अदिश एवं सदिश गुणनफल — डॉट और क्रॉस (पाठ्यक्रम पूरक)
1. डॉट और क्रॉस गुणनफल क्या हैं?
दो सदिशों को वास्तव में केवल दो उपयोगी तरीकों से "गुणा" किया जा सकता है, और प्रत्येक तरीका एक भिन्न ज्यामितीय प्रश्न का उत्तर देता है। अदिश (डॉट) गुणनफल A·B = AB cos θ पूछता है: B का कितना भाग A की दिशा में संरेखित है? — यह एक सदिश के परिमाण और उस पर दूसरे के प्रक्षेप का गुणनफल होता है, तथा इसका परिणाम एक विशुद्ध संख्या (अदिश) होता है। परिमाण AB sin θ वाला सदिश (क्रॉस) गुणनफल A×B पूछता है: दोनों तीर कितना "क्षेत्रफल घेरते हैं"? — इसका परिणाम दोनों सदिशों के लंबवत एक नया सदिश होता है, जिसकी दिशा दाएँ हाथ के नियम (right-hand rule) द्वारा निर्धारित होती है। दोनों सूत्र शुद्धगतिकी (Kinematics) के लिए JEE Main और NEET के पाठ्यक्रम में स्पष्ट रूप से शामिल हैं, जबकि युक्तियुक्तकृत (rationalised) NCERT इसके औपचारिक बीजगणित को बाद के अध्यायों में प्रस्तुत करती है — यही कारण है कि यह पूरक पृष्ठ यहाँ दिया गया है।
कक्षा 11 की भौतिकी में इनके कार्य-विभाजन को पहले ही दिन याद कर लेना चाहिए: कार्य एक डॉट गुणनफल है (W = F·d, केवल विस्थापन की दिशा वाला बल का घटक ही प्रभावी होता है), जबकि बल आघूर्ण (टॉर्क) और कोणीय संवेग क्रॉस गुणनफल हैं (τ = r×F, L = r×p, जहाँ केवल r का F के लंबवत घटक ही मायने रखता है)। बाद का हर अध्याय जो "दो सदिशों का गुणन" करता है, वह मूलतः इसी पृष्ठ की अवधारणाओं पर आधारित है।
2. संपूर्ण सिद्धांत: घटक नियम और सर्वसमिका परीक्षण
घटकों के रूप में डॉट गुणनफल। î·î = 1 और î·ĵ = 0 (विभिन्न अक्षों के अनुदिश एकांक सदिश परस्पर लंबवत होते हैं) का उपयोग करने पर, डॉट गुणनफल विशुद्ध अंकगणित बन जाता है: A·B = AxBx + AyBy (3-D में +AzBz जोड़ें)। इससे तुरंत तीन सर्वसमिकाएँ प्राप्त होती हैं: A·A = A² (परिमाण का वर्ग), A·B = B·A (क्रमविनिमेय), और अशून्य सदिशों के लिए A·B = 0 ⟺ A ⊥ B। सदिशों के बीच का कोण cos θ = A·B/(AB) से ज्ञात किया जाता है — उदाहरण 2 में इसे पूर्णतः हल किया गया है।
घटकों के रूप में क्रॉस गुणनफल। दक्षिणावर्ती चक्रीय संबंधों î×ĵ = k̂, ĵ×k̂ = î, k̂×î = ĵ (और क्रम बदलने पर चिह्न उलटने) के साथ, 2-D में क्रॉस गुणनफल एक पद में सिमट जाता है: A×B = (AxBy − AyBx)k̂। अदिश राशि AxBy − AyBx सदिशों द्वारा निर्मित समांतर चतुर्भुज का चिह्नसहित क्षेत्रफल (signed area) है। प्रति-क्रमविनिमेयता B×A = −A×B एक गुणधर्म है, कोई त्रुटि नहीं: घूर्णन की दिशा बदलें, सदिश की दिशा उलट जाएगी। अशून्य सदिशों के लिए |A×B| = 0 ⟺ समांतर — और "समांतर" में प्रति-समांतर भी शामिल है, क्योंकि sin 180° भी शून्य होता है।
ज्यामितीय अनुप्रयोग। A और B द्वारा निर्मित समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल |A×B| = AB sin θ होता है; दोनों सदिशों द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल ½|A×B| होता है। दूसरी ओर, डॉट गुणनफल क्षेत्रफल-मुक्त "छाया" (प्रक्षेप) का उपकरण है: A·B = (A का परिमाण) × (A की दिशा में B का घटक)। एक क्षेत्रफल मापता है, दूसरा संरेखण मापता है — इन दोनों चित्रों को अलग रखने से परीक्षा में क्रॉस-गुणनफल के प्रश्नों में cos θ मिलाने का क्लासिक भ्रम दूर रहता है।
