कार्य-ऊर्जा प्रमेय एवं गतिज ऊर्जा (NCERT 5.1, 5.2, 5.4)
1. यह प्रमेय क्या कहता है
अध्याय 4 में आपने सीखा कि बल गति में परिवर्तन लाते हैं; यह अध्याय उस परिवर्तन का मूल्य निर्धारित करता है। एक पंक्ति में इसका कथन: किसी कण पर सभी बलों द्वारा किया गया कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है — Wnet = Kf − Ki। NCERT इसे क्रमबद्ध रूप से विकसित करता है (अनुभाग 5.1–5.2): पहले दैनिक बोलचाल के शब्द "कार्य" को एक यथार्थ भौतिक अर्थ दिया जाता है — विस्थापन के अनुदिश बल का अदिश प्रभाव — फिर गतिज ऊर्जा को उस खाते (बैलेंस) के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसे यह प्रभाव भरता या खाली करता है। इसका लाभ अत्यंत विशाल है: एक अकेला अदिश समीकरण जिसमें किसी दिशा, घटक या मुक्त-पिंड (free-body) ज्यामिति की आवश्यकता नहीं होती — केवल प्रारंभिक और अंतिम चाल की आवश्यकता होती है। मंदन-दूरी (braking-distance) का प्रत्येक प्रश्न, प्रत्येक "यह किस चाल से धरातल पर पहुँचेगा" संबंधी प्रश्न, और स्प्रिंग की आधी समस्याएँ इसी प्रमेय के विभिन्न रूप हैं।
प्रारंभ से ही एक सावधानी ध्यान में रखें: इस कथन में "कुल" (net) शब्द अत्यंत महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। यह प्रमेय सभी बलों — आरोपित धक्का/खिंचाव, गुरुत्वाकर्षण, घर्षण, अभिलंब बल — द्वारा किए गए कुल कार्य का उपयोग करता है; और जो विद्यार्थी इसमें केवल आरोपित बल का कार्य रखते हैं, उनके उत्तर आत्मविश्वास के साथ गलत हो जाते हैं। इस हिसाब-किताब (bookkeeping) के नियम इस पृष्ठ के अनुभाग 4 में दिए गए हैं।
2. संपूर्ण सिद्धांत: गतिज ऊर्जा और निगमन
गतिज ऊर्जा (NCERT 5.4)। चाल v से गतिमान द्रव्यमान m के पिंड की गतिज ऊर्जा K = ½ m v² होती है। इसका मात्रक जूल (1 J = 1 kg m² s⁻²) है, विमा M L² T⁻² है — जो ठीक कार्य की विमा के समान है, और यही इसका मुख्य बिंदु है — तथा K एक अदिश राशि है जो कभी भी ऋणात्मक नहीं होती। सूत्र में वेग नहीं, बल्कि चाल प्रयुक्त होती है: नियत 20 m/s की चाल से मोड़ पर मुड़ती कार की गतिज ऊर्जा नियत रहती है, यद्यपि प्रत्येक क्षण इसका वेग बदलता रहता है। पूरे अध्याय में दो संबंध विशेष उपयोगी हैं: K = p²/2m (चूँकि p = mv, अतः K = ½m(v²) = p²/2m), और इसके तुलनात्मक निष्कर्ष — समान संवेग के लिए हल्के पिंड की गतिज ऊर्जा अधिक होती है; समान चाल के लिए भारी पिंड की गतिज ऊर्जा अधिक होती है।
निगमन (इसे सीखें — यह एक सैद्धांतिक प्रश्न है)। गति की रेखा के अनुदिश एक नियत कुल बल F के लिए, न्यूटन का द्वितीय नियम a = F/m देता है। शुद्धगतिकीय सर्वसमिका v² − u² = 2as लीजिए और दोनों पक्षों को m/2 से गुणा कीजिए:
