कमानी की स्थितिज ऊर्जा (NCERT 5.9)
1. कमानी (स्प्रिंग): एक पुनर्भरण योग्य (रिचार्जेबल) ऊर्जा भंडार
किसी कमानी को संपीडित कीजिए, छोड़ दीजिए, और यह आपके द्वारा दी गई संपूर्ण ऊर्जा बिना किसी क्षय या हानि के वापस लौटा देती है। कमानी यांत्रिकी की रिचार्जेबल बैटरी है, और NCERT 5.9 इसे एक निश्चित संख्यात्मक मान प्रदान करता है। यह भौतिकी बलों की सूची के हुक के नियम पर आधारित है: अपनी प्रत्यास्थता सीमा के भीतर कोई कमानी विरूपण के समानुपाती बल के साथ अपनी प्राकृतिक लंबाई की ओर धकेलती या खींचती है,
F = −k x (प्रत्यानयन रूप), k का मात्रक N m⁻¹
जहाँ x प्राकृतिक लंबाई से मापा गया विस्थापन है और ऋण चिह्न यह दर्शाता है कि बल सदैव विस्थापन का विरोध करता है। चूँकि जैसे-जैसे आप धकेलते हैं, बल बढ़ता जाता है — प्राकृतिक लंबाई पर 0, और विरूपण x पर kx — इसलिए कमानी इस अध्याय की प्रमुख परिवर्ती बल (variable-force) समस्या है, और ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल विधि एक ही त्रिभुज से इसकी ऊर्जा का निगमन कर देती है।
2. पूर्ण सिद्धांत: U = ½kx² का निगमन और ऊर्जा श्रृंखलाएं
निगमन (परीक्षा का निश्चित निगमन प्रश्न — दोनों विधियाँ सीखें)। कमानी को x दूरी तक धीरे-धीरे संपीडित करें। आरोपित बल को कमानी के बढ़ते प्रतिरोध के बराबर होना चाहिए, जो 0 से kx तक रैखिक रूप से बढ़ता है। पहली विधि — औसत बल: Favg = (0 + kx)/2 = kx/2, अतः W = Favg·x = ½kx²। दूसरी विधि — ग्राफ: F–x आरेख आधार x और ऊंचाई kx वाला एक त्रिभुज है, क्षेत्रफल = ½·x·kx = ½kx²। प्राकृतिक लंबाई पर U = 0 चुनते हुए (कमानी की न्यूनतम ऊर्जा अवस्था), यह कार्य निम्न रूप में संचित होता है:
Us = ½ k x²
वर्ग पद के कारण दो महत्वपूर्ण गुण सामने आते हैं। पहला, सममिति: x से संपीडित करने और x से खींचने पर समान ऊर्जा संचित होती है — x² चिह्न को निष्प्रभावी कर देता है। दूसरा, अनृणात्मकता (non-negativity): सदैव Us ≥ 0 होता है, जो प्राकृतिक लंबाई पर न्यूनतम (शून्य) होता है; कमानी पर कभी ऊर्जा का 'ऋण' नहीं होता, यह केवल संचित ऊर्जा रखती है।
दो अवस्थाओं के बीच कमानी द्वारा किया गया कार्य। त्रिभुज विधि का व्यापकीकरण करने पर: प्रसार xi से xf तक जाने में कमानी द्वारा किया गया कार्य Wspring = ½k(xi² − xf²) होता है। संपीडन x से प्राकृतिक लंबाई तक छोड़ने पर: xf = 0 → कमानी +½kx² कार्य प्रदान करती है (प्रक्षेपण समस्याएं)। प्राकृतिक लंबाई से इसे और अधिक संपीडित करने पर: कमानी −½kx² कार्य करती है (यह पूरे मार्ग में आपके विरुद्ध प्रतिरोध करती है)। सूत्र से चिह्न अपने आप निर्धारित हो जाता है — अलग से स्थितियों के विश्लेषण की आवश्यकता नहीं है।
NTA द्वारा प्रतिवर्ष दोहराई जाने वाली दो ऊर्जा श्रृंखलाएं। पहली श्रृंखला — प्रक्षेपण (launch): कमानी ऊर्जा ½kx² → गतिज ऊर्जा ½mv², अतः v = x√(k/m)। दूसरी श्रृंखला — अधिकतम संपीडन (max compression): एक गतिमान गुटका कमानी से टकराता है और क्षण भर के लिए रुक जाता है; ½mv² = ½kxmax², अतः xmax = v√(m/k)। दोनों पिछले पृष्ठ के ऊर्जा संरक्षण नियम हैं जिनमें कमानी एकमात्र स्थितिज ऊर्जा U है। स्थिर अवस्था में लटकी ऊर्ध्वाधर कमानी पर गुरुत्वाकर्षण भी शामिल हो जाता है और संतुलन mg/k प्रसार पर प्राप्त होता है — हुक का नियम तथा ΣF = 0, उस विशेष प्रश्न के लिए ऊर्जा समीकरण की आवश्यकता नहीं होती।
