§ 5.2NCERT कक्षा 11 · भौतिकी · अध्याय 5

नियत बल द्वारा किया गया कार्य (NCERT 5.3)

Q: भौतिकी में कार्य को परिभाषित कीजिए तथा इसका SI मात्रक लिखिए।

कार्य लगाए गए बल तथा उत्पन्न विस्थापन का अदिश गुणनफल होता है: W = F·s = F s cosθ, जहाँ θ बल और विस्थापन के बीच का कोण है। इसका SI मात्रक जूल (J) है, जहाँ 1 J = 1 N m = 1 kg m² s⁻²; CGS मात्रक अर्ग (erg) है, तथा 1 J = 10⁷ erg होता है। कार्य एक चिह्नित अदिश राशि है: जब बल का कोई घटक विस्थापन की दिशा में होता है तो यह धनात्मक होता है, और जब यह विस्थापन का विरोध करता है तो ऋणात्मक होता है।

Q: किसी बल द्वारा किया गया कार्य कब शून्य होता है?

तीन स्थितियाँ हैं, जिन्हें शून्य-कार्य की त्रयी (zero-work trio) कहते हैं: (1) जब आरोपित बल स्वयं शून्य हो; (2) जब विस्थापन शून्य हो — सिर पर भारी बोझ उठाए खड़े रहने में प्रयास तो होता है परंतु भौतिकी के अनुसार कोई कार्य नहीं होता; (3) जब बल विस्थापन के लंबवत हो (θ = 90°), जैसे क्षैतिज फर्श पर अभिलंब प्रतिक्रिया बल, समतल पर चलते समय गुरुत्व बल, या एकसमान वृत्तीय गति में अभिकेंद्रीय बल द्वारा किया गया कार्य। NTA की पसंदीदा तीसरी स्थिति है, जिसे अक्सर तार पर फिसलते मनके (bead) या वृत्तीय कक्षा में उपग्रह के उदाहरणों में पूछा जाता है।

Q: क्या घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य धनात्मक हो सकता है?

हाँ — घर्षण बल द्वारा किए गए कार्य का चिह्न उस पिंड के विस्थापन पर निर्भर करता है जिस पर वह कार्य कर रहा है, यह कोई सार्वभौमिक नियम नहीं है। जब कोई संदूक त्वरित गति से चल रहे ट्रक के फर्श पर स्थिर रखा होता है और आगे बढ़ता है, तो स्थैतिक घर्षण संदूक के विस्थापन की दिशा में आगे की ओर लगता है और धनात्मक कार्य करता है। फिसलते हुए गुटके पर गतिज घर्षण सामान्यतः फिसलन का विरोध करता है और ऋणात्मक कार्य करता है, तथा दीवार पर दबाए गए गुटके पर यदि कोई ऊर्ध्वाधर विस्थापन न हो तो यह शून्य कार्य कर सकता है। घर्षण बल यांत्रिक ऊर्जा को |f| × सापेक्ष फिसलन दूरी की दर से ऊष्मा में परिवर्तित करता है, परंतु इसके कार्य का चिह्न परिस्थिति पर निर्भर करता है।

Q: बल और विस्थापन दोनों सदिश होने के बावजूद कार्य एक अदिश राशि क्यों है?

क्योंकि अदिश (डॉट) गुणनफल सदिश जानकारी को एक एकल संख्या में समेट देता है: W = F·s केवल विस्थापन की दिशा में बल के घटक को ही रखता है। दिशाएँ केवल cosθ के माध्यम से प्रभाव डालती हैं — यही कारण है कि विभिन्न बलों द्वारा किए गए कार्य बिना किसी ज्यामिति के सीधे बीजगणितीय रूप से जुड़ जाते हैं, कार्य-ऊर्जा प्रमेय एक अदिश समीकरण है, और विस्थापन की विपरीत दिशा (विरोधी बल के लिए W = −F s) किसी नई दिशा के बजाय एक चिह्न (−) के रूप में प्रकट होती है। ऊर्जा का लेखा-जोखा अदिश का लेखा-जोखा है; यही इसकी शक्ति है और यही कारण भी है कि यह अकेले यह नहीं बता सकता कि वस्तुएँ किस दिशा में गतिमान हुईं।