½ m v² − ½ m u² = m a s = (F) s = Wnet
बायाँ पक्ष Kf − Ki है; दायाँ पक्ष कुल कार्य (net work) है। अतः Wnet = ΔK। यह निगमन स्पष्ट रूप से अध्याय 2 के गति के समीकरणों का उपयोग करता है — यही कारण है कि कार्य-ऊर्जा प्रमेय और शुद्धगतिकी समीकरणों को प्रत्येक मंदन और प्रक्षेपण के संख्यात्मक प्रश्नों में एकमत होना चाहिए (और वे होते भी हैं), यह एक ऐसा सत्यापन है जिसे NTA कभी-कभी स्पष्ट रूप से करने को कहता है।
व्यापकता (सार्वत्रिकता)। यद्यपि इसे नियत बल के लिए निगमित किया गया है, फिर भी यह प्रमेय अपने निगमन के दायरे से कहीं अधिक व्यापक है: किसी परिवर्ती बल के लिए यह Kf − Ki = ∫F dx होता है, और असंरक्षी बलों के लिए यह केवल उनके कार्य को कुल योग में शामिल कर लेता है। इसकी एक अनिवार्य शर्त निर्देश तंत्र (frame) से जुड़ी है: कार्य और चाल दोनों का मापन एक ही जड़त्वीय निर्देश तंत्र में किया जाना चाहिए, क्योंकि गतिज ऊर्जा निर्देश तंत्र पर निर्भर करती है — स्टेशन के प्लेटफॉर्म पर विरामावस्था में रखे सूटकेस की गतिज ऊर्जा गुजरती हुई ट्रेन के निर्देश तंत्र में बहुत अधिक होती है।
3. ऊर्जा बहीखाते (लेजर) का चित्रण
चित्र 5.1 — एक बहीखाते के रूप में कार्य-ऊर्जा प्रमेय
बायाँ स्तंभ: प्रारंभिक गतिज ऊर्जा ½ × 2 × 4² = 16 J। लाल खंड: घर्षण का कार्य, ऋणात्मक। दायाँ स्तंभ: अंतिम गतिज ऊर्जा। स्तंभों की ऊँचाई इसका ऑडिट (सत्यापन) है।
परीक्षा अंतर्दृष्टि: यह प्रमेय एक ऑडिट (बहीखाता) है, कोई केवल नारा नहीं — प्रत्येक जूल का हिसाब रखा जाता है। इस अंकगणित पर ध्यान दें: ½ × 2 × 3² = 9 J, और फिसलने के दौरान घर्षण का कार्य 16 − 9 = 7 J है। जब NTA पूछता है कि "कितनी ऊर्जा ऊष्मा में परिवर्तित हुई?", तो वह ठीक इसी लाल खंड का मान पूछ रहा होता है।
4. हल किए गए उदाहरण
उदाहरण 1 — आरोपित कार्य से प्रक्षेपण चाल ज्ञात करना
घर्षण रहित फर्श पर विरामावस्था में रखे 4 kg के क्रेट (बक्से) पर 9 m तक 8 N का एक स्थिर क्षैतिज बल लगाया जाता है। कार्य-ऊर्जा प्रमेय द्वारा इसकी अंतिम चाल ज्ञात कीजिए।
हल (चरण-दर-चरण): केवल धक्का ही कार्य करता है (फर्श घर्षण रहित है; अभिलंब बल और भार विस्थापन के ⊥ हैं)। W = F s = 8 × 9 = 72 J। प्रमेय से: ΔK = 72 J, जहाँ Ki = 0 है, अतः ½ × 4 × v² = 72 → v² = 36 → v = 6 m/s। बलों द्वारा सत्यापन: a = 8/4 = 2 m s⁻²; v² = 2as = 2 × 2 × 9 = 36 ✓। दोनों विधियों से समान परिणाम मिलता है — जैसा कि अवश्य मिलना चाहिए, क्योंकि इसका निगमन ही गति का शुद्धगतिकीय समीकरण है।
उदाहरण 2 — घर्षण के कार्य से रुकने की दूरी ज्ञात करना
2 kg का एक गुटका खुरदुरे फर्श पर 4 m/s की चाल से फिसलता है। गतिज घर्षण बल 4 N है। रुकने से पहले यह कितनी दूर तक फिसलता है?
