प्रक्षेप्य गति — प्रक्षेप-पथ, उड्डयन काल, महत्तम ऊँचाई, परास (NCERT 3.9)
1. प्रक्षेप्य गति क्या है?
प्रक्षेप्य (Projectile) वह कोई भी पिंड है जिसे हवा में प्रक्षेपित किया जाता है और उसके बाद वह केवल गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में गति करता है — जैसे 30° पर फेंकी गई क्रिकेट की गेंद, किसी पहाड़ी से क्षैतिज रूप से फेंका गया पत्थर, या छलांग लगाने के बाद लंबी कूद का एथलीट। इसकी संपूर्ण भौतिकी पिछले विषय की एकसमान त्वरण वाली गति की कार्यप्रणाली पर आधारित है, जिसमें अक्षों का एक निश्चित चयन होता है: x क्षैतिज, y ऊर्ध्वाधर, तथा a = −g ĵ। दो सैद्धांतिक मान्यताएँ इस पृष्ठ के प्रत्येक सूत्र को वैध बनाती हैं: गुरुत्वीय त्वरण एकसमान है (सतह के निकट g = 9.8 m s⁻²), और वायु प्रतिरोध नगण्य माना गया है। यदि इनमें से किसी भी मान्यता को हटा दिया जाए, तो परवलय मुड़ जाता है या छोटा हो जाता है — परंतु NTA के प्रश्न इन्हीं मान्यताओं के दायरे में पूछे जाते हैं।
इसकी रणनीतिक कुंजी दोनों गतियों की स्वतंत्रता है: क्षैतिज दिशा में कोई बल नहीं है, इसलिए vx कभी नहीं बदलता; ऊर्ध्वाधर गति सरल मुक्त पतन (free fall) है। अवतरण के समय गेंद का क्षैतिज वेग उसके प्रक्षेपण के समय के क्षैतिज वेग के बराबर होता है — यह तथ्य नए विद्यार्थियों को अप्रत्याशित लग सकता है और इसीलिए यह NTA का पसंदीदा अभिकथन (assertion) है।
2. संपूर्ण सिद्धांत: प्रत्येक सूत्र की व्युत्पत्ति
प्रक्षेपण के घटक: क्षैतिज से θ कोण पर प्रारंभिक चाल u: vx = u cos θ (सदैव नियत) तथा vy = u sin θ − gt (रैखिक रूप से घटता है, शीर्ष पर शून्य होता है, और फिर दिशा उलट जाती है)। स्थिति के समीकरण x = (u cos θ)t और y = (u sin θ)t − ½gt² हैं।
उड्डयन काल T (समान ऊँचाई पर प्रक्षेपण और अवतरण): t > 0 पर y = 0 रखने पर → (u sin θ)t = ½gt² → T = 2u sin θ/g। केवल ऊर्ध्वाधर गति ही T का निर्धारण करती है — गेंद क्षैतिज दिशा में कितनी तेजी से चल रही है, इससे उड्डयन काल पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता।
महत्तम ऊँचाई H: उच्चतम बिंदु पर vy = 0, अतः ऊर्ध्वाधर दिशा में v² = u² + 2as लागू करने पर, 0 = u²sin²θ − 2gH → H = u² sin²θ/(2g)। यह ऊँचाई t = u sin θ/g पर प्राप्त होती है — जो T का ठीक आधा है, क्योंकि ऊर्ध्वाधर गति सममित होती है।
क्षैतिज परास R: t = T पर x का मान: R = (u cos θ)(2u sin θ/g) = u² sin 2θ/g, जहाँ 2 sin θ cos θ = sin 2θ का उपयोग किया गया है। चूँकि sin 2θ का अधिकतम मान 2θ = 90° पर होता है, अतः R का मान θ = 45° पर अधिकतम होता है: Rmax = u²/g (समान ऊँचाई की शर्त पर!)। और चूँकि sin 2(90° − θ) = sin 2θ होता है, इसलिए पूरक कोण (θ, 90° − θ) समान परास साझा करते हैं, यद्यपि उनके H और T भिन्न होते हैं।
प्रक्षेप-पथ का समीकरण: x = (u cos θ)t से t का विलोपन करने पर → y = x tan θ − gx²/(2u²cos²θ) — जो x में एक परवलय (parabola) है। y = 0 रखने पर पुनः R प्राप्त होता है (स्वतः-सत्यापन); शीर्ष पर dy/dx = 0 रखने पर x = R/2 प्राप्त होता है (एक अन्य स्वतः-सत्यापन)।
h ऊँचाई से क्षैतिज प्रक्षेपण (पहाड़ी, मेज, या दीवार से क्षैतिज फेंका गया तीर): ऊर्ध्वाधर गति विरामावस्था से मुक्त पतन है → t = √(2h/g) (u से पूर्णतः स्वतंत्र!), क्षैतिज परास x = u√(2h/g), तथा टकराते समय चाल ऊर्ध्वाधर दिशा में v² = 2gh और क्षैतिज दिशा में u² के संयोजन से: v = √(u² + 2gh), क्षैतिज से tan⁻¹(√(2gh)/u) नीचे की ओर।