QCC Notes · कक्षा 11 भौतिकी NCERT आधारित अद्यतन 26 सितंबर 2026 12 मिनट पठन

1. भौतिकी में "कार्य" का क्या अर्थ है

दैनिक बोलचाल में, एक भारी सूटकेस को पकड़े रहना थका देने वाला कार्य माना जाता है; परंतु भौतिकी में यह शून्य कार्य है, क्योंकि कुछ भी विस्थापित नहीं होता। इस अध्याय का पहला अनुशासन यही पुनर्परिभाषा है: कार्य केवल तभी होता है जब कोई बल अपने क्रिया-बिंदु को अपने किसी घटक की दिशा में विस्थापित करने में सफल हो जाता है। इसका सटीक माप बल और विस्थापन का अदिश (डॉट) गुणनफल है:

W = F · s = F s cos θ

जहाँ θ बल सदिश और विस्थापन सदिश के बीच का कोण है। यह परिभाषा संक्षिप्त परंतु अत्यंत महत्त्वपूर्ण है: यह किसी बल के प्रयास का मूल्यांकन इस बात से करती है कि उसका कितना भाग गति के अनुदिश है। एक आदर्श सीधा खिंचाव F s कार्य देता है; एक लंबवत धक्का शून्य कार्य देता है; एक विरोधी खिंचाव ऋणात्मक कार्य करता है — यह ऊर्जा को बाहर निकालता है। इस कोण और चिह्न में महारत हासिल कर लीजिए, और इस अध्याय के आधे MCQs स्वतः हल हो जाएँगे।

2. संपूर्ण सिद्धांत: अदिश गुणनफल, मात्रक, और चिह्न परिपाटी

अदिश गुणनफल ही क्यों? कार्य को दो सदिशों को एक संख्या में बदलना होता है, और अदिश (डॉट) गुणनफल ठीक इसी उद्देश्य के लिए बनाई गई गणितीय संक्रिया है: यह s के अनुदिश F के घटक को बनाए रखता है और शेष को निरस्त कर देता है। यही कारण है कि कार्य एक अदिश राशि है — एक चिह्न-युक्त संख्या, न कि कोई दिशा — जो आगे चलकर कई बलों के कार्यों को बिना किसी ज्यामितीय जटिलता के सीधे बीजगणितीय रूप से जोड़ने की अनुमति देता है। विमा: [W] = M L² T⁻², मात्रक जूल (1 J = 1 N m), CGS मात्रक अर्ग (erg) जहाँ 1 J = 10⁷ erg होता है।

चिह्न तालिका — NCERT 5.3 की वास्तविक विषय-वस्तु। 0° ≤ θ < 90° के लिए, cos θ > 0 होता है और कार्य धनात्मक होता है (बल गति में सहायता करता है: गिरते हुए पिंड पर गुरुत्व बल, स्लेज पर बंधी रस्सी)। θ = 90° पर कार्य शून्य होता है — शून्य-कार्य की त्रयी: कोई बल नहीं (F = 0), कोई विस्थापन नहीं (s = 0, हाथ में पकड़ा हुआ सूटकेस), या बल ⊥ विस्थापन (समतल फर्श पर अभिलंब बल, क्षैतिज चलने पर गुरुत्व बल, प्रत्येक क्षण एकसमान वृत्तीय गति में अभिकेंद्रीय बल)। 90° < θ ≤ 180° के लिए कार्य ऋणात्मक होता है (बल गति का विरोध करता है: फिसलते गुटके पर गतिज घर्षण, ऊपर उठती गेंद पर गुरुत्व बल)।

