परिवर्ती बल द्वारा किया गया कार्य (NCERT 5.5, 5.6)
1. नियत-बल का सूत्र पर्याप्त क्यों नहीं है?
W = F s cosθ स्पष्ट रूप से यह मानकर चलता है कि वस्तु की गति के दौरान बल नियत (अपरिवर्तित) रहता है। वास्तविक बल विरले ही नियत रहते हैं: किसी स्प्रिंग को जितना अधिक संपीडित किया जाए, वह उतना ही अधिक बल लगाती है; एक धनुष की डोरी खींचने पर उत्तरोत्तर कड़ी होती जाती है; ऊपर उठता गुब्बारा परिवर्ती श्यान कर्षण (drag) का अनुभव करता है। किसी धनुष को 30 cm तक खींचने में बल 0 से बढ़कर 90 N हो जाता है — इसमें कितना कार्य हुआ? किसी एक एकल F से गुणा करना गलत है; प्रामाणिक उत्तर के लिए बल के प्रभाव को क्षण-प्रति-क्षण "जोड़ना" होगा। यही जोड़ना NCERT 5.5 है, और इसका ज्यामितीय निरूपण — कार्य = F–x ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल — कक्षा 11 की पूरी भौतिकी में सबसे अधिक अंक दिलाने वाले कौशलों में से एक है। NTA इस पर लगभग विशेष रूप से ग्राफ के माध्यम से प्रश्न पूछता है, जो कि विद्यार्थियों के लिए एक अच्छी बात है: इसमें कलन (calculus) की कोई आवश्यकता नहीं होती, केवल आयतों और त्रिभुजों के क्षेत्रफल का उपयोग होता है।
2. संपूर्ण सिद्धांत: पट्टियाँ (Strips), समाकल और परिवर्ती बलों के लिए प्रमेय
पट्टी तर्क (इसे अच्छी तरह समझें — यही वह निगमन है जिसे NTA शब्दों में पूछता है): xi से xf तक के विस्थापन को कई छोटे अंतरालों Δx में विभाजित करें। किसी एक अंतराल के दौरान बल लगभग नियत रहता है, इसलिए वहाँ किया गया कार्य ΔW ≈ F(x) Δx होता है — जो वक्र के नीचे एक पतले आयत का क्षेत्रफल है। इनका योग करने पर: W ≈ Σ Fi Δxi। जैसे-जैसे पट्टियाँ अधिक पतली होती जाती हैं, आयतों की यह सीढ़ीदार आकृति वक्र के नीचे के वास्तविक क्षेत्र में विलीन हो जाती है, और यह योग समाकल बन जाता है:
W = ∫xixf F dx = F–x वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल
ग्राफ पढ़ने के दो नियम परीक्षा के अधिकांश प्रश्नों को हल कर देते हैं। पहला, ज्ञात क्षेत्रफलों वाली ज्यामितीय आकृतियाँ NTA के अधिकांश ग्राफों को कवर करती हैं: आयत (F·d), त्रिभुज (½·आधार·ऊँचाई), समलंब (trapezoid: ½(F₁ + F₂)·d)। दूसरा, क्षेत्रफल चिन्हित (signed) होता है: यदि कोई बल विपरीत दिशा में लगकर गति का विरोध करता है, तो वक्र अक्ष के नीचे चला जाता है, और वह क्षेत्रफल घटता है — जब तक बल गति में सहायक होता है चाल बढ़ती है और जब वह विरोध करता है तो चाल घटती है।
प्रमेय का परिवर्ती-बल रूप (NCERT 5.6): एक एकल पट्टी पर कार्य-ऊर्जा प्रमेय लागू करें: dK = F dx। दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
Kf − Ki = ∫ F dx
— अर्थात गतिज ऊर्जा में परिवर्तन कुल चिन्हित क्षेत्रफल के बराबर होता है। यह ग्राफ-आधारित प्रश्नों का व्यावहारिक मुख्य सूत्र है: क्षेत्रफल पढ़ें, इसे ΔK के बराबर रखें, और चाल के लिए हल करें। ध्यान दें कि क्या लुप्त हो गया: न कोई त्वरण, न समय, न ही बलों का जटिल बीजगणित — केवल प्रारंभिक और अंतिम बिंदु!
