शक्ति — कार्य करने की दर (NCERT 5.10)
1. समान कार्य, भिन्न समय
20 बोरियों को दोपहर भर में सीढ़ियों से ऊपर ले जाइए, या दो मिनट में यह काम करने वाली क्रेन किराए पर लीजिए: दोनों स्थितियों में कार्य पूर्णतः समान है — वही भार, वही ऊँचाई, वही mgh — परंतु कोई भी इन दोनों निष्पादनों को समान नहीं कहेगा। दोपहर और दो मिनट के बीच का जो अंतर है, वह है शक्ति (power): कार्य करने की समय दर। NCERT 5.10 इसे इस प्रकार परिभाषित करती है:
P = W / t (औसत), P = dW/dt (तात्क्षणिक)
इसका SI मात्रक वाट (1 W = 1 J s⁻¹) तथा इसके दैनिक गुणज kW, MW हैं। शक्ति इस अध्याय का मूल्यांकन सूत्र है: कार्य एक उत्पाद है, और शक्ति समय के सापेक्ष उसकी विनिमय दर है। और चूँकि मशीनों की खरीद-बिक्री उनकी शक्ति रेटिंग के आधार पर की जाती है — 100 W का बल्ब, 5 hp का पंप, 100 kW की कार — इसलिए NCERT का यह सबसे संक्षिप्त भाग परीक्षा में कई सीधे अंक दिलाता है: मात्रक रूपांतरण, P = Fv के सीधे प्रश्न, और बिजली के बिल की गणना।
2. संपूर्ण सिद्धांत: dW/dt से P = Fv तक, और मात्रकों की विविधता
तात्क्षणिक शक्ति का निगमन। अत्यंत सूक्ष्म समय dt में कोई बल F अपने अनुप्रयोग बिंदु को ds = v dt विस्थापित करता है, जिससे किया गया कार्य dW = F·ds होता है। dt से भाग देने पर: P = dW/dt = F·v = F v cos θ, जहाँ θ बल और वेग के बीच का कोण है। इसे ध्यानपूर्वक समझें, क्योंकि इसमें परीक्षा के दो महत्वपूर्ण निष्कर्ष छिपे हैं: शक्ति, बल तथा वेग का गुणनफल है — एक रुका हुआ इंजन (v = 0) चाहे कितना भी बल लगाए, शून्य शक्ति प्रदान करता है; और केवल गति की दिशा में लगने वाला बल घटक ही मान्य होता है — समतल सड़क पर नियत वेग से चलते समय अभिलंब बल किसी भी चाल पर शून्य शक्ति व्यय करता है। नियत शक्ति पर, F और v एक अतिपरवलय (hyperbola) के अनुदिश परस्पर बदलते हैं: अधिक खिंचाव बल का अर्थ है कम चाल।
मात्रकों की विविधता — जहाँ से अंक मिलते हैं। SI मात्रक: वाट तथा इसके उपसर्ग (1 kW = 10³ W, 1 MW = 10⁶ W)। अभियांत्रिकी मात्रक: 1 hp = 746 W (अश्वशक्ति / horsepower, जो आज भी भारतीय पंपों और मोटरों की नेमप्लेट पर अंकित होता है)। घरेलू मात्रक: 1 kWh = 3.6 × 10⁶ J — किलोवाट-घंटा वह ऊर्जा है जो 1 kW का उपकरण एक घंटे में प्रदान करता है (1000 W × 3600 s), जो इसे ऊर्जा का मात्रक बनाती है, जिसे विद्युत बोर्ड "एक यूनिट" के रूप में बेचते हैं। kWh और शक्ति का यह भ्रम NTA का एक स्थायी बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQ) है: आपके बिल पर दर्ज यूनिट ऊर्जा है; जबकि उपकरण पर अंकित रेटिंग शक्ति है। 5 घंटे चलने वाला 2 kW का हीटर 10 kWh = 3.6 × 10⁷ J ऊर्जा की खपत करता है।
प्रश्नों के दो मानक प्रारूप (Templates)। पहला प्रारूप — उत्थापन (Lifting): प्रत्येक चक्र में ऊँचाई h तक m द्रव्यमान का जल (या mg भार का पिंड) उठाने वाला पंप प्रति चक्र mgh कार्य करता है; P = mgh/चक्र का समय। दूसरा प्रारूप — क्रूज़ (नियत चाल गति): नियत चाल से चलने वाले वाहन का त्वरण शून्य होता है, अतः इंजन का बल कुल प्रतिरोध f के बराबर होता है, और P = F v = f v; इसलिए सीमित शक्ति अधिकतम चाल को vmax = P/f पर सीमित कर देती है — यही वह प्रारूप है जो "इंजन शक्ति 50 kW, प्रतिरोध 2500 N" वाले प्रत्येक आंकिक प्रश्न के पीछे काम करता है। दोनों प्रारूप वास्तव में स्टॉपवॉच के साथ प्रयुक्त कार्य बहीखाता (work ledger) ही हैं।
3. दृश्य रूप में समझना: 100 W मोटर का एक सेकंड
चित्र 5.7 — शक्ति प्रति सेकंड किया गया कार्य है, जो एक उत्पादन रेखा की तरह दिखाई देती है
ऊपर: मोटर का बल और चाल — P = F v = 200 × 0.5 = 100 W। नीचे: वही 100 W प्रति सेकंड आपूर्ति के रूप में: प्रत्येक सेकंड एक 100 J का ब्लॉक जोड़ता है।
परीक्षा के लिए मुख्य बिंदु: दो दृष्टिकोण, एक ही राशि: ऊपर बल-चाल का गुणनफल, नीचे जूल-प्रति-सेकंड की उत्पादन रेखा। NTA के प्रश्नपत्रों में प्रत्येक पंप, इंजन और हीटर का आंकिक प्रश्न इन्हीं दो दृष्टिकोणों में से एक होता है, जिसमें केवल संख्याएँ बदली जाती हैं।
4. हल किए गए उदाहरण
उदाहरण 1 — जल पंप (प्रति मिनट इनपुट!)
एक पंप प्रति मिनट 60 kg जल को 10 m की ऊँचाई तक उठाता है। इसकी औसत शक्ति ज्ञात कीजिए (g = 10 m s⁻²)।
हल (चरण-दर-चरण): प्रति मिनट किया गया कार्य: W = mgh = 60 × 10 × 10 = 6000 J। यहाँ मिनट ही मुख्य जाल (trap) है: इसे प्रति सेकंड में बदलें — 60 kg/min का अर्थ है 1 kg/s। P = W/t = 6000/60 = 100 W (समतुल्य रूप से प्रत्येक सेकंड 10 m उठाया गया 1 kg: 1 × 10 × 10 = 100 J/s)। रेटिंग पंक्ति की जाँच करें: एक वास्तविक पंप को पाइप घर्षण और अक्षमताओं के लिए अतिरिक्त शक्ति की आवश्यकता होगी, परंतु NCERT आदर्श स्थिति की गणना पूछता है — 100 W।
उदाहरण 2 — क्रूज़ शक्ति और अश्वशक्ति रूपांतरण
एक ट्रक एक समतल सड़क पर 72 km h⁻¹ की स्थिर चाल से चल रहा है और उसका इंजन 2000 N का प्रेरक बल लगा रहा है। इंजन का शक्ति निर्गम (power output) kW तथा hp में ज्ञात कीजिए।
हल: स्थिर चाल ⇒ शून्य त्वरण ⇒ गणना के लिए केवल बल × चाल की आवश्यकता है। 72 km h⁻¹ = 20 m s⁻¹। P = F v = 2000 × 20 = 40,000 W = 40 kW। अश्वशक्ति: P = 40000/746 ≈ 53.6 hp। ये दोनों रूपांतरण — 72 km/h → 20 m/s तथा W → hp ÷ 746 — अध्याय हब के मानक रूपांतरण हैं; NTA इनसे सीधे प्रश्न पूछता है।
5. अभ्यास प्रश्न
Q1. 2 kWh को जूल में बदलिए। यदि एक परिवार प्रतिदिन 2 kWh की खपत करता है, तो यह प्रति सप्ताह कितने जूल होगा?
उत्तर: 1 kWh = 3.6 × 10⁶ J, अतः 2 kWh = 7.2 × 10⁶ J प्रति दिन; प्रति सप्ताह = 7 × 7.2 × 10⁶ = 5.04 × 10⁷ J। पूरा प्रश्न मात्रक रूपांतरण पर आधारित है — और यह इस तथ्य की भी पुष्टि करता है कि एक घर की दैनिक ऊर्जा कुछ मिलियन जूल होती है, न कि कुछ वाट।
Q2 (MCQ). निम्नलिखित में से कौन ऊर्जा का मात्रक है? (a) वाट (b) किलोवाट (c) किलोवाट-घंटा (d) अश्वशक्ति
उत्तर: (c) — किलोवाट-घंटा शक्ति × समय = ऊर्जा (3.6 × 10⁶ J) है। वाट, किलोवाट और अश्वशक्ति सभी शक्ति (दर) के मात्रक हैं; kWh में छिपा "घंटा" ही इसे ऊर्जा में परिवर्तित करता है — यह इस अध्याय का सबसे महत्वपूर्ण और सरल MCQ प्रश्न है।
Q3. 10 kW शक्ति की एक मोटर 500 N के कुल प्रतिरोधी बल के विरुद्ध नियत चाल से एक भार को खींचती है। अधिकतम स्थिर चाल ज्ञात कीजिए।
उत्तर: नियत चाल ⇒ इंजन बल = प्रतिरोधी बल: P = f v → vmax = P/f = 10000/500 = 20 m/s = 72 km/h। सूत्र की संरचना पर ध्यान दें: निश्चित प्रतिरोध के विरुद्ध सीमित शक्ति एक भाग संक्रिया है, और 50 m/s या 2 m/s देने वाले किसी भी विकल्प में f और P को आपस में बदल दिया गया है या kW को W में नहीं बदला गया है।
6. मुख्य सूत्र एवं महत्वपूर्ण बिंदु
| संबंध | शर्त / टिप्पणी |
|---|---|
| Pavg = W/t | एक अंतराल में औसत दर; मात्रक वाट |
| P = dW/dt | तात्क्षणिक दर; 1 W = 1 J s⁻¹ |
| P = F v cos θ | बल और वेग के बीच कोण θ; लंबवत बल की शक्ति शून्य होती है |
| vmax = P/f | प्रतिरोध f के विरुद्ध शक्ति P पर इंजन, सीमांत (नियत) चाल |
| Ppump = mgh/चक्र ÷ समय | उत्थापन प्रारूप; प्रति मिनट के मानों को प्रति सेकंड में बदलें |
| 1 hp = 746 W | नेमप्लेट रूपांतरण; SI तक पहुँचने के लिए ÷746 |
| 1 kWh = 3.6 × 10⁶ J | ऊर्जा का मात्रक (1 h के लिए 1 kW); बिजली के बिल की "यूनिट" |
शक्ति के प्रश्न वास्तव में मात्रक रूपांतरण के प्रश्न होते हैं: km/h से m/s, मिनट से सेकंड, hp से W, kWh से J। पहले मात्रकों को ठीक करें और भौतिकी — केवल एक गुणन या भाग — स्वतः हल हो जाती है।
7. अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
औसत शक्ति और तात्क्षणिक शक्ति को परिभाषित कीजिए।
औसत शक्ति कुल किए गए कार्य को लिए गए कुल समय से विभाजित करने पर प्राप्त होती है: P_avg = W/t — यह पूरे कार्य की एक समान दर निर्धारित करती है। तात्क्षणिक शक्ति किसी विशिष्ट क्षण पर कार्य करने की दर है: P = dW/dt, जो समयांतराल के शून्य की ओर अग्रसर होने पर ΔW/Δt की सीमा है। जब कार्य की दर बदलती है — जैसे किसी साइकिल चालक का तेज़ दौड़ना या कार का त्वरित होना — तो ये दोनों मान भिन्न होते हैं, और NTA के प्रश्नों में प्रायः एक मान देकर दूसरा पूछा जाता है। दोनों का मात्रक वाट है, 1 W = 1 J s⁻¹।
किसी बल की तात्क्षणिक शक्ति F v cosθ के बराबर क्यों होती है?
अत्यंत सूक्ष्म समय dt में कोई बल F कार्य dW = F·ds = F cosθ · ds करता है, जहाँ ds = v dt उस क्षण का विस्थापन है तथा θ बल और वेग के बीच का कोण है। dt से भाग देने पर P = dW/dt = F v cosθ प्राप्त होता है। यहाँ cosθ महत्वपूर्ण है: केवल गति की दिशा में कार्य करने वाला बल का घटक ही शक्ति प्रदान करता है, इसलिए अभिलंब बल (θ = 90°) किसी भी चाल पर शून्य शक्ति प्रदान करता है। यह एकल सूत्र क्रूज़ चाल पर इंजन बल से संबंधित प्रत्येक प्रश्न को एक ही गुणन में हल कर देता है।
क्या किलोवाट-घंटा शक्ति का मात्रक है या ऊर्जा का?
ऊर्जा का — और यह भेद NTA का सबसे पसंदीदा रूपांतरण जाल (trap) है। एक किलोवाट-घंटा वह ऊर्जा है जो 1 kW का उपकरण एक घंटे तक चलने पर व्यय करता है: 1 kWh = 1000 W × 3600 s = 3.6 × 10⁶ J। बिजली के बिलों में किलोवाट-घंटे (जिन्हें बोलचाल में 'यूनिट' कहा जाता है) बेचे जाते हैं, किलोवाट नहीं; बिल की टैरिफ लाइन पर किलोवाट शक्ति है, जबकि पिछले महीने उपभोग की गई 40 यूनिट ऊर्जा थी। तुलना करने से पहले हमेशा रूपांतरित करें: 2 kWh का दैनिक उपभोग 7.2 × 10⁶ J प्रति दिन होता है।
किसी इंजन चालित वाहन की अधिकतम चाल कैसे ज्ञात की जाती है?
अधिकतम चाल पर वाहन का त्वरण शून्य हो जाता है, इसलिए इंजन का प्रेरक बल कुल प्रतिरोध f (वायु घर्षण तथा घर्षण बल) को पूर्णतः संतुलित करता है। चाल v पर शक्ति P वाला इंजन F = P/v बल उत्पन्न करता है, और P/v = f रखने पर v_max = P/f प्राप्त होता है। उदाहरण: 2500 N प्रतिरोध के विरुद्ध 50 kW का इंजन अधिकतम 50000/2500 = 20 m/s = 72 km/h की चाल प्राप्त कर सकता है। भौतिकी का सिद्धांत: शक्ति सीमित होने पर, अधिक बल लगाने का अर्थ है कम चाल — बल और चाल अतिपरवलय P = F v के अनुदिश परस्पर बदलते हैं।
केवल इसी डिवाइस पर सेव — कोई अकाउंट या साइन-इन नहीं।