संघट्ट — तीन श्रेणियाँ (NCERT 5.11)
1. संघट्ट (Collision) किसे कहते हैं?
संघट्ट कोई भी अल्पकालिक, तीव्र अन्योन्यक्रिया है — जैसे बिलियर्ड्स की गेंदें, हथौड़ा और कील, या न्यूट्रॉन को अवशोषित करता कोई नाभिक — जहाँ संपर्क बल कुछ मिलीसेकंड के लिए अत्यधिक बढ़ जाते हैं और फिर समाप्त हो जाते हैं। दो निष्कर्ष पूरे अध्याय को परिभाषित करते हैं। पहला, क्योंकि अन्योन्यक्रिया अत्यंत अल्पकालिक होती है, अतः इस दौरान कोई भी बाह्य आवेग (जैसे गुरुत्वाकर्षण या घर्षण का) नगण्य होता है, इसलिए संघट्ट के दौरान टकराने वाले युग्म का कुल संवेग सदैव संरक्षित रहता है — अध्याय 4 का संवेग संतुलन पूर्णतः लागू होता है। दूसरा, क्योंकि पिंड विरूपित होते हैं और गर्म हो जाते हैं, अतः युग्म की गतिज ऊर्जा परिवर्तनशील होती है: यह केवल आदर्श दृढ़ संघट्टों में ही पूर्णतः संरक्षित रहती है। इसलिए संघट्टों का वर्गीकरण इस आधार पर किया जाता है कि K के साथ क्या होता है, और यही वर्गीकरण इस पृष्ठ का संपूर्ण पाठ्यक्रम है।
2. संपूर्ण सिद्धांत: तीन श्रेणियाँ और उनके सूत्र
प्रथम श्रेणी — प्रत्यास्थ (Elastic) (आदर्श दृढ़ गेंदें, परमाणु): इसमें संवेग तथा गतिज ऊर्जा दोनों संरक्षित रहते हैं। दो समीकरण, दो अज्ञात, और इन्हें एक साथ हल करने पर (संवेग p से: m₁u₁ + m₂u₂ = m₁v₁ + m₂v₂; गतिज ऊर्जा K से: ½m₁u₁² + ½m₂u₂² = ½m₁v₁² + ½m₂v₂²) एकविमीय गति के मुख्य सूत्र प्राप्त होते हैं:
v₁′ = [(m₁ − m₂)u₁ + 2m₂u₂] / (m₁ + m₂) · v₂′ = [(m₂ − m₁)u₂ + 2m₁u₁] / (m₁ + m₂)
इन सूत्रों के निगमन को अच्छी तरह समझ लें, क्योंकि इनकी विशेष स्थितियाँ ही परीक्षा में पूछी जाती हैं। समान द्रव्यमान (m₁ = m₂): सूत्र सरल होकर v₁′ = u₂ और v₂′ = u₁ बन जाते हैं — पिंड आपस में वेगों का विनिमय (exchange) कर लेते हैं, चाहे संघट्ट सम्मुख हो या नहीं। विरामावस्था में स्थित हल्के पिंड से भारी पिंड की टक्कर (m₁ ≫ m₂, u₂ = 0): भारी पिंड की गति पर लगभग कोई प्रभाव नहीं पड़ता (v₁′ ≈ u₁), जबकि हल्का पिंड ≈ 2u₁ के वेग से आगे बढ़ता है — जैसे बॉलिंग पिन का प्रक्षेपण। विरामावस्था में स्थित भारी पिंड से हल्के पिंड की टक्कर (m₁ ≪ m₂): हल्का पिंड लगभग ≈ −u₁ से वापस प्रतिक्षिप्त (rebound) होता है, जबकि भारी पिंड अपनी जगह पर स्थिर रहता है — जैसे दीवार से टकराती गेंद।
द्वितीय श्रेणी — अप्रत्यास्थ (Inelastic): संवेग संरक्षित रहता है, K का आंशिक ह्रास होता है (पिचके हुए बंपर, धमक की आवाज)। कक्षा 11 में इसका अध्ययन गुणात्मक रूप से या नीचे दिए गए प्रत्यावस्थान गुणांक के माध्यम से किया जाता है।
तृतीय श्रेणी — पूर्णतः अप्रत्यास्थ (Perfectly Inelastic): पिंड आपस में चिपक जाते हैं और एक उभयनिष्ठ वेग से गति करते हैं। केवल संवेग संरक्षण से ही इसका निर्धारण हो जाता है:
v = (m₁u₁ + m₂u₂)/(m₁ + m₂), K lost = ½ μ vrel², μ = m₁m₂/(m₁ + m₂)