प्रामाणिक परिवर्ती बल: स्प्रिंग बल। बलों की सूची से हुक का नियम, F = kx, संपीडन x के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है — अतः इसका ग्राफ एक त्रिभुज होता है और इसका कार्य ½·(kx)·x = ½kx² होता है। यह अकेला त्रिभुज ही स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा का पूरा निगमन है, जो आगे स्प्रिंग वाले पृष्ठ पर दिया गया है। पट्टी विधि (strip method) ही वह विधि है जिसका सामान्यीकरण किया जा सकता है, न कि कोई रटा-रटाया सूत्र।
3. आलेखीय चित्रण: F–x ग्राफ को समझना
चित्र 5.3 — क्षेत्रफल = कार्य: आयत धन त्रिभुज
नीला क्षेत्र: 0 से 2 m तक नियत 12 N → क्षेत्रफल 12 × 2 = 24 J। हरा क्षेत्र: अगले 2 m में 12 N से 0 तक रैखिक ह्रास → क्षेत्रफल ½ × 12 × 2 = 12 J। कुल छायांकित क्षेत्रफल = 36 J कार्य।
परीक्षा विश्लेषण: आयत के भीतर की बिंदुकित (dashed) पट्टी ही पूरा निगमन है — एक F Δx का सूक्ष्म खंड। विरामावस्था से चलने वाले 2 kg के गुटके के लिए, ΔK = 36 J से v = √(2 × 36/2) = 6 m/s ठीक-ठीक प्राप्त होता है; न कोई बल जोड़ा गया, न त्वरण निकाला गया। NTA के F–x प्रश्न इसी चित्र पर केवल संख्याएँ बदलकर पूछे जाते हैं।
4. हल किए गए उदाहरण
उदाहरण 1 — रैखिक रूप से बढ़ता हुआ बल
एक बल शून्य से प्रारंभ होकर रैखिक रूप से बढ़कर 100 N हो जाता है, जबकि इसका अनुप्रयोग बिंदु 0.4 m विस्थापित होता है। किया गया कार्य ज्ञात कीजिए।
हल (चरण-दर-चरण): रैखिक वृद्धि → F–x ग्राफ आधार 0.4 m और ऊँचाई 100 N वाला एक त्रिभुज है। W = ½ × आधार × ऊँचाई = ½ × 0.4 × 100 = 20 J। पट्टी विधि से पुनर्परीक्षण: विस्थापन के दौरान औसत बल (0 + 100)/2 = 50 N है, और 50 × 0.4 = 20 J ✓। यह वास्तव में स्प्रिंग की ही गणना का दूसरा रूप है — "0.4 m पर 100 N" के स्थान पर "k = 250 N/m को 0.4 m संपीडित किया गया" प्रतिस्थापित करें, तो वही 20 J मान ½kx² के रूप में पुनः प्राप्त होगा।
उदाहरण 2 — ग्राफ से चाल ज्ञात करना, केवल प्रारंभिक व अंतिम बिंदु
एक घर्षणहीन क्षैतिज फर्श पर विरामावस्था में रखे 2 kg के गुटके पर चित्र 5.3 के अनुसार बल लगाया जाता है: 2 m तक नियत 12 N, फिर अगले 2 m में रैखिक रूप से घटकर शून्य। 4 m विस्थापन के पश्चात इसकी चाल ज्ञात कीजिए।
हल: कुल कार्य = कुल क्षेत्रफल = 24 + 12 = 36 J। कार्य-ऊर्जा प्रमेय से: Ki = 0 होने पर ΔK = 36 J → ½ × 2 × v² = 36 → v² = 36 → v = 6 m/s। भौतिक तर्क: बल ने कभी भी गति का विरोध नहीं किया, इसलिए पूरे पथ में चाल बढ़ती रही और ठीक वहाँ अधिकतम हुई जहाँ बल शून्य हुआ। यदि कोई तीसरा खंड बल को अक्ष के नीचे ले जाता, तो ΔK चरण से पहले उस क्षेत्रफल को घटाया जाता — इस बात का विशेष ध्यान रखें।
