§ 5.5NCERT कक्षा 11 · भौतिकी · अध्याय 5

यांत्रिक ऊर्जा का संरक्षण (NCERT 5.8)

QCC Notes · कक्षा 11 भौतिकी NCERT आधारित अद्यतन 26 सितंबर 2026 11 मिनट पठन

1. मूल सिद्धांत और इसकी एकमात्र शर्त

गिरती हुई गेंद को देखें: ऊँचाई घटती है, चाल बढ़ती है। चिकने ट्रैक पर इसे ऊपर जाते देखें: चाल घटती है, ऊँचाई बढ़ती है। मान कभी विचलित नहीं होते — उनका योग नियत रहता है। नियम: यदि किसी निकाय पर केवल संरक्षी बल कार्य करते हैं, तो उसकी कुल यांत्रिक ऊर्जा E = K + U नियत (अचर) रहती है, अथवा किन्हीं दो अवस्थाओं के बीच,

K_i + U_i = K_f + U_f

तिरछे अक्षरों (italics) में लिखी गई शर्त ही संपूर्ण नियम है, और यहीं NTA अपने जाल (traps) बिछाता है: "केवल संरक्षी बल कार्य करते हैं" का अर्थ है कि दोनों स्थितियों के बीच कोई घर्षण नहीं, कोई वायु-कर्षण (drag) नहीं, कोई चालक मोटर नहीं है। जब यह शर्त पूरी होती है, तो यह अकेला समीकरण बल आरेखों (free-body diagrams) की लंबी श्रृंखलाओं का स्थान ले लेता है — यह स्कूली यांत्रिकी में सबसे अधिक उपयोगी समीकरण है, और परीक्षा में पूछे जाने वाले आंकिक प्रश्नों का पसंदीदा एकल-समीकरण जनक है।

2. संपूर्ण सिद्धांत: निगमन, घर्षण का लेखा-जोखा, और कार्यविधि

निगमन (तीन पंक्तियाँ — एक सुनिश्चित सैद्धांतिक प्रश्न)। कार्य-ऊर्जा प्रमेय से प्रारंभ करें: W_total = ΔK। कुल कार्य को बल के प्रकार के अनुसार विभाजित करें: W_cons + W_nc = ΔK। स्थितिज ऊर्जा की परिभाषा के अनुसार (पिछला पृष्ठ), W_cons = −ΔU। प्रतिस्थापित करने पर: −ΔU + W_nc = ΔK, इसलिए

ΔK + ΔU = W_nc

W_nc = 0 रखें — कोई असंरक्षी कार्य नहीं — तो ΔK + ΔU = 0: एक का लाभ दूसरे की ठीक हानि के बराबर है, K + U = नियतांक। सामान्य व्यंजक ΔK + ΔU = W_nc अपने आप में याद रखने योग्य है: यह एक ही पंक्ति में संरक्षण नियम और उसका संशोधन पद दोनों है।

घर्षण का लेखा-जोखा (Friction audit)। जब गतिज घर्षण s दूरी तक फिसलन कराता है, तो W_nc = −f s और बहीखाता इस प्रकार बंद होता है: E_f = E_i − f s। जो यांत्रिक ऊर्जा लुप्त हुई वह नष्ट नहीं हुई — वह ऊष्मा, ध्वनि और विरूपण के रूप में बाहर निकल गई (खुरदुरे तल पर फिसलने के बाद गुटके को छूकर महसूस करें)। खुरदुरे नत समतल पर NTA का मानक आंकिक प्रश्न ठीक यही लेखा-जोखा है: बाईं ओर mgh की गणना करें, दाईं ओर ½mv² की, और दोनों का अंतर f·s होता है।

कार्यविधि (Recipe — यह अध्याय इतनी शीघ्रता से क्यों हल होता है)। एक: U का शून्य स्तर (zero level) निर्धारित करें। दो: प्रारंभिक स्थिति में K + U लिखें। तीन: अंतिम स्थिति में K + U लिखें। चार: उन्हें बराबर रखें (संरक्षण) या W_nc द्वारा संशोधित करें (घर्षण लेखा-जोखा)। कोई त्वरण नहीं, कोई समय नहीं, कोई बल की दिशा नहीं — केवल प्रारंभिक व अंतिम बिंदु। जब कोई प्रश्न इसके स्थान पर बलों की माँग या आपूर्ति करता है, तो वह मुक्त-पिंड आरेख (FBD) विधियों पर वापस लौटने का संकेत है; ऊर्जा विधियाँ चाल, ऊँचाई और संपीडन ज्ञात करती हैं, संपर्क बल नहीं।