3. दृश्य रूप में समझना: खिंचाव, संपीडन — समान ऊर्जा संचय
चित्र 5.6 — वर्ग पद ±x को समान बना देता है
बाएँ: प्राकृतिक लंबाई, U = 0। मध्य: संपीडित x = 10 cm, कुंडलियाँ दबी हुई (लाल), U = ½ × 1000 × 0.1² = 5 J। दाएँ: खींची गई x = 10 cm, कुंडलियाँ खिंची हुई, पुनः U = 5 J।
परीक्षा निष्कर्ष: k = 1000 N/m और x = 10 cm के साथ, दोनों विरूपण ठीक 5 J संचित करते हैं — और यही 5 J ऊर्जा 0.1 kg की गेंद को v = √(2 × 5/0.1) = 10 m/s की चाल से प्रक्षेपित करती है। NTA का प्रत्येक कमानी संबंधी आंकिक प्रश्न इन्हीं दो स्थितियों से मिलकर ऊर्जा संरक्षण श्रृंखला का निर्माण करता है।
4. हल किए गए उदाहरण
उदाहरण 1 — कमानी द्वारा गेंद का प्रक्षेपण
1000 N m⁻¹ नियतांक वाली एक कमानी को 10 cm संपीडित किया जाता है और घर्षण रहित फर्श पर 0.1 kg की गेंद के सामने रखा जाता है। कमानी में संचित ऊर्जा तथा कमानी को मुक्त करने पर गेंद की प्रक्षेपण चाल ज्ञात कीजिए।
हल (चरण-दर-चरण): संचित ऊर्जा: U = ½kx² = ½ × 1000 × (0.10)² = 5 J। मुक्त करने पर: संपूर्ण ऊर्जा परिवर्तित हो जाती है (घर्षण रहित) → ½ × 0.1 × v² = 5 → v² = 100 → v = 10 m/s। एक पंक्ति में श्रृंखला: v = x√(k/m) = 0.1 × √(1000/0.1) = 0.1 × 100। दिशा संबंधी नियम ध्यान रखें: संपीडित कमानी गेंद को दीवार से दूर धकेलती है — प्रक्षेपण की दिशा ज्यामिति द्वारा तय होती है, ऊर्जा द्वारा कभी नहीं।
उदाहरण 2 — अधिकतम संपीडन
घर्षण रहित फर्श पर 6 m s⁻¹ की चाल से गतिमान 2 kg का एक गुटका 800 N m⁻¹ नियतांक वाली एक स्वतंत्र सिरे वाली कमानी से टकराता है। अधिकतम संपीडन ज्ञात कीजिए।
हल: अधिकतम संपीडन पर गुटका क्षण भर के लिए विराम अवस्था में आ जाता है: Ki = ½ × 2 × 36 = 36 J पूर्णतः Us = ½ × 800 × x² में बदल जाती है। अतः 400x² = 36 → x² = 0.09 → x = 0.30 m। विपरीत श्रृंखला से जांच: इस कमानी द्वारा 0.3 m संपीडन से वापस धकेला गया गुटका पुनः ठीक 6 m/s की चाल प्राप्त कर लेता है — घर्षण की अनुपस्थिति में ऊर्जा श्रृंखलाएं उत्क्रमणीय (reversible) होती हैं। ध्यान दें कि उत्तर में किस बात की उपेक्षा की गई है: गुटके के मंदन का इतिहास; हमेशा की तरह केवल प्रारंभिक व अंतिम बिंदु महत्वपूर्ण हैं।
5. अभ्यास प्रश्न
प्रश्न 1. 200 N m⁻¹ नियतांक वाली एक कमानी को 15 cm खींचा जाता है। संचित ऊर्जा तथा इसे इसी स्थिति में बनाए रखने के लिए आवश्यक बल ज्ञात कीजिए।
उत्तर: U = ½kx² = ½ × 200 × (0.15)² = ½ × 200 × 0.0225 = 2.25 J। थामे रखने वाला बल: F = kx = 200 × 0.15 = 30 N। दोनों राशियों को अलग-अलग स्पष्ट रखें — बल x में रैखिक होता है, जबकि ऊर्जा द्विघाती होती है; इनमें भ्रम होना एक सामान्य त्रुटि है।
प्रश्न 2 (MCQ). किसी कमानी को x दूरी संपीडित करने पर संचित ऊर्जा U है। यदि संपीडन घटाकर x/2 कर दिया जाए, तो संचित ऊर्जा होगी: (a) U/2 (b) U/4 (c) 2U (d) 4U