हल: गति के अनुदिश केवल घर्षण कार्य करता है: W = −f s = −4s। प्रमेय से: −4s = 0 − ½ × 2 × 4² = −16 → s = 4 m। शुद्धगतिकीय सत्यापन: a = −f/m = −2 m s⁻²; 0 = 16 + 2(−2)s → s = 4 m ✓। जो गतिज ऊर्जा लुप्त हुई (16 J), वह ऊष्मा में परिवर्तित हो गई — चित्र 5.1 जैसा ही बहीखाता। ध्यान दें कि इस विशिष्ट स्थिति में द्रव्यमान निरस्त हो जाता है: 4 m/s की चाल और 2 m s⁻² के मंदन वाला कोई भी गुटका 4 m में ही रुकेगा।
5. अभ्यास प्रश्न
प्र. 1. 72 km h⁻¹ की चाल से चल रही 500 kg की कार की गतिज ऊर्जा ज्ञात कीजिए। 36 km h⁻¹ पर भी इसकी गतिज ऊर्जा ज्ञात कीजिए तथा दोनों का अनुपात बताइए।
उत्तर: 72 km h⁻¹ = 20 m/s → K = ½ × 500 × 400 = 100,000 J = 100 kJ। 36 km h⁻¹ = 10 m/s पर → K = ½ × 500 × 100 = 25 kJ। चाल को आधा करने पर गतिज ऊर्जा एक-चौथाई रह जाती है: अनुपात 4 : 1 — जो ½mv² में v² की निर्भरता को दर्शाता है।
प्र. 2 (बहुविकल्पीय प्रश्न). यदि किसी पिंड की चाल तीन गुनी कर दी जाए, तो उसकी गतिज ऊर्जा हो जाती है: (a) 3× (b) 6× (c) 9× (d) 27×
उत्तर: (c) — नियत द्रव्यमान पर K ∝ v² होता है: 3² = 9 गुना। इसी समानुपातिकता के कारण मंदन-दूरी (braking distance, जिसे गतिज ऊर्जा को अवशोषित करना होता है) चाल के वर्ग के अनुसार बढ़ती है, जो राजमार्ग-सुरक्षा के प्रत्येक प्रश्न का मूल आधार है।
प्र. 3. 800 kg की एक कार की चाल 54 km h⁻¹ से बढ़कर 72 km h⁻¹ हो जाती है। इस पर किया गया कुल कार्य ज्ञात कीजिए।
उत्तर: 54 km h⁻¹ = 15 m/s, 72 km h⁻¹ = 20 m/s। Wnet = ΔK = ½ × 800 × (400 − 225) = 400 × 175 = 70,000 J = 70 kJ। इसमें किसी बल आरेख या इंजन के विवरण की आवश्यकता नहीं है — केवल प्रारंभिक और अंतिम मान पर्याप्त हैं; यही इस प्रमेय की संपूर्ण सुगमता है।
6. मुख्य सूत्र एवं महत्वपूर्ण बिंदु
| संबंध | शर्त / टिप्पणी |
|---|---|
| K = ½ m v² | चुने गए जड़त्वीय निर्देश तंत्र में चाल; K ≥ 0; मात्रक जूल |
| K = p²/2m | समान p → हल्के पिंड की K अधिक; समान K → भारी पिंड का p अधिक |
| Wnet = ΔK | सभी बल सम्मिलित हैं; कार्य और चाल के लिए समान जड़त्वीय निर्देश तंत्र |
| Wnet = 0 ⇒ v नियत | चाल नियत, दिशा बदल सकती है (एकसमान वृत्तीय गति) |
| Kf − Ki = ∫F dx | परिवर्ती बल का रूप (अगला पृष्ठ क्षेत्रफल नियम विकसित करता है) |
| [K] = M L² T⁻² | कार्य के समान विमाएँ — दोनों एक ही बहीखाते का हिस्सा हैं |
यह प्रमेय बल संबंधी समस्याओं को ऊर्जा संबंधी समस्याओं में परिवर्तित कर देता है, परंतु यह यांत्रिक ऊर्जा का संरक्षण नहीं करता — उसके लिए आगे स्थितिज ऊर्जा के पृष्ठों की आवश्यकता है। गतिज ऊर्जा केवल वह खाता है जिसे कुल कार्य भरता या खाली करता है।
7. अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)