NTA जाल (1) शर्त हमेशा याद रखें: प्रश्न में घर्षण उपस्थित है ⇒ K + U नियत नहीं है; खुरदुरे तल वाले प्रश्न में "संरक्षण" वाला विकल्प ही जानबूझकर दिया गया गलत विकल्प होता है। (2) v = √(2gh) में कोई द्रव्यमान नहीं होता: समान घर्षणरहित ऊँचाई h से गिराए गए पंख और निहाई (भारी पिंड) दोनों समान चाल से धरातल पर पहुँचते हैं। (3) समान h, कोई भी पथ, समान चाल — लेकिन केवल तभी जब प्रत्येक संभावित पथ पर घर्षण अनुपस्थित हो। (4) शीर्ष पर गतिज ऊर्जा स्वतः 0 नहीं होती: "10 m/s से ऊपर फेंका गया" का अर्थ है कि बहीखाता शून्य से नहीं बल्कि ½mv² से शुरू होता है। (5) शून्य-स्तर का अनुशासन: ऊँचाइयाँ एक ही निर्धारित U = 0 रेखा से मापी जानी चाहिए; बीच में स्तर बदलने से प्रत्येक U पद का मान बदल जाता है।

3. दृश्य रूप में समझना: गिरती हुई गेंद का नियत बहीखाता

चित्र 5.5 — तीन स्थितियाँ, एक ही कुल मान

नीला = स्थितिज ऊर्जा U = mgh; हरा = गतिज ऊर्जा K = ½mv²। प्रत्येक बार की कुल ऊँचाई प्रत्येक ऊँचाई पर समान 50 J रहती है — केवल उनका विभाजन बदलता है।

U = 50 J · K = 0 h = 5 m · v = 0

U = 18 J · K = 32 J h = 1.8 m · v = 8 m/s

U = 0 · K = 50 J h = 0 · v = 10 m/s कुल = 50 J प्रत्येक ऊँचाई पर

परीक्षा विश्लेषण: गणना की जाँच करें: h = 1.8 m पर, U = 1 × 10 × 1.8 = 18 J और K = 50 − 18 = 32 J → v = √(2 × 32/1) = 8 m/s, जो मुक्त पतन के सूत्र v² = 2g(5 − 1.8) = 64 से पूर्णतः मेल खाता है। शुद्धगतिक मुक्त-पतन के परिणाम और ऊर्जा बहीखाता दो अलग-अलग भाषा-शैलियों में व्यक्त की गई एक ही भौतिकी हैं।

4. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1 — पतन के दौरान किसी दी गई ऊँचाई पर चाल

1 kg के एक पत्थर को 20 m की ऊँचाई से गिराया जाता है। ऊर्जा संरक्षण का उपयोग करके, 5 m की ऊँचाई पर इसकी चाल ज्ञात कीजिए (g = 10 m s⁻²)।

हल (चरण-दर-चरण): धरातल पर U = 0 चुनें। शीर्ष स्थिति: K = 0, U = 1 × 10 × 20 = 200 J → E = 200 J। h = 5 m पर: U = 50 J, अतः K = 200 − 50 = 150 J → ½ × 1 × v² = 150 → v² = 300 → v = √300 = 10√3 ≈ 17.3 m/s। शुद्धगतिकी द्वारा पुनः जाँच: पत्थर 15 m गिर चुका है, v² = 2 × 10 × 15 = 300 ✓। वही मान, तीन पंक्तियों के बजाय एक पंक्ति में।

उदाहरण 2 — खुरदुरे नत समतल पर घर्षण का लेखा-जोखा

2 kg का एक गुटका 5 m ऊँचाई वाले खुरदुरे नत समतल से विरामावस्था से नीचे फिसलता है और 8 m s⁻¹ की चाल से तलहटी पर पहुँचता है। कितनी यांत्रिक ऊर्जा ऊष्मा में परिवर्तित हुई, और घर्षण द्वारा किया गया कार्य कितना था?