परिणामी बल द्वारा कार्य = सभी व्यक्तिगत कार्यों का योग। चूँकि प्रत्येक बल द्वारा किया गया कार्य एक अदिश राशि है, अतः कुल कार्य केवल साधारण अंकगणित है: W_net = W₁ + W₂ + …, प्रत्येक अपने स्वयं के चिह्न के साथ। यह संकल्पना सीधे कार्य-ऊर्जा प्रमेय से जुड़ती है, और यह बहु-बल की प्रत्येक समस्या को एक साधारण हिसाब-किताब बना देती है: आरोपित बल ऊर्जा देता है, गुरुत्व प्रत्येक स्तर परिवर्तन पर mgh जोड़ता या घटाता है, अभिलंब बल सामान्यतः निष्प्रभावी रहता है, और घर्षण −f·s का कार्य करता है।

निर्देश तंत्र पर निर्भरता (महत्त्वपूर्ण सूक्ष्म बिंदु)। कार्य निर्देश तंत्र पर निर्भर करता है क्योंकि विस्थापन निर्देश तंत्र पर निर्भर करता है। एक गतिमान ट्रेन के निर्देश तंत्र में, सीट का स्थैतिक घर्षण साथ रखे सूटकेस पर धनात्मक कार्य कर सकता है; प्लेटफॉर्म के फ्रेम में स्थिति भिन्न हो सकती है। इस समस्या का समाधान प्रक्रियात्मक है, वैचारिक नहीं: किसी एक जड़त्वीय निर्देश तंत्र का चयन करें, संपूर्ण गणना उसी तंत्र में करें, और कभी भी विभिन्न तंत्रों को आपस में न मिलाएँ।

NTA जाल (1) θ हमेशा F और s के बीच का कोण है — '37° का नत तल' होने का यह अर्थ स्वतः नहीं हो जाता कि θ = 37° ही होगा; हमेशा देखें कि किन दो सदिशों की तुलना की जा रही है। (2) रोके रखना ≠ कार्य करना: 40 kg का भार सिर पर लेकर खड़े कुली द्वारा किया गया भौतिकीय कार्य शून्य होता है, चाहे उसे कितना भी पसीना क्यों न आ रहा हो। (3) घर्षण के कार्य का चिह्न परिस्थिति पर निर्भर करता है: फिसलने वाले पिंडों पर ऋणात्मक, स्थिर गुटकों पर शून्य, त्वरित बेल्ट पर ले जाए जाने वाले भार पर धनात्मक — कभी यह न लिखें कि 'घर्षण सदैव ऋणात्मक कार्य करता है'। (4) लंबवत बल, शून्य कार्य: अभिलंब प्रतिक्रिया बल, अभिकेंद्रीय बल और चुंबकीय बल (कक्षा 12) वे प्रमुख बल हैं जिनका कार्य शून्य होता है और NTA इन्हें बार-बार दोहराता है। (5) मात्रक रूपांतरण: 1 J = 10⁷ erg; जब विकल्प अर्ग में दिए हों तो यह रूपांतरण ही आधे प्रश्न का हल होता है।

3. कार्य का निर्धारण करने वाले कोण का चित्रीय निरूपण

चित्र 5.2 — केवल s के अनुदिश उपस्थित घटक ही कार्य करता है

नीला बिंदुदार तीर: F cos 37° = 40 N, s के समांतर — यह भाग कार्य करता है। नारंगी बिंदुदार तीर: F sin 37° = 30 N, s के लंबवत — यह भाग निष्प्रभावी रहता है। हरा तीर: विस्थापन s = 10 m.

2 kg

F = 50 N (37° पर)

F cos37° = 40 N → कार्य करता है

F sin37° = 30 N ⊥ s → W = 0

s = फर्श के अनुदिश 10 m W = F s cosθ = 50 × 10 × 0.8 = 400 J — केवल 40 N घटक द्वारा

परीक्षा विश्लेषण: ऊर्ध्वाधर 30 N घटक शून्य कार्य करता है — ठीक वैसे ही जैसे गुरुत्व बल और अभिलंब बल शून्य कार्य करते हैं — और संपूर्ण 400 J कार्य केवल क्षैतिज घटक द्वारा किया जाता है। NTA के नत तल और रस्सी संबंधी प्रश्न विभिन्न कोणों (cosines) के साथ इसी चित्र पर आधारित होते हैं; गुणा करने से पहले सदिशों का वियोजन अवश्य करें।

4. हल किए गए उदाहरण (Solved Examples)

उदाहरण 1 — कोण पर बंधी रस्सी

एक गुटके को क्षैतिज से 37° के कोण पर 50 N के बल से खींची जा रही रस्सी द्वारा समतल फर्श पर 10 m तक घसीटा जाता है। रस्सी द्वारा किया गया कार्य ज्ञात कीजिए।

हल (चरण-दर-चरण): रस्सी (बल) और फर्श पर विस्थापन के बीच कोण θ = 37° है, अतः W = F s cos θ = 50 × 10 × cos 37° = 50 × 10 × 0.8 = 400 J। घटकों द्वारा पुनः जाँच: केवल F cos 37° = 40 N ही s के अनुदिश कार्य करता है, जिससे 40 × 10 = 400 J ✓ प्राप्त होता है। ध्यान दें कि किन बलों ने कोई कार्य नहीं किया: ऊर्ध्वाधर 30 N घटक (⊥ s), गुरुत्व बल (⊥ s), और अभिलंब बल (⊥ s) — ये तीनों निष्प्रभावी रहते हैं जिन्हें NTA गलत विकल्पों में 'कार्य करने वाले' बलों के रूप में शामिल करना पसंद करता है।

उदाहरण 2 — संपूर्ण बहु-बल विश्लेषण

2 kg के एक गुटके को एक खुरदुरे फर्श पर क्षैतिज से 37° ऊपर 10 N के बल द्वारा 5 m तक खींचा जाता है। गतिज घर्षण बल 2 N है। प्रत्येक बल द्वारा किया गया कार्य तथा कुल (परिणामी) कार्य ज्ञात कीजिए।

हल: खिंचाव बल: W = 10 × 5 × 0.8 = 40 J। घर्षण बल: W = −f s = −2 × 5 = −10 J। गुरुत्व बल (20 N, ⊥ s): W = 0। अभिलंब बल (⊥ s): W = 0। कुल कार्य: W = 40 − 10 + 0 + 0 = 30 J। कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार, गुटके की गतिज ऊर्जा में ठीक 30 J की वृद्धि हुई — विरामावस्था से, ½ × 2 × v² = 30 → v ≈ 5.5 m/s। केवल छह पंक्तियाँ, मन में एक सरल गणना; किसी जटिल मुक्त-पिंड बीजगणित की आवश्यकता नहीं।

5. अभ्यास प्रश्न (Practice Questions)

प्रश्न 1. एक कुली 20 kg के सूटकेस को लेकर 10 s तक खड़ा रहता है, फिर इसे उठाए हुए समतल प्लेटफ़ॉर्म पर 5 m चलता है। प्रत्येक चरण में सूटकेस पर कुली के ऊपर की ओर लगने वाले बल द्वारा किया गया कार्य ज्ञात कीजिए।
उत्तर: दोनों चरणों में शून्य। खड़े रहने पर: s = 0। चलने पर: कुली का बल ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर है, विस्थापन क्षैतिज है, θ = 90° → W = 0। बल पूरे समय गुरुत्व का विरोध करता है (सूटकेस को mg के विरुद्ध ऊपर थामे रखता है), परंतु केवल "बल लगाकर थामे रखना" भौतिकी में "कार्य करना" नहीं है — बल की दिशा में कोई विस्थापन नहीं, अतः कोई कार्य नहीं।

प्रश्न 2 (MCQ). एक चिकने तार पर एक मनका (bead) वृत्ताकार पथ में गति करता है, जहाँ तार द्वारा अभिलंब बल त्रिज्यीय (radially) लगता है। आधे चक्कर में अभिलंब बल द्वारा किया गया कार्य होगा: (a) धनात्मक (b) ऋणात्मक (c) शून्य (d) त्रिज्या पर निर्भर करता है
उत्तर: (c) — अभिलंब बल त्रिज्यीय है और वेग (अतः सूक्ष्म विस्थापन) प्रत्येक क्षण स्पर्शरेखीय होता है: पूरे समय θ = 90° रहता है, अतः किसी भी चाप की लंबाई पर W = 0 होगा, चाहे आधा चक्कर हो या पूरा। यह वही तर्क है जो एकसमान वृत्तीय गति में शून्य कार्य के लिए लागू होता है।

प्रश्न 3. 2 kg का एक पिंड 5 m की ऊँचाई से स्वतंत्रतापूर्वक गिरता है, उसे पकड़ा जाता है, और फिर से उसी 5 m ऊँचाई तक वापस ऊपर फेंका जाता है। नीचे गिरने, ऊपर जाने, तथा पूरी यात्रा (round trip) में गुरुत्व बल द्वारा किया गया कार्य ज्ञात कीजिए (g = 10 m s⁻² लें)।
उत्तर: नीचे गिरते समय: गुरुत्व बल विस्थापन की दिशा में है → W = +mgh = 2 × 10 × 5 = +100 J। ऊपर जाते समय: गुरुत्व बल विस्थापन का विरोध करता है → W = −100 J। संपूर्ण यात्रा (round trip): 100 − 100 = 0 — गुरुत्व बल एक संरक्षी बल (conservative force) है, और पूरी यात्रा में यह निरस्तीकरण ही अगले पृष्ठों में स्थितिज ऊर्जा की अवधारणा का आधार बनता है।

6. मुख्य सूत्र एवं महत्त्वपूर्ण बिंदु (Key Formulas & Takeaways)

संबंध / सूत्र	शर्त / टिप्पणी
W = F s cos θ	नियत बल, सरल रेखीय विस्थापन; θ, F और s के बीच का कोण है
0° ≤ θ < 90° → W > 0	बल गति में सहायता करता है: गिरते पिंड पर गुरुत्व, स्लेज पर रस्सी
θ = 90° → W = 0	समतल फर्श पर अभिलंब, क्षैतिज चलने पर गुरुत्व, अभिकेंद्रीय बल, उठाया हुआ भार
90° < θ ≤ 180° → W < 0	बल गति का विरोध करता है: गतिज घर्षण, ऊपर उठते पिंड पर गुरुत्व
W_net = ΣW_i	अदिश योग — कार्य-ऊर्जा प्रमेय का आधार
W_gravity = ± mgh	ऊँचाई में परिवर्तन द्वारा चिह्न; समतल धरातल पर किसी भी पूर्ण यात्रा (round trip) में शून्य
1 J = 10⁷ erg	[W] = M L² T⁻²; SI मात्रक जूल, CGS मात्रक अर्ग

प्रत्येक कार्य की गणना तीन तथ्यों पर आधारित होती है: कौन-सा बल है, कौन-सा विस्थापन है, और उनके बीच का कोण क्या है। ज्यामिति से θ ज्ञात करें (आदत से नहीं), उचित चिह्न लगाएँ, और अदिश राशियों को सीधे जोड़ दें।

7. अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (Frequently Asked Questions)