ऊर्जा हानि का सूत्र दर्शाता है कि आपेक्षिक (relative) गति की गतिज ऊर्जा नष्ट हो जाती है; द्रव्यमान केंद्र की गति पूरी तरह अपरिवर्तित रहती है। पिंडों का चिपकना संवेग संरक्षण के संगत अधिकतम K को नष्ट करता है — यह कथन प्राक्कथन–कारण (Assertion–Reason) प्रश्नों में बार-बार पूछा जाता है।
प्रत्यावस्थान गुणांक (Coefficient of Restitution) द्वितीय श्रेणी को चरम सीमाओं के बीच वर्गीकृत करता है: e = (पृथक्करण की चाल) / (उपगमन की चाल)। e = 1: प्रत्यास्थ (आपेक्षिक चाल पूर्णतः पुनर्प्राप्त)। e = 0: पूर्णतः अप्रत्यास्थ (चिपक जाना)। स्थिर फर्श (अनंत द्रव्यमान) पर गिराई गई गेंद के लिए यह सरल होकर प्रतिक्षेप चाल = e × संघट्ट चाल हो जाता है, और प्रतिक्षेप ऊँचाई e² × प्रारंभिक ऊँचाई प्राप्त होती है — 0.5 प्रत्यावस्थान गुणांक वाली गेंद को दो बार गिराने पर ऊँचाई का तीन-चौथाई भाग समाप्त हो जाता है।
द्विविमीय (तिर्यक / Glancing) संघट्ट: संवेग को स्वतंत्र x और y समीकरणों के रूप में संरक्षित करें। NTA द्वारा पूछा जाने वाला मुख्य परिणाम: जब समान द्रव्यमान के दो पिंड प्रत्यास्थ रूप से टकराते हैं और एक प्रारंभ में विरामावस्था में हो, तो संघट्ट के पश्चात उनके वेग समकोण (90°) पर निकलते हैं — बिलियर्ड्स का 90° नियम, जिसे px + py संतुलन और K संरक्षण से सिद्ध किया जा सकता है।
3. दृश्य रूप में समझना: प्रत्यास्थ वेग विनिमय
चित्र 5.8 — समान द्रव्यमान, प्रत्यास्थ संघट्ट: पूर्ण वेग विनिमय
ऊपर: पहले — 2 kg ट्रॉली 6 m/s से स्थिर 2 kg ट्रॉली की ओर बढ़ती है। नीचे: बाद में — वेग परस्पर बदल गए। दोनों स्थितियों की जाँच करें: दोनों बार p = 12 kg m/s, K = 36 J।
परीक्षा निष्कर्ष: समान द्रव्यमान के लिए प्रत्यास्थ सूत्र सीधे "अपना वेग अपने साथी को दे दो" में बदल जाते हैं — संघट्ट का सबसे तेज़ उत्तर। जब द्रव्यमान असमान हों, तो याददाश्त पर निर्भर रहने के बजाय दोनों संरक्षण समीकरणों से पुनः हल करें; NTA के बदले हुए द्रव्यमान वाले विकल्प बिना समझे रटने की आदत को पकड़ते हैं।
4. हल किए गए उदाहरण
उदाहरण 1 — असमान द्रव्यमान, प्रत्यास्थ संघट्ट: सूत्रों का अनुप्रयोग
4 m s⁻¹ के वेग से गतिमान 1 kg का एक पिंड विरामावस्था में स्थित 2 kg के पिंड से सम्मुख प्रत्यास्थ संघट्ट करता है। संघट्ट के पश्चात दोनों के वेग ज्ञात कीजिए।
हल (चरणबद्ध): v₁′ = [(1 − 2)(4) + 2 × 2 × 0]/3 = −4/3 ≈ −1.33 m/s (1 kg का पिंड विपरीत दिशा में प्रतिक्षिप्त होता है)। v₂′ = [(2 − 1)(0) + 2 × 1 × 4]/3 = 8/3 ≈ +2.67 m/s। दोनों संरक्षण नियमों की जाँच: p = 1(−4/3) + 2(8/3) = 12/3 = 4 kg m/s = संघट्ट से पूर्व ✓; K = ½(1)(16/9) + ½(2)(64/9) = 8/9 + 64/9 = 8 J = ½(1)(16) ✓। दोनों पक्ष संतुलित हैं — संघट्ट वास्तव में प्रत्यास्थ था।
उदाहरण 2 — पूर्णतः अप्रत्यास्थ: उभयनिष्ठ वेग और ऊर्जा हानि