किसी भी क्षण वेग: v = √(vx² + vy²) = √(u² − 2gy) — यह एक सरल रूप है जो दर्शाता है कि चाल केवल ऊँचाई पर निर्भर करती है, अतः टकराते समय चाल प्रक्षेपण चाल के बराबर होती है (ऊर्जा संरक्षण का पूर्वावलोकन, अध्याय 6), तथा समान ऊँचाई पर चालें समान होती हैं।
3. परवलय का दृश्य निरूपण
चित्र 3.8 — समान तल पर प्रक्षेप्य की संरचना
नारंगी तीर वेग दर्शाते हैं: प्रक्षेपण के समय झुके हुए, शीर्ष पर पूर्णतः क्षैतिज, अवतरण के समय झुके हुए (दर्पण प्रतिबिंब)।
परीक्षा अंतर्दृष्टि: प्रक्षेपण और अवतरण के वेग तीर परस्पर दर्पण प्रतिबिंब होते हैं (समान चाल u, कोण ±θ) — शीर्ष के परितः ऊर्ध्वाधर गति समय के सापेक्ष सममित होती है। सममिति से तुरंत प्राप्त होता है: tऊपर = tनीचे = T/2, तथा समान ऊँचाई पर चालें समान होती हैं।
4. हल किए गए उदाहरण
उदाहरण 1 — संपूर्ण सूत्र समुच्चय (u = 20 m/s, θ = 30°, g = 10 m/s²)
समतल जमीन पर एक गेंद को क्षैतिज से 30° के कोण पर 20 m/s के वेग से किक किया जाता है। T, H, R तथा t = 1 s पर वेग ज्ञात कीजिए।
हल (चरणबद्ध): ux = 20 cos 30° = 10√3 ≈ 17.32 m/s; uy = 20 sin 30° = 10 m/s। (i) T = 2uy/g = 2(10)/10 = 2 s। (ii) H = uy²/2g = 100/20 = 5 m। (iii) R = uxT = 17.32 × 2 ≈ 34.6 m (= u² sin 60°/g = 400 × 0.866/10 ✓)। (iv) t = 1 s पर (शीर्ष बिंदु): v = ux = 10√3 ≈ 17.3 m/s क्षैतिज — vy = 10 − 10(1) = 0 ठीक शून्य। सत्यापन जाँच: H का मान uyT/4 = 10×2/4 = 5 m के भी बराबर है ✓।
उदाहरण 2 — पहाड़ी से क्षैतिज प्रक्षेपण (u = 15 m/s, h = 20 m, g = 10 m/s²)
20 m ऊँची पहाड़ी से एक पत्थर को 15 m/s के वेग से क्षैतिज दिशा में किक किया जाता है। उड्डयन काल, आधार से गिरने के बिंदु की दूरी, तथा टकराते समय वेग ज्ञात कीजिए।
हल: (i) विरामावस्था से ऊर्ध्वाधर मुक्त पतन: t = √(2h/g) = √(40/10)... = √4 = 2 s — जो 15 m/s की चाल से स्वतंत्र है। (ii) क्षैतिज परास: x = u t = 15 × 2 = 30 m। (iii) टकराते समय: vx = 15 m/s, vy = gt = 20 m/s नीचे की ओर → v = √(225 + 400) = √625 = 25 m/s, क्षैतिज से tan⁻¹(20/15) = 53.1° नीचे की ओर। यह 15-20-25 त्रिभुज (3-4-5 परिवार) कोई संयोग नहीं है — NTA ऐसे प्रक्षेपण आँकड़े चुनता है जिससे संघात (impact) की चाल पूर्णांक में रहे।
5. अभ्यास प्रश्न
Q1. u = 20 m/s तथा 45° प्रक्षेप कोण के लिए (g = 10 m/s²), T, H और R ज्ञात कीजिए।
उत्तर: u_y = 20 × 0.707 = 14.14 m/s। T = 2(14.14)/10 ≈ 2.83 s। H = (14.14)²/20 = 200/20 = 10 m। R = u²sin 90°/g = 400/10 = 40 m — इस u के लिए 45° के कोण पर यह अधिकतम परास है।
Q2. सिद्ध कीजिए कि समान चाल से 30° और 60° पर प्रक्षेपित किए गए प्रक्षेप्य एक ही बिंदु पर गिरते हैं, तथा बताइए कि कौन-सा प्रक्षेप्य अधिक समय तक हवा में रहता है।
उत्तर: sin 2(60°) = sin 120° = sin 60° = sin 2(30°) → समान परास R। उड्डयन काल T = 2u sin θ/g: चूँकि sin 60° > sin 30°, अतः 60° वाला प्रक्षेप्य हवा में √3 गुना अधिक समय तक रहता है (तथा 3 गुना अधिक ऊँचाई तक जाता है, H ∝ sin²θ)।
Q3 (MCQ). समतल जमीन से फेंकी गई एक गेंद 4 s में वापस लौटती है। यदि g = 10 m/s² हो, तो इसका प्रक्षेपण वेग और महत्तम ऊँचाई क्रमशः हैं: (a) 20 m/s, 20 m (b) 40 m/s, 40 m (c) 20 m/s, 10 m (d) 10 m/s, 5 m