उत्तर: (b) — U ∝ x², अतः x को आधा करने पर ऊर्जा चौथाई हो जाती है: U/4। इसी अनुपात तर्क से "संपीडन दोगुना करने पर 4U ऊर्जा मिलती है" और "एक-तिहाई संपीडन करने पर U/9 ऊर्जा मिलती है" — एक ही वर्ग नियम से परीक्षा के तीन रूप बनते हैं।
प्रश्न 3. 500 N m⁻¹ नियतांक वाली एक ऊर्ध्वाधर कमानी से 1 kg का गुटका विराम अवस्था में लटका हुआ है। कमानी का प्रसार तथा तनी हुई कमानी में संचित ऊर्जा ज्ञात कीजिए (g = 10 m s⁻² लें)।
उत्तर: साम्यावस्था: kx = mg → x = 10/500 = 0.02 m = 2 cm (बल संतुलन, किसी ऊर्जा तर्क की आवश्यकता नहीं)। संचित ऊर्जा: U = ½kx² = ½ × 500 × 0.0004 = 0.1 J। महत्वपूर्ण जाल: इस दौरान गुरुत्वाकर्षण ने 2 cm नीचे आने पर स्थितिज ऊर्जा में mgh = 0.2 J की कमी दर्ज की — अंतर 0.1 J ठीक कमानी द्वारा अर्जित ऊर्जा है; "ऊर्जा कहाँ से आई?" पूछे जाने पर यह तीन पंक्तियों का संतुलन ध्यान रखने योग्य है।
6. मुख्य सूत्र एवं महत्वपूर्ण बिंदु
| संबंध | शर्त / टिप्पणी |
|---|---|
| F = −kx | प्रत्यास्थता सीमा के भीतर हुक का नियम; x प्राकृतिक लंबाई से विस्थापन; k का मात्रक N m⁻¹ |
| Us = ½kx² | प्राकृतिक लंबाई पर शून्य; खिंचाव और संपीडन दोनों के लिए समान; U ≥ 0 |
| Wspring = ½k(xi² − xf²) | कमानी द्वारा किया गया कार्य; मुक्त होने पर → धनात्मक, संपीडित होने पर → ऋणात्मक |
| ½kx² = ½mv² (प्रक्षेपण) | v = x√(k/m); घर्षण रहित फर्श |
| ½mv² = ½kx²max (विराम) | xmax = v√(m/k); पूर्ण संपीडन पर गुटका क्षण भर के लिए विराम में |
| समांतर: k = k₁ + k₂ · श्रेणीक्रम: k = k₁k₂/(k₁ + k₂) | संयोजन: समांतर अधिक कठोर, श्रेणीक्रम अधिक नर्म (केवल अनुपात प्रश्न) |
| ऊर्ध्वाधर साम्यावस्था: x = mg/k | विराम में बल संतुलन; ऊर्जा संतुलन अभी भी ΔU_gravity के माध्यम से बना रहता है |
कमानी का प्रत्येक प्रश्न तीन कार्यों में से एक होता है: संचय करना (½kx²), वापस लौटाना (प्रक्षेपण श्रृंखला), या अवशोषित करना (अधिकतम संपीडन श्रृंखला)। कार्य की पहचान करें, प्राकृतिक लंबाई पर शून्य निर्धारित करें, और ऊर्जा संरक्षण समीकरण से हल पूरा करें।
7. अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQs)
कमानी के लिए स्थितिज ऊर्जा के सूत्र U = ½kx² का निगमन कीजिए।
किसी कमानी को x दूरी तक धीरे-धीरे संपीडित करने के लिए हुक के नियम के अनुसार एक ऐसा बल लगाना पड़ता है जो 0 से kx तक रैखिक रूप से बढ़ता है। किया गया कार्य F–x त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है: W = ½ · आधार · ऊंचाई = ½ · x · kx = ½kx²। समतुल्य रूप से, इस विस्थापन के दौरान औसत बल (0 + kx)/2 = kx/2 होता है, अतः W = (kx/2)·x = ½kx²। प्राकृतिक लंबाई पर U = 0 मानने पर, यह कार्य कमानी की स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित हो जाता है। यही सूत्र ½kx² खिंचाव (प्रसार) और संपीडन दोनों के लिए समान रूप से लागू होता है क्योंकि x का वर्ग होता है।
कमानी स्थिरांक (स्प्रिंग नियतांक) क्या है और इसके मात्रक क्या हैं?