5 m s⁻¹ के वेग से गतिमान 4 kg का एक पिंड विरामावस्था में स्थित 6 kg के पिंड से टकराकर उससे चिपक जाता है। उभयनिष्ठ वेग और गतिज ऊर्जा की हानि ज्ञात कीजिए।
हल: संवेग संरक्षण: 4 × 5 + 0 = (4 + 6)v → v = 2 m/s (मूल गति की दिशा में)। गतिज ऊर्जा संतुलन: संघट्ट से पूर्व = ½ × 4 × 25 = 50 J; संघट्ट के बाद = ½ × 10 × 4 = 20 J; ऊर्जा हानि = 30 J। समानीत द्रव्यमान (reduced mass) से जाँच: μ = 4 × 6/10 = 2.4 kg, vrel = 5 → ΔK = ½ × 2.4 × 25 = 30 J ✓। यह 30 J स्थायी विरूपण और ऊष्मा में परिवर्तित हो गई — संवेग पूर्ववत अपरिवर्तित रहा।
5. अभ्यास प्रश्न
प्र. 1. 1 kg द्रव्यमान की दो एकसमान पक (pucks) बर्फ पर सम्मुख प्रत्यास्थ संघट्ट करती हैं: पक A 4 m s⁻¹ के वेग से गति करते हुए विपरीत दिशा से 2 m s⁻¹ के वेग से अपनी ओर आ रही पक B से टकराती है। संघट्ट के पश्चात दोनों के वेग ज्ञात कीजिए।
उत्तर: समान द्रव्यमान + प्रत्यास्थ संघट्ट ⇒ वेगों का विनिमय: पक A, पक B के प्रारंभिक वेग से गति करेगी और इसके विपरीत। दाईं ओर की दिशा को धनात्मक मानने पर: u₁ = +4, u₂ = −2 → v₁′ = −2 m/s (पक A बाईं ओर प्रतिक्षिप्त होती है) तथा v₂′ = +4 m/s (पक B दाईं ओर गति जारी रखती है)। सत्यापन: p = 4 − 2 = 2 पूर्व में; बाद में −2 + 4 = 2 ✓; K = ½(16) + ½(4) = 10 J दोनों पक्षों में ✓।
प्र. 2 (बहुविकल्पीय प्रश्न - MCQ). एक गेंद 20 m s⁻¹ के वेग से जमीन से टकराती है और e = 0.5 के साथ प्रतिक्षिप्त होती है। प्रतिक्षेप चाल और प्रारंभिक गिरने की ऊँचाई का वह प्रभाज (fraction) ज्ञात कीजिए जहाँ तक वह वापस पहुँचती है: (a) 10 m/s, 1/2 (b) 10 m/s, 1/4 (c) 5 m/s, 1/4 (d) 10 m/s, 3/4
उत्तर: (b) — प्रतिक्षेप चाल = e × संघट्ट चाल = 10 m/s; ऊँचाई v² के समानुपाती होती है, अतः h′/h = (10/20)² = 1/4। e = 0.5 वाली गेंद का प्रत्येक टप्पा अपनी ऊँचाई का तीन-चौथाई भाग गँवा देता है — यह e² नियम "कितने टप्पों के बाद" वाले सभी अनुक्रम प्रश्नों का आधार है।
प्र. 3. एक गतिमान बिलियर्ड्स गेंद विरामावस्था में स्थित अपनी जैसी एकसमान गेंद से तिर्यक (सम्मुख नहीं) प्रत्यास्थ संघट्ट करती है। संघट्ट के पश्चात दोनों गेंदों के वेगों के बीच का कोण बताइए और उन संरक्षण सिद्धांतों के नाम लिखिए जो इसे अनिवार्य बनाते हैं।
उत्तर: 90°। कारण: समान द्रव्यमान + प्रत्यास्थ संघट्ट ⇒ संवेग (सदिश रूप में: x और y घटक अलग-अलग) और गतिज ऊर्जा (अदिश रूप में) दोनों संरक्षित रहते हैं। पूर्व संवेग p⃗ = p⃗₁′ + p⃗₂′ लिखकर और 2mK = p² का उपयोग करते हुए दोनों पक्षों का वर्ग करने पर प्राप्त होता है कि (p₁′ + p₂′)² = p₁′² + p₂′² केवल तभी संभव है जब p₁′·p₂′ = 0 — अर्थात दोनों निर्गामी संवेग (और अतः वेग) परस्पर लंबवत हैं। यह मानक ज्यामिति NTA द्वारा हर वर्ष किसी न किसी रूप में पूछी जाती है।
6. मुख्य सूत्र एवं स्मरणीय बिंदु
| संबंध / सूत्र | शर्त / टिप्पणी |
|---|---|
| m₁u₁ + m₂u₂ = