अदिश और सदिश — कक्षा 11 भौतिकी (NCERT 3.1–3.2, 3.3)
1. अदिश और सदिश क्या हैं?
भौतिकी राशियाँ एक परीक्षण द्वारा दो परिवारों में विभाजित होती हैं: उनमें से दो कैसे संयोजित होती हैं? एक अदिश को उसकी इकाई के साथ एक परिमाण द्वारा पूरी तरह से निर्दिष्ट किया जाता है और यह सामान्य अंकगणित का पालन करती है जिसे आप पहले से जानते हैं — द्रव्यमान 2 kg और द्रव्यमान 3 kg ठीक 5 kg होता है, चाहे द्रव्यमान कहीं भी स्थित हों। दूरी, चाल, समय, द्रव्यमान, तापमान, कार्य, ऊर्जा, शक्ति, दाब, आवेश, धारा और घनत्व सभी अदिश राशियाँ हैं। इसके विपरीत, एक सदिश को तभी निर्दिष्ट किया जाता है जब आप उसका परिमाण और उसकी दिशा बताते हैं, और दो सदिश सदिश योग नियमों (त्रिभुज या समांतर चतुर्भुज नियम) द्वारा संयोजित होते हैं, न कि अंकगणित द्वारा — पूर्व में 3 N बल और उत्तर में 4 N बल मिलकर 5 N देते हैं, न कि 7 N। विस्थापन, वेग, त्वरण, बल, संवेग, बल आघूर्ण और कोणीय संवेग सदिश राशियाँ हैं।
यह संयोजन परीक्षण महत्वपूर्ण है क्योंकि NTA इसके चारों ओर वर्गीकरण MCQ बनाता है। विद्युत धारा और दाब जैसी राशियाँ एक संबद्ध दिशा रखती हैं, फिर भी वे अदिश हैं, क्योंकि वे साधारण संख्याओं की तरह जुड़ती हैं: एक जंक्शन पर मिलने वाली 3 A और 4 A की धाराएँ किसी भी ज्यामिति से 7 A देती हैं। इसके विपरीत, किसी भी सदिश का परिमाण — "चाल", "बल का परिमाण" — स्वयं एक अदिश है। प्रत्येक सदिश को एक बोल्ड अक्षर या तीर-शीर्ष वाले अक्षर (A या A⃗) के रूप में लिखा जाता है, जिसमें परिमाण |A| को मापांक कहा जाता है, जो हमेशा एक धनात्मक अदिश या शून्य होता है।
2. पूर्ण सिद्धांत: स्थिति, विस्थापन, शून्य और एकांक सदिश
एक मूल बिंदु O और समतल में अक्षों को स्थिर करें। एक कण P का स्थिति सदिश O से P तक खींचा गया सदिश है। घटकों में यह r = xî + yĵ है, जहाँ î और ĵ x और y के अनुदिश एकांक सदिश हैं; इसका परिमाण r = √(x² + y²) है। यदि कण P₁ (स्थिति r₁) से P₂ (स्थिति r₂) तक चलता है, तो विस्थापन सदिश अंतर Δr = r₂ − r₁ है — P₁ से P₂ तक सीधा तीर, लिए गए पथ से स्वतंत्र। यह अध्याय 2 का विस्थापन का विचार है, अब एक दूसरी अक्ष के साथ; दूरी-बनाम-विस्थापन तर्क (दूरी ≥ |विस्थापन|) अपरिवर्तित रहता है।
तीन विशेष सदिश पूरे अध्याय में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। शून्य (null) सदिश 0 का परिमाण शून्य होता है और — महत्वपूर्ण रूप से — कोई दिशा नहीं होती; यह A + (−A) के रूप में उत्पन्न होता है, और इसे किसी भी सदिश में जोड़ने से कुछ भी नहीं बदलता है। एक एकांक सदिश का परिमाण 1 होता है और यह शुद्ध दिशा प्रदान करता है; किसी भी सदिश को परिमाण × दिशा के रूप में लिखा जा सकता है: A = |A|Â, जहाँ Â = A/|A| विमाहीन है। आधार सदिश î, ĵ, k̂ +x, +y, +z के अनुदिश इंगित करते हैं। अंत में, एक वास्तविक संख्या λ से गुणा करने पर एक सदिश स्केल होता है: B = λA का परिमाण |λ|·|A| होता है, A के समान दिशा यदि λ > 0 और विपरीत दिशा यदि λ < 0। दो सदिश बराबर तभी होते हैं जब परिमाण और दिशा दोनों मेल खाते हों, चाहे वे कहीं भी खींचे गए हों — समानता तीर के बारे में है, न कि उसके स्थान के बारे में।