हल: प्रारंभिक (संपूर्ण U): E_i = mgh = 2 × 10 × 5 = 100 J। अंतिम (संपूर्ण K): E_f = ½ × 2 × 8² = 64 J। लेखा-जोखा: E_i = E_f + ऊष्मा → ऊष्मा = 100 − 64 = 36 J, और W_friction = −36 J। संवेग-शैली में जाँच: यदि नत समतल घर्षणरहित होता, तो पहुँचने पर चाल √(2 × 10 × 5) = 10 m/s होती; खुरदुरे तल ने केवल 8 m/s प्रदान की — इस कमी की ऊर्जा 36 J की ऊष्मा है। केवल एक समीकरण, नत समतल के कोण की कोई आवश्यकता नहीं।

5. अभ्यास प्रश्न

प्रश्न 1. 1 m लंबी डोरी से बंधा 1 kg का एक लोलक गोलक डोरी के क्षैतिज होने की स्थिति से विरामावस्था से छोड़ा जाता है। निम्नतम बिंदु पर इसकी चाल ज्ञात कीजिए (g = 10 m s⁻²)।
उत्तर: पतन की ऊँचाई h = 1 m है; डोरी का तनाव त्रिज्यीय (गति के लंबवत ⊥) होता है और कोई कार्य नहीं करता है, इसलिए केवल गुरुत्वाकर्षण ही कार्य करता है: mgh = ½mv² → v² = 2 × 10 × 1 = 20 → v = √20 ≈ 4.5 m/s। द्रव्यमान और डोरी की लंबाई की भूमिका पर ध्यान दें: लंबाई h निर्धारित करती है, द्रव्यमान निरस्त हो जाता है — क्षैतिज से छोड़ा गया किसी भी द्रव्यमान का गोलक √(2gL) चाल से निम्नतम बिंदु पर पहुँचता है।

प्रश्न 2 (MCQ). एक गेंद को ऊर्ध्वाधरतः ऊपर की ओर फेंका जाता है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानते हुए, गति के प्रत्येक बिंदु पर कौन-सा कथन सत्य है? (a) K + U घटता है (b) K + U बढ़ता है (c) K + U नियत रहता है (d) K और U प्रत्येक अलग-अलग नियत रहते हैं
उत्तर: (c) — केवल गुरुत्वाकर्षण बल (संरक्षी बल) कार्य करता है, इसलिए K + U नियत रहता है: ऊपर जाते समय, प्रत्येक चढ़े गए मीटर पर mg की दर से K, U में परिवर्तित होती है, और नीचे आते समय यह प्रक्रिया उलट जाती है। यह NEET का एक मानक प्रश्न है; इसी प्रश्न में यदि वायु-कर्षण शामिल कर लिया जाए तो उत्तर (a) होगा, और इसी तरह NTA सतर्क और रटने वाले छात्रों में अंतर करता है।

प्रश्न 3. 0.5 kg की एक गेंद 8 m की ऊँचाई से विरामावस्था से गिरती है, जबकि वायु प्रतिरोध −6 J का ऋणात्मक कार्य करता है। संघट्ट से ठीक पहले इसकी गतिज ऊर्जा और चाल ज्ञात कीजिए (g = 10 m s⁻²)।
उत्तर: गुरुत्वाकर्षण द्वारा संचित ऊर्जा: mgh = 0.5 × 10 × 8 = 40 J; वायु प्रतिरोध का कार्य −6 J → K = 40 − 6 = 34 J → v = √(2 × 34/0.5) = √136 ≈ 11.7 m/s। घर्षणरहित मुक्त पतन के मान √160 ≈ 12.6 m/s से तुलना करें: लेखा-जोखा समीकरण E_f = E_i − 6 ऊर्जा क्षय को एक ही चरण में हल कर देता है।

6. मुख्य सूत्र एवं महत्त्वपूर्ण बिंदु

संबंध	शर्त / टिप्पणी
K_i + U_i = K_f + U_f	प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों के मध्य केवल संरक्षी बल कार्य करते हैं
ΔK + ΔU = W_nc	सामान्य समीकरण: ऊर्जा संरक्षण एवं इसका संशोधन पद
E_f = E_i − f s	घर्षण लेखा-जोखा; यांत्रिक ऊर्जा की कमी ऊष्मा, ध्वनि और विरूपण में बदलती है
v = √(2 g h)	विरामावस्था से h ऊँचाई से घर्षणरहित पतन; द्रव्यमान एवं पथ से स्वतंत्र
½mv²_top = mgh_swing	सरल लोलक/ट्रैक श्रृंखलाएँ: तनाव और अभिलंब बल कोई कार्य नहीं करते (त्रिज्यीय)
केवल प्रारंभिक व अंतिम बिंदु	U = 0 निर्धारित करें, दो अवस्थाएँ लिखें, बराबर करें — बल बीजगणित की आवश्यकता नहीं