कमानी स्थिरांक k कठोरता (दृढ़ता) की माप है: यह प्रति एकांक प्रसार के लिए आवश्यक बल है, F = kx, इसलिए k = F/x जिसका SI मात्रक न्यूटन प्रति मीटर (N m⁻¹) है। एक कठोर कमानी (बड़ा k) थोड़े से खिंचाव में ही अत्यधिक ऊर्जा संचित कर लेती है; जबकि एक नर्म कमानी को उतनी ही ऊर्जा के लिए अधिक खिंचाव की आवश्यकता होती है। सूत्र U = ½kx² से ध्यान दें कि समान x पर k को दोगुना करने से संचित ऊर्जा दोगुनी हो जाती है, जबकि x को दोगुना करने से ऊर्जा चार गुनी हो जाती है — विस्थापन अधिक प्रभावी कारक है, और NTA के अनुपात वाले प्रश्न इसी सिद्धांत पर आधारित होते हैं।
कमानी की स्थितिज ऊर्जा कभी ऋणात्मक क्यों नहीं होती?
क्योंकि विस्थापन x वर्ग के रूप में आता है: U = ½kx² प्राकृतिक लंबाई पर शून्य होता है और संपीडन (x ऋणात्मक) तथा खिंचाव (x धनात्मक) दोनों के लिए धनात्मक ही रहता है। कमानी की न्यूनतम ऊर्जा अवस्था उसकी प्राकृतिक लंबाई होती है, जहाँ वह कोई बल नहीं लगाती। इसलिए ऊर्जा सदैव एक धनात्मक संचित राशि होती है जिसे कमानी कार्य के रूप में वापस दे सकती है। भ्रम से बचने के लिए ध्यान रखें: यद्यपि स्वयं U कभी ऋणात्मक नहीं होता, परंतु दो अवस्थाओं के बीच कमानी द्वारा किया गया कार्य, ½k(x_i² − x_f²), ऋणात्मक हो सकता है — कमानी को और अधिक संपीडित करने पर वह आप पर ऋणात्मक कार्य करती है।
कमानियों को श्रेणीक्रम और समांतर क्रम में कैसे संयोजित किया जाता है?
समांतर क्रम में दो कमानियों (अगल-बगल भार साझा करते हुए) में दोनों का खिंचाव समान होता है और उनके बल जुड़ते हैं: k_eq = k₁ + k₂। श्रेणीक्रम में दो कमानियों (सिरे से सिरा जोड़कर) में दोनों पर समान बल लगता है और उनके प्रसार जुड़ते हैं: 1/k_eq = 1/k₁ + 1/k₂, अर्थात् k_eq = k₁k₂/(k₁ + k₂)। ये विद्युत धारिता (संधारित्र) और प्रतिरोध के नियमों जैसे ही हैं बस भूमिकाएं बदल जाती हैं — समांतर संयोजन किसी भी एकल कमानी से अधिक कठोर होता है, जबकि श्रेणी संयोजन अधिक नर्म होता है। कक्षा 11 के अधिकांश आंकिक प्रश्न एकल कमानी पर होते हैं; संयोजन अनुपात संबंधी प्रश्नों में पूछे जाते हैं।
केवल इसी डिवाइस पर सेव — कोई अकाउंट या साइन-इन नहीं।