos θ) | दूसरा विकर्ण; −B द्वारा व्यवकलन |
| Rmax = A+B (θ=0°); Rmin = |A−B| (θ=180°) | प्रत्येक मध्यवर्ती मान प्राप्य है |
| |A+B| = |A−B| ⟺ θ = 90° | MCQ का पसंदीदा प्रश्न; इस स्थिति में A·B = 0 भी होता है |
7. अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQs)
सदिश योग का त्रिभुज नियम क्या है?
सदिश B की पुच्छ (tail) को सदिश A के शीर्ष (head) पर रखें। परिणामी R = A + B सदिश A की पुच्छ से सदिश B के शीर्ष तक खींचा जाता है, जो त्रिभुज को बंद करता है। क्रम से कोई अंतर नहीं पड़ता: A + B = B + A (क्रमविनिमेय नियम)। ज्यामितीय रूप से दोनों सदिश और उनका परिणामी त्रिभुज की तीन भुजाओं का निर्माण करते हैं।
दो सदिशों का परिणामी कब अधिकतम और कब न्यूनतम होता है?
परिणामी का परिमाण R = √(A² + B² + 2AB cos θ) तब अधिकतम होता है जब सदिश परस्पर समांतर हों (θ = 0°), जिससे R_max = A + B प्राप्त होता है; तथा तब न्यूनतम होता है जब वे प्रतिसमांतर हों (θ = 180°), जिससे R_min = |A − B| प्राप्त होता है। किसी अन्य कोण के लिए परिणामी सदैव इन दोनों सीमाओं के मध्य रहता है। A = 7 और B = 5 के लिए, R का मान 12 से लेकर 2 तक होता है।
क्या असमान परिमाण वाले दो सदिशों का योग शून्य हो सकता है? क्या तीन सदिश ऐसा कर सकते हैं?
असमान परिमाण वाले दो सदिशों का योग कभी भी शून्य नहीं हो सकता, क्योंकि न्यूनतम संभव परिणामी |A − B| तब अशून्य होता है जब A ≠ B हो। तीन सदिश असमान परिमाण के होने पर भी शून्य योग दे सकते हैं, बशर्ते उन्हें क्रम में ली गई त्रिभुज की तीन भुजाओं द्वारा निरूपित किया जा सके — अर्थात् उनके परिमाणों को त्रिभुज असमिका (triangle inequality) को संतुष्ट करना होगा, जहाँ प्रत्येक भुजा का मान शेष दो भुजाओं के योग से कम होना चाहिए।
आलेखीय विधि से सदिशों का व्यवकलन (घटाव) कैसे किया जाता है?
व्यवकलन वास्तव में विपरीत दिशा वाले (ऋणात्मक) सदिश को जोड़ना ही है: A − B = A + (−B)। सदिश B के परिमाण को समान रखते हुए उसकी दिशा उलट दें, फिर योग की ही तरह त्रिभुज या समांतर चतुर्भुज नियम लागू करें। इसका परिमाण |A − B| = √(A² + B² − 2AB cos θ) से दिया जाता है, जहाँ θ सदिश A और B के बीच का कोण है। ध्यान दें कि |A − B| सदिश A और B द्वारा बने समांतर चतुर्भुज का वह विकर्ण भी है जो B के शीर्ष क्षेत्र से A के शीर्ष की ओर खींचा जाता है।
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