कार्य-ऊर्जा प्रमेय का कथन दीजिए।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार, किसी कण पर कार्यरत सभी बलों द्वारा किया गया कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: W_net = K_f − K_i = ΔK। यहाँ 'कुल' (Net) का अर्थ प्रत्येक बल — आरोपित बल, गुरुत्वाकर्षण, घर्षण, अभिलंब बल — द्वारा किए गए कार्यों का बीजगणितीय योग है। यह एक अदिश समीकरण है, इसमें बलों की दिशाओं के घटक लेने की आवश्यकता नहीं होती, यह नियत और परिवर्ती दोनों प्रकार के बलों के लिए समान रूप से लागू होता है, और किसी भी जड़त्वीय निर्देश तंत्र में मान्य है बशर्ते कार्य और चाल दोनों के मापन के लिए एक ही निर्देश तंत्र का उपयोग किया जाए।
नियत बल के लिए कार्य-ऊर्जा प्रमेय का निगमन कीजिए।
विस्थापन की दिशा में कार्यरत एक नियत कुल बल F के लिए, न्यूटन के द्वितीय नियम से a = F/m प्राप्त होता है। शुद्धगतिकीय सर्वसमिका v² − u² = 2as के दोनों पक्षों को m/2 से गुणा करने पर ½mv² − ½mu² = mas प्राप्त होता है। परंतु mas = (ma)s = F s, जो कि नियत कुल बल द्वारा किया गया कार्य है। अतः W = ½mv² − ½mu² = K_f − K_i, जो कि अभीष्ट प्रमेय है। यह निगमन सीधे अध्याय 2 के गति के समीकरणों का उपयोग करता है — यही कारण है कि कार्य-ऊर्जा प्रमेय और शुद्धगतिकी मंदन-दूरी (braking-distance) और प्रक्षेपण-चाल की समस्याओं में एक-दूसरे की पुष्टि करते हैं।
क्या घर्षण की उपस्थिति में अथवा बल परिवर्ती होने पर भी कार्य-ऊर्जा प्रमेय लागू होता है?
हाँ, दोनों ही स्थितियों में — यह प्रमेय पूर्णतः सार्वत्रिक है। घर्षण की उपस्थिति में, बस घर्षण द्वारा किए गए (सामान्यतः ऋणात्मक) कार्य को कुल कार्य में सम्मिलित करें: W_applied + W_gravity + W_friction = ΔK। परिवर्ती बल के लिए, यही कथन K_f − K_i = ∫F dx बन जाता है, जो बल-विस्थापन वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है; NCERT में इसे अनुभाग 5.6 में समझाया गया है। यह प्रमेय यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का दावा कभी नहीं करता — यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण एक भिन्न अवधारणा है जो घर्षण द्वारा निकाय से ऊर्जा क्षय होने पर लागू नहीं होती।
गतिज ऊर्जा का संवेग से क्या संबंध है?
चूँकि p = mv होता है, अतः गतिज ऊर्जा को K = ½mv² = p²/2m के रूप में लिखा जा सकता है। परीक्षा के लिए इसके महत्वपूर्ण निष्कर्ष: समान संवेग पर, हल्के पिंड की गतिज ऊर्जा अधिक होती है (K ∝ 1/m); समान गतिज ऊर्जा पर, भारी पिंड का संवेग अधिक होता है (p = √(2mK)); तथा गतिज ऊर्जा में 9 गुना वृद्धि चाल में 3 गुना वृद्धि के संगत होती है। यह अकेला संबंध बिना किसी जटिल गणना के NTA के तुलनात्मक बहुविकल्पीय प्रश्नों (MCQs) को हल कर देता है।
केवल इसी डिवाइस पर सेव — कोई अकाउंट या साइन-इन नहीं।