उत्तर: (a)। T = 2u sin θ/g = 4 → u sin θ = 20 m/s; H = (u sin θ)²/2g = 400/20 = 20 m। ध्यान दें कि यहाँ केवल u sin θ निश्चित है — क्षैतिज घटक (और इस प्रकार संपूर्ण u) के लिए परास के आँकड़ों की भी आवश्यकता होगी।
6. मुख्य सूत्र एवं निष्कर्ष
| संबंध | शर्त / टिप्पणी |
|---|---|
| vx = u cos θ (नियत); vy = u sin θ − gt | वायु प्रतिरोध नगण्य; ऊपर की दिशा धनात्मक |
| T = 2u sin θ/g | समान प्रक्षेपण/अवतरण तल; केवल ऊर्ध्वाधर गति पर निर्भर |
| H = u² sin²θ/(2g) | शीर्ष t = T/2 पर; महत्तम ऊँचाई हेतु कोण θ = 90° |
| R = u² sin 2θ/g; Rmax = u²/g (45° पर) | समान तल; पूरक कोणों पर परास समान |
| y = x tan θ − gx²/(2u²cos²θ) | परवलय; y = 0 से R पुनः प्राप्त होता है |
| क्षैतिज प्रक्षेपण: t = √(2h/g); x = u√(2h/g) | उड्डयन काल u से स्वतंत्र |
| v(t) = √(u² − 2gy) | चाल केवल ऊँचाई पर निर्भर; अवतरण चाल = प्रक्षेपण चाल u |
| [R] = L, [T] = T, [H] = L | विमीय स्वतः-सत्यापन (अध्याय 1 के अनुसार) |
7. अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQs)
प्रक्षेप्य के पथ के उच्चतम बिंदु पर उसका वेग क्या होता है?
उच्चतम बिंदु पर, ऊर्ध्वाधर घटक v_y = u sin θ − gt शून्य हो जाता है, लेकिन क्षैतिज घटक v_x = u cos θ अपरिवर्तित रहता है क्योंकि कोई क्षैतिज बल कार्य नहीं करता है। इसलिए उच्चतम बिंदु पर वेग u cos θ होता है, जो पूर्णतः क्षैतिज होता है, तथा वहाँ त्वरण g ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर होता है — न कि शून्य। केवल पूर्णतः ऊर्ध्वाधर प्रक्षेपण (θ = 90°) के लिए ही शीर्ष पर चाल शून्य होती है।
दो पूरक प्रक्षेप कोण समान क्षैतिज परास क्यों देते हैं?
परास R = u² sin 2θ/g मान sin 2θ पर निर्भर करता है, और sin 2(90° − θ) = sin(180° − 2θ) = sin 2θ — जो कि सर्वसम है। अतः समान प्रारंभिक चाल u के लिए θ और 90° − θ कोणों पर प्रक्षेप्य सदैव एक ही स्थान पर गिरते हैं। कम कोण वाला प्रक्षेप्य लक्ष्य तक तेजी से पहुँचता है (कम उड्डयन काल, कम महत्तम ऊँचाई), जबकि अधिक कोण वाला प्रक्षेप्य हवा में अधिक समय तक रहता है; बहुविकल्पीय प्रश्नों (MCQs) में अक्सर यही अंतर पूछा जाता है।
किस प्रक्षेप कोण पर क्षैतिज परास अधिकतम होता है?
R = u² sin 2θ/g अधिकतम तब होता है जब sin 2θ = 1 हो, अर्थात् 2θ = 90° या θ = 45°, जिससे R_max = u²/g प्राप्त होता है। यह अधिकतम मान प्रक्षेप और अवतरण के समान तल पर होने पर ही मान्य है; किसी ऊँचे मंच या पहाड़ी से इष्टतम कोण 45° से कम हो जाता है, यही कारण है कि प्रत्येक 45° के कथन के साथ समान ऊँचाई की शर्त लिखी जाती है।
प्रक्षेप्य के प्रक्षेप-पथ का समीकरण कैसे व्युत्पन्न किया जाता है?
गति के दोनों समीकरण लिखें: x = (u cos θ)t और y = (u sin θ)t − ½gt²। प्रथम समीकरण से t = x/(u cos θ) को y के समीकरण में प्रतिस्थापित करके t को विलोपित करें: y = x tan θ − gx²/(2u² cos²θ)। चूँकि नियत u और θ के लिए tan θ तथा 1/cos²θ नियतांक हैं, इसलिए y, x में द्विघात है — जो कि एक परवलय (parabola) है। y = 0 रखने पर परास x = u² sin 2θ/g पुनः प्राप्त होता है, जो इस व्युत्पत्ति का एक स्वतः-सत्यापन (self-check) है।
केवल इसी डिवाइस पर सेव — कोई अकाउंट या साइन-इन नहीं।