3. सदिश परिवार का दृश्य निरूपण
चित्र 3.1 — समान, समांतर, प्रतिसमांतर और संरेख सदिश
प्रत्येक छोटा पैनल एक संबंध दिखाता है; तीर का रंग केवल प्रत्येक जोड़ी के दो सदस्यों को अलग करता है।
समान: समान लंबाई, समान दिशा
समांतर: समान दिशा, |लंबाई| भिन्न
प्रतिसमांतर: विपरीत दिशाएँ (कोण 180°)
संरेख: एक रेखा के अनुदिश (कोई भी दिशा)
परीक्षा में ध्यान दें: "समान सदिश" एक दो-शर्तों वाला परीक्षण है (परिमाण और दिशा); समांतर का अर्थ θ = 0°, प्रतिसमांतर का अर्थ θ = 180°, संरेख का अर्थ दोनों मामले एक साथ। अभिकथन-कारण प्रश्नों में, "A और −A समान हैं" गलत है — समान परिमाण लेकिन विपरीत दिशा।
4. हल किए गए उदाहरण
उदाहरण 1 — दो स्थिति सदिशों के बीच विस्थापन
एक कण स्थिति सदिश r₁ = 2î + 3ĵ (m) के साथ P₁ से r₂ = 5î + 7ĵ (m) के साथ P₂ तक चलता है। इसका विस्थापन सदिश, इसका परिमाण, और विस्थापन द्वारा +x अक्ष के साथ बनाया गया कोण ज्ञात कीजिए।
समाधान (चरण दर चरण): विस्थापन स्थिति सदिशों का अंतर है: Δr = r₂ − r₁ = (5−2)î + (7−3)ĵ = 3î + 4ĵ (m)। परिमाण: |Δr| = √(3² + 4²) = √25 = 5 m। दिशा: tan θ = 4/3, तो θ = tan⁻¹(4/3) ≈ 53.1° +x के साथ — 53° पर विशिष्ट 3-4-5 त्रिभुज। ध्यान दें कि विस्थापन केवल अंतिम बिंदुओं पर निर्भर करता है, न कि उस मार्ग पर जो कण ने वास्तव में लिया था।
उदाहरण 2 — राशि का वर्गीकरण
वर्गीकृत करें: दाब, कार्य, बल आघूर्ण, कोणीय संवेग, विद्युत धारा, विस्थापन।
तर्क के साथ समाधान: अदिश: कार्य (डॉट उत्पाद के माध्यम से बल-गुणा-विस्थापन, जो एक अदिश देता है), दाब (क्रिया की दिशा मौजूद है लेकिन यह बीजगणितीय रूप से जुड़ता है), विद्युत धारा (एक जंक्शन पर संख्याओं की तरह जुड़ती है — दिशा लेबल इसे सदिश नहीं बनाता है)। सदिश: बल आघूर्ण और कोणीय संवेग (क्रॉस उत्पादों के माध्यम से परिभाषित, दाहिने हाथ के नियम द्वारा दिशा), विस्थापन (अंतिम बिंदुओं के बीच सीधा तीर, त्रिभुज नियम का पालन करता है)। रणनीति: पूछें "ऐसी दो राशियाँ कैसे संयोजित होंगी?" — उत्तर परिवार तय करता है, जो NEET में सबसे अधिक दोहराया जाने वाला वर्गीकरण तर्क है।
5. अभ्यास प्रश्न
Q1. A = 3î + 4ĵ के लिए, |A| और A के अनुदिश एकांक सदिश ज्ञात कीजिए।
उत्तर: |A| = √(9+16) = 5; Â = A/5 = 0.6î + 0.8ĵ (विमाहीन, परिमाण 1)।
Q2. λ ज्ञात कीजिए ताकि सदिश λî + 2ĵ का परिमाण 4 हो।
उत्तर: λ² + 4 = 16 → λ² = 12 → λ = ±2√3 ≈ ±3.46। दोनों चिह्न मान्य हैं — परिमाण केवल λ² को निर्धारित करता है।
Q3 (MCQ). निम्नलिखित में से कौन एक सदिश है? (a) दाब (b) कार्य (c) बल आघूर्ण (d) चाल