5. अभ्यास प्रश्न
प्र. 1. एक क्रेट (बक्से) को नियत 15 N बल द्वारा 6 m तक खींचा जाता है; इसके पश्चात बल अगले 2 m में रैखिक रूप से घटकर शून्य हो जाता है। कुल किया गया कार्य ज्ञात कीजिए।
उत्तर: आयत: 15 × 6 = 90 J। त्रिभुज: ½ × 15 × 2 = 15 J। कुल = 105 J। दो आकृतियाँ, दो क्षेत्रफल, एक योग — और यदि पूरे 8 m के दौरान 5 N का घर्षण बल कार्यरत रहा होता, तो गतिज ऊर्जा खाते में पहुँचने वाले नेट 65 J को प्राप्त करने के लिए f·s = 40 J को घटाना पड़ता।
प्र. 2 (MCQ). एक बल–विस्थापन ग्राफ 3 m के अंतराल में नियत परिमाण 8 N के साथ पूरी तरह से स्थिति अक्ष के नीचे स्थित है। इस बल द्वारा किया गया कार्य है: (a) +24 J (b) −24 J (c) 0 (d) +8 J
उत्तर: (b) — अक्ष के नीचे का क्षेत्रफल ऋणात्मक कार्य होता है: W = −8 × 3 = −24 J। जब यह बल कार्य करता है तो वस्तु 24 J की गतिज ऊर्जा खो देती है; ग्राफ का "अक्ष के नीचे" जाना ही ऋण चिन्ह को प्रदर्शित करने का तरीका है।
प्र. 3. एक स्प्रिंग-युक्त खिलौने को संपीडित किया जाता है: 0.5 m के संपीडन के दौरान प्रतिरोधी बल 0 से रैखिक रूप से बढ़कर 20 N हो जाता है। संचित कार्य ज्ञात कीजिए।
उत्तर: त्रिभुज: W = ½ × 0.5 × 20 = 5 J — समतुल्य रूप से, 0.5 m पर औसत बल (0 + 20)/2 = 10 N। यह 5 J ठीक स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा ½kx² के बराबर है, जहाँ k = F/x = 40 N/m तथा x = 0.5 m: ½ × 40 × 0.25 = 5 J ✓। ग्राफ विधि और स्प्रिंग सूत्र एक ही भौतिकी के दो अलग-अलग रूप हैं।
6. प्रमुख सूत्र एवं मुख्य निष्कर्ष
| संबंध / सूत्र | शर्त / टिप्पणी |
|---|---|
| W = ∫ F dx | x के अनुदिश परिवर्ती बल; F–x वक्र के अंतर्गत चिन्हित क्षेत्रफल के बराबर |
| W ≈ Σ Fi Δxi | पट्टी सन्निकटन (Strip approximation); पतली पट्टियाँ → यथार्थ मान |
| आयत / त्रिभुज / समलंब | F·d / ½·आधार·ऊँचाई / ½(F₁ + F₂)·d — NTA के मुख्य ज्यामितीय आकार |
| अक्ष के नीचे का क्षेत्रफल घटता है | गति का विरोध करने वाला बल ऋणात्मक कार्य करता है |
| Kf − Ki = ∫F dx | NCERT 5.6: परिवर्ती बल के लिए कार्य-ऊर्जा प्रमेय |
| Wspring (संपीडन) = ½kx² | रैखिक F = kx → त्रिभुजाकार ग्राफ; स्प्रिंग स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित |
वही क्षेत्रफल तर्क, तीन ग्राफ: F–x कार्य देता है, F–t आवेग देता है, v–t विस्थापन देता है। किसी भी क्षेत्रफल को पढ़ने से पहले अपने अक्षों की पहचान अवश्य करें — क्षेत्रफल का मात्रक ही उसका भौतिक अर्थ तय करता है।
7. अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)
जब बल नियत न हो (परिवर्ती हो) तो कार्य की गणना कैसे की जाती है?