ऊर्जा संरक्षण का नियम एक सशर्त नियम है, कोई सर्वव्यापी मान्यता नहीं: इसे लिखने से पहले हमेशा जाँचें कि "किसने कार्य किया?"। केवल गुरुत्वाकर्षण और स्प्रिंग बल हों → ऊर्जा संरक्षित करें। घर्षण उपस्थित हो → लेखा-जोखा करें। मोटर या बाह्य धक्का उपस्थित हो → उसके कार्य को स्पष्ट रूप से शामिल करें।

7. अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)

यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम का कथन कीजिए।

यदि किसी निकाय पर केवल संरक्षी बल कार्य करते हैं, तो उसकी कुल यांत्रिक ऊर्जा E = K + U नियत (अचर) रहती है: ऊर्जा गतिज और स्थितिज रूपों के बीच परस्पर रूपांतरित होती रहती है लेकिन कुल योग कभी नहीं बदलता। किन्हीं दो अवस्थाओं के बीच इसे K_i + U_i = K_f + U_f लिखा जाता है। यह शर्त ही संपूर्ण नियम का मूल है: जैसे ही गतिज घर्षण जैसा कोई असंरक्षी बल कार्य करता है, यांत्रिक ऊर्जा ऊष्मा के रूप में क्षय हो जाती है और संरक्षण कथन को E_f = E_i + W_nc के लेखा-जोखा द्वारा प्रतिस्थापित करना पड़ता है, जहाँ घर्षण के लिए W_nc ऋणात्मक होता है।

कार्य-ऊर्जा प्रमेय से यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का निगमन कीजिए।

कार्य-ऊर्जा प्रमेय W_total = ΔK से प्रारंभ करें। कुल कार्य को संरक्षी और असंरक्षी भागों में विभाजित करें: W_cons + W_nc = ΔK। स्थितिज ऊर्जा की परिभाषा के अनुसार, W_cons = −ΔU। मान रखने पर: −ΔU + W_nc = ΔK, या ΔK + ΔU = W_nc। यदि कोई असंरक्षी बल कार्य नहीं करता है (W_nc = 0), तो ΔK + ΔU = 0, अर्थात K + U = नियतांक। एक निगमन, परीक्षा के तीन मुख्य बिंदु: प्रमेय, ΔU = −W परिभाषा, और आवश्यक शर्त।

जब घर्षण कार्य करता है तो यांत्रिक ऊर्जा का क्या होता है?

घर्षण खाते को बंद करने के बजाय उसका लेखा-जोखा (ऑडिट) करता है: E_f − E_i = W_friction, जो ऋणात्मक होता है और फिसलन दूरी के −f गुने के बराबर होता है। लुप्त हुई यांत्रिक ऊर्जा नष्ट नहीं होती — यह ऊष्मा, ध्वनि और विरूपण के रूप में पुनः प्रकट होती है — संपूर्ण ब्रह्मांड के खाते में कुल ऊर्जा अभी भी संरक्षित रहती है, लेकिन यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती। परीक्षा प्रक्रिया: खुरदुरे तल पर फिसलन के लिए E_i = E_f + f·s लिखें, f·s ऊष्मा पद को स्पष्ट रूप से दर्शाएं, और जब कोई गुटका खुरदुरी सतह पर घिसट रहा हो तो कभी भी K + U को नियत न मानें।

v = √(2gh) पथ या द्रव्यमान पर निर्भर क्यों नहीं करता है?

विरामावस्था से ऊँचाई h से घर्षणरहित पतन के लिए, ऊर्जा संरक्षण से mgh = ½mv² प्राप्त होता है, और द्रव्यमान दोनों पक्षों से निरस्त हो जाता है: v = √(2gh) — जो कि एक द्रव्यमान-स्वतंत्र परिणाम है। पथ-स्वतंत्रता इसलिए होती है क्योंकि गुरुत्वाकर्षण एक संरक्षी बल है: एक सीधा पतन, किसी भी ढलान वाले नत समतल पर फिसलन या घुमावदार ढलान, सभी समान ऊँचाई h से नीचे आते हैं, समान mgh स्थितिज ऊर्जा मुक्त करते हैं, और इसलिए समान चाल प्रदान करते हैं। केवल लगने वाला समय भिन्न होता है। यही कारण है कि गिराए गए पत्थर और रोलर-कोस्टर के ढलान दोनों के लिए एक ही सूत्र लागू होता है।

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