उत्तर: (c) बल आघूर्ण — एक क्रॉस उत्पाद द्वारा परिभाषित, दाहिने हाथ के नियम द्वारा दिशा। दाब, कार्य और चाल अदिश राशियाँ हैं।
6. मुख्य सूत्र और मुख्य बातें
| संबंध | शर्त / टिप्पणी |
|---|---|
| r = xî + yĵ | स्थिति सदिश; r = √(x² + y²) |
| Δr = r₂ − r₁ | विस्थापन; अंतिम बिंदु-से-अंतिम बिंदु, पथ-मुक्त |
| Â = A/|A| | एकांक सदिश; विमाहीन; A ≠ 0 की आवश्यकता है |
| A = |A|Â | परिमाण × दिशा अपघटन |
| B = λA | |λ| परिमाण को स्केल करता है; λ < 0 दिशा को उलट देता है |
| A + (−A) = 0 | शून्य सदिश: शून्य परिमाण, कोई दिशा नहीं |
विमा जाँच: घटक राशि की विमा वहन करते हैं, एकांक सदिश विमाहीन होते हैं — तो [Ax] = [A] = L स्थिति के लिए, अध्याय 1 की विमीय विधि के अनुरूप।
7. अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
अदिश और सदिश राशि में क्या अंतर है?
एक अदिश राशि को उसकी इकाई के साथ एक संख्या (परिमाण) द्वारा पूरी तरह से निर्दिष्ट किया जाता है और यह सामान्य बीजगणित का पालन करती है — द्रव्यमान, चाल, कार्य। एक सदिश राशि को परिमाण, एक इकाई और एक दिशा की आवश्यकता होती है, और इसे सदिश बीजगणित (त्रिभुज/समांतर चतुर्भुज नियम) द्वारा जोड़ा जाना चाहिए, न कि साधारण अंकगणित द्वारा — विस्थापन, बल, बल आघूर्ण। वास्तविक परीक्षण यह है कि दो राशियाँ कैसे संयोजित होती हैं, न कि क्या राशि में 'एक दिशा' है।
विद्युत धारा की दिशा होती है, तो यह अदिश क्यों है?
धारा की एक संबद्ध दिशा होती है लेकिन यह साधारण संख्याओं की तरह जुड़ती है: एक जंक्शन पर जुड़ने वाली 3 A और 4 A की दो धाराएँ ज्यामिति की परवाह किए बिना 7 A देती हैं, कभी भी 5 A परिणामी नहीं। क्योंकि यह अदिश योग नियमों का पालन करती है, धारा को अदिश के रूप में वर्गीकृत किया जाता है। यही तर्क दाब पर भी लागू होता है, जिसकी क्रिया की दिशा होती है लेकिन यह बीजगणितीय रूप से संयोजित होता है।
एकांक सदिश क्या है और इसे कैसे ज्ञात करते हैं?
एक एकांक सदिश का परिमाण ठीक 1 होता है और यह केवल दिशात्मक जानकारी वहन करता है। इसे सदिश को उसके अपने परिमाण से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है: Â = A/|A|। यह विमाहीन होता है। उदाहरण के लिए, A = 3î + 4ĵ के लिए, |A| = 5, तो Â = 0.6î + 0.8ĵ। मानक आधार î, ĵ, k̂ x, y और z अक्षों के अनुदिश एकांक सदिश हैं।
क्या किसी सदिश का परिमाण कभी ऋणात्मक हो सकता है?
नहीं। परिमाण तीर की लंबाई है और हमेशा धनात्मक या शून्य होता है। एक सदिश के सामने एक ऋणात्मक चिह्न, जैसे कि −A, का अर्थ है समान परिमाण का एक सदिश जो विपरीत दिशा में इंगित करता है; यह परिमाण को ऋणात्मक नहीं बनाता है। एक अदिश λ से गुणा करने पर परिमाण |λ| से स्केल होता है और जब λ ऋणात्मक होता है तो दिशा उलट जाती है।
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