विस्थापन को कई छोटे अंतरालों Δx में विभाजित करें। प्रत्येक अंतराल पर बल लगभग नियत रहता है, इसलिए सूक्ष्म कार्य ΔW ≈ F Δx होता है। इन पट्टियों को जोड़ने पर W ≈ Σ F Δx प्राप्त होता है, और पट्टियों की चौड़ाई अत्यंत सूक्ष्म करने पर यह योग समाकल W = ∫F dx बन जाता है। आलेखीय रूप से यह F–x वक्र और स्थिति अक्ष के बीच का क्षेत्रफल है। यदि पथ के अनुदिश बल का परिमाण बदलता है, तो समाकल में विस्थापन के अनुदिश घटक का उपयोग करें।
F–x वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल किए गए कार्य के बराबर क्यों होता है?
क्योंकि ग्राफ की प्रत्येक पट्टी ऊँचाई F (स्थानीय बल) और चौड़ाई Δx (सूक्ष्म विस्थापन) का एक पतला आयत होती है, इसलिए इसका क्षेत्रफल F Δx ठीक उस पट्टी पर किए गए कार्य के बराबर होता है। आयतों का योग पूरे वक्र को ढक लेता है, और चौड़ाई के शून्य की ओर अग्रसर होने की सीमा में आयतों का संग्रह वक्र और अक्ष के बीच के क्षेत्र को भर देता है। यही आलेखीय क्षेत्रफल का तर्क v–t ग्राफ से विस्थापन और F–t ग्राफ से आवेग देता है — NTA इन तीनों का बार-बार उपयोग करता है। अक्ष के नीचे के क्षेत्रफल ऋणात्मक चिन्ह के साथ लिए जाते हैं।
परिवर्ती बल के लिए कार्य-ऊर्जा प्रमेय का स्वरूप क्या होता है?
अवकल रूप में यह प्रमेय dK = F dx लिखा जाता है: एक सूक्ष्म विस्थापन बल गुणा सूक्ष्म कार्य के बराबर गतिज ऊर्जा में परिवर्तन करता है। दोनों पक्षों का समाकलन करने पर K_f − K_i = ∫F dx प्राप्त होता है — यानी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन F–x वक्र के अंतर्गत चिन्हित क्षेत्रफल के बराबर होता है। यह NCERT खंड 5.6 है, और यह स्प्रिंग प्रक्षेपण और ग्राफ-आधारित आंकिक प्रश्नों के लिए सबसे व्यावहारिक मार्ग है: क्षेत्रफल ज्ञात करें, इसे ΔK के बराबर रखें, और चाल के लिए हल करें। इसमें त्वरण की गणना करने की कोई आवश्यकता नहीं होती।
यदि F–x ग्राफ स्थिति अक्ष के नीचे जाता है, तो उसकी गणना कैसे करें?
ग्राफ के क्षेत्रफल को चिन्हित (signed) मानें: अक्ष के ऊपर का क्षेत्रफल धनात्मक कार्य है, अक्ष के नीचे का क्षेत्रफल ऋणात्मक कार्य है, और कुल कार्य उनका बीजगणितीय योग होता है। एक बल जो पहले 2 m तक आगे की ओर धकेलता है और फिर अगले 2 m तक गति का विरोध करता है, वह पहले क्षेत्रफल के धनात्मक और दूसरे क्षेत्रफल के ऋणात्मक मान का योग करता है। गतिज ऊर्जा के संदर्भ में, वस्तु तब तक त्वरित होती है (चाल बढ़ती है) जब तक क्षेत्रफल धनात्मक रहता है और जब क्षेत्रफल ऋणात्मक होता है तो चाल घटती है — इसलिए गति में प्रत्यावर्तन बिंदु ठीक वहाँ आते हैं जहाँ कुल चिन्हित क्षेत्रफल बढ़ना बंद हो जाता है, और पूर्ण विराम का अर्थ है कि प्रारंभ से कुल क्षेत्रफल प्रारंभिक गतिज ऊर्जा के ऋणात्मक मान के बराबर हो गया है।
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