3. दोनों गुणनफलों का चित्रात्मक निरूपण
चित्र 3.5 — A·B प्रक्षेप (छाया) है; |A×B| क्षेत्रफल है
नारंगी डैश्ड रेखा A पर B का प्रक्षेप है (गुणांक A तक डॉट गुणनफल)। छायांकित समांतर चतुर्भुज क्रॉस गुणनफल का परिमाण है।
परीक्षा विश्लेषण: वही दो सदिश, दो अलग-अलग प्रश्न। A = 4 और B = 3 के लिए 60° पर: डॉट = 4×3×0.5 = 6 (एक संख्या); क्रॉस का परिमाण = 4×3×0.866 ≈ 10.4 (दाएँ हाथ के नियम द्वारा पृष्ठ से बाहर की ओर एक सदिश)। इस चित्र को ध्यान में रखने पर सूत्रों का कोई भ्रम नहीं रहता।
4. हल किए गए उदाहरण
उदाहरण 1 — A = 2î + 3ĵ, B = 4î − ĵ का पूर्ण हल
A·B, उनके बीच का कोण और A×B ज्ञात कीजिए।
हल (चरण-दर-चरण): (i) A·B = (2)(4) + (3)(−1) = 8 − 3 = 5। (ii) |A| = √13 ≈ 3.606, |B| = √17 ≈ 4.123, इसलिए cos θ = 5/√221 ≈ 5/14.866 ≈ 0.336 → θ ≈ 70.4°। (iii) A×B = (AxBy − AyBx)k̂ = (2×(−1) − 3×4)k̂ = −14k̂, परिमाण 14 — पृष्ठ के लंबवत भीतर की ओर (ऋणात्मक ẑ), क्योंकि A को B की ओर घुमाना दक्षिणावर्त (clockwise) घूर्णन है। संगति जाँच: AB sin θ = 14.87 × sin 70.4° ≈ 14.87 × 0.942 ≈ 14.0 ✓।
उदाहरण 2 — î + ĵ और ĵ + k̂ के बीच का कोण
A = î + ĵ और B = ĵ + k̂ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
हल: A·B = (1)(0) + (1)(1) + (0)(1) = 1। |A| = √2, |B| = √2। cos θ = 1/(√2·√2) = 1/2 → θ = 60°। इसकी क्रॉस-जाँच भी शिक्षाप्रद है: A×B = î×ĵ + ĵ×ĵ + ĵ×k̂... घटकवार गणना करने पर चिह्न सहित (1, −1, 1) प्राप्त होता है, |A×B| = √3 = AB sin θ = 2 sin 60° ✓। इस प्रकार के मानक एकांक-सदिश प्रश्न NEET के पसंदीदा प्रश्न हैं — यदि घटक नियम स्वतः याद हों तो पूरा हल मात्र तीन पंक्तियों का है।
5. अभ्यास प्रश्न
प्र. 1. एक बल F = (3î + 4ĵ) N किसी पिंड को d = 5î m से विस्थापित करता है। बल द्वारा किया गया कार्य ज्ञात कीजिए।
उत्तर: W = F·d = (3)(5) + (4)(0) = 15 J। बल का ĵ-घटक कोई कार्य नहीं करता क्योंकि विस्थापन पूर्णतः x-अक्ष के अनुदिश है — डॉट गुणनफल का प्रक्षेप अर्थ यहाँ प्रत्यक्ष रूप से स्पष्ट होता है।
प्र. 2 (MCQ). कौन सा कथन सदैव सत्य है? (a) A·B = B·A (b) A×B = B×A (c) |A·B| = AB (d) किसी भी θ के लिए |A×B| = AB
उत्तर: केवल (a) — डॉट गुणनफल क्रमविनिमेय होता है; क्रॉस गुणनफल प्रति-क्रमविनिमेय होता है। (c) केवल समांतर सदिशों के लिए सत्य है (cos θ = 1); (d) केवल लंबवत सदिशों के लिए सत्य है (sin θ = 1)।
प्र. 3. उस समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी आसन्न भुजाएँ A = 3î और B = 4ĵ हैं।
उत्तर: क्षेत्रफल = |A×B| = |12k̂| = 12 वर्ग इकाई (यहाँ आयत है, क्योंकि A ⊥ B)। समान भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ½|A×B| = 6 होगा।
6. मुख्य सूत्र एवं महत्वपूर्ण निष्कर्ष
| संबंध | शर्त / टिप्पणी |