भौतिकी में कार्य को परिभाषित कीजिए तथा इसका SI मात्रक लिखिए।

कार्य लगाए गए बल तथा उत्पन्न विस्थापन का अदिश गुणनफल होता है: W = F·s = F s cosθ, जहाँ θ बल और विस्थापन के बीच का कोण है। इसका SI मात्रक जूल (J) है, जहाँ 1 J = 1 N m = 1 kg m² s⁻²; CGS मात्रक अर्ग (erg) है, तथा 1 J = 10⁷ erg होता है। कार्य एक चिह्न-युक्त अदिश राशि है: जब बल का कोई घटक विस्थापन की दिशा में होता है तो यह धनात्मक होता है, और जब यह विस्थापन का विरोध करता है तो ऋणात्मक होता है।

किसी बल द्वारा किया गया कार्य कब शून्य होता है?

तीन स्थितियाँ हैं, जिन्हें शून्य-कार्य की त्रयी (zero-work trio) कहते हैं: (1) जब आरोपित बल स्वयं शून्य हो; (2) जब विस्थापन शून्य हो — सिर पर भारी बोझ उठाए खड़े रहने में प्रयास तो होता है परंतु भौतिकी के अनुसार कोई कार्य नहीं होता; (3) जब बल विस्थापन के लंबवत हो (θ = 90°), जैसे क्षैतिज फर्श पर अभिलंब प्रतिक्रिया बल, समतल पर चलते समय गुरुत्व बल, या एकसमान वृत्तीय गति में अभिकेंद्रीय बल द्वारा किया गया कार्य। NTA की पसंदीदा तीसरी स्थिति है, जिसे अक्सर तार पर फिसलते मनके (bead) या वृत्तीय कक्षा में उपग्रह के उदाहरणों में पूछा जाता है।

क्या घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य धनात्मक हो सकता है?

हाँ — घर्षण बल द्वारा किए गए कार्य का चिह्न उस पिंड के विस्थापन पर निर्भर करता है जिस पर वह कार्य कर रहा है, यह कोई सार्वभौमिक नियम नहीं है। जब कोई संदूक त्वरित गति से चल रहे ट्रक के फर्श पर स्थिर रखा होता है और आगे बढ़ता है, तो स्थैतिक घर्षण संदूक के विस्थापन की दिशा में आगे की ओर लगता है और धनात्मक कार्य करता है। फिसलते हुए गुटके पर गतिज घर्षण सामान्यतः फिसलन का विरोध करता है और ऋणात्मक कार्य करता है, तथा दीवार पर दबाए गए गुटके पर यदि कोई ऊर्ध्वाधर विस्थापन न हो तो यह शून्य कार्य कर सकता है। घर्षण बल यांत्रिक ऊर्जा को |f| × सापेक्ष फिसलन दूरी की दर से ऊष्मा में परिवर्तित करता है, परंतु इसके कार्य का चिह्न परिस्थिति पर निर्भर करता है।

बल और विस्थापन दोनों सदिश होने के बावजूद कार्य एक अदिश राशि क्यों है?

क्योंकि अदिश (डॉट) गुणनफल सदिश जानकारी को एक एकल संख्या में समेट देता है: W = F·s केवल विस्थापन की दिशा में बल के घटक को ही रखता है। दिशाएँ केवल cosθ के माध्यम से प्रभाव डालती हैं — यही कारण है कि विभिन्न बलों द्वारा किए गए कार्य बिना किसी ज्यामिति के सीधे बीजगणितीय रूप से जुड़ जाते हैं, कार्य-ऊर्जा प्रमेय एक अदिश समीकरण है, और विस्थापन की विपरीत दिशा (विरोधी बल के लिए W = −F s) किसी नई दिशा के बजाय एक चिह्न (−) के रूप में प्रकट होती है। ऊर्जा का लेखा-जोखा अदिश का लेखा-जोखा है; यही इसकी शक्ति है और यही कारण भी है कि यह अकेले यह नहीं बता सकता कि वस्तुएँ किस दिशा में गतिमान हुईं।

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