|---|---|
| A·B = AB cos θ = AxBx + AyBy | अदिश; क्रमविनिमेय; A·A = A² |
| A·B = 0 ⟺ A ⊥ B | अशून्य सदिश; cos 90° = 0 |
| cos θ = A·B/(AB) | किन्हीं दो सदिशों के बीच का कोण |
| |A×B| = AB sin θ; दिशा: दाएँ हाथ का नियम | दोनों के लंबवत सदिश; प्रति-क्रमविनिमेय |
| A×B = (AxBy − AyBx)k̂ | 2-D शॉर्टकट; चिह्नसहित समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल |
| |A×B| = 0 ⟺ A ∥ B | प्रति-समांतर भी शामिल; sin θ शून्य होता है |
| î×ĵ = k̂, ĵ×k̂ = î, k̂×î = ĵ | चक्रीय; क्रम बदलने पर चिह्न उलट जाता है |
| W = F·d; τ = r×F; L = r×p | पाठ्यक्रम में आगे के प्रमुख अनुप्रयोग |
7. अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)
दो सदिशों का अदिश (डॉट) गुणनफल क्या है और ज्यामितीय रूप से इसका क्या अर्थ है?
डॉट गुणनफल A·B = AB cos θ एक अदिश राशि है — जो एक सदिश के परिमाण और उस पर दूसरे सदिश के प्रक्षेप का गुणनफल होता है। घटकों के रूप में A·B = AxBx + AyBy (तथा 3-D में +AzBz)। यह क्रमविनिमेय होता है, A·B = B·A, और A·A = A²। जब सदिश परस्पर लंबवत होते हैं (θ = 90°), तब इसका मान शून्य होता है। भौतिक रूप से, कार्य W = F·d इसका प्रमुख उदाहरण है: केवल विस्थापन के अनुदिश बल का घटक ही कार्य करता है।
सदिश (क्रॉस) गुणनफल क्या है और इसकी दिशा कैसे ज्ञात की जाती है?
क्रॉस गुणनफल A×B, परिमाण AB sin θ वाला एक सदिश होता है, जो A और B दोनों के लंबवत होता है, जिसकी दिशा दाएँ हाथ के नियम (right-hand rule) द्वारा दी जाती है: छोटे कोण से A को B की ओर घुमाएँ और अँगूठा A×B की दिशा को दर्शाता है। यह प्रति-क्रमविनिमेय होता है (B×A = −A×B) और समांतर सदिशों (θ = 0° या 180°) के लिए शून्य होता है। चक्रीय संबंध î×ĵ = k̂, ĵ×k̂ = î, k̂×î = ĵ सभी चिह्न प्रश्नों को तय करते हैं, और 2-D में, A×B = (AxBy − AyBx)k̂ होता है।
गुणनफल परीक्षणों द्वारा दो सदिश कब परस्पर लंबवत और कब समांतर होते हैं?
अशून्य सदिशों के लिए: A·B = 0 यदि और केवल यदि वे लंबवत हों, क्योंकि cos 90° = 0 होता है; और |A×B| = 0 (या A×B = 0) यदि और केवल यदि वे समांतर हों, क्योंकि sin 0° = sin 180° = 0 होता है। दोनों परीक्षणों को मिलाकर, दो सदिश तब समांतर होते हैं जब प्रत्येक घटक का अनुपात समान हो, जैसे B = λA। NTA अक्सर शून्य डॉट गुणनफल में 'परस्पर लंबवत' होने की स्थिति और शून्य क्रॉस गुणनफल में 'समांतर' होने की स्थिति को छिपाकर प्रश्न पूछता है।
|A × B| का ज्यामितीय अर्थ क्या है?
परिमाण |A×B| = AB sin θ उस समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है जिसकी आसन्न भुजाएँ A और B हैं, और इसका आधा, ½|A×B|, इन दोनों सदिशों द्वारा बने त्रिभुज का क्षेत्रफल होता है। उदाहरण के लिए, सदिश 3î और 4ĵ, |3î × 4ĵ| = |12k̂| = 12 वर्ग इकाई क्षेत्रफल का एक आयत बनाते हैं। यही कारण है कि आगे के अध्यायों में क्रॉस गुणनफल से बल आघूर्ण (r×F) और कोणीय संवेग (r×p) की गणना की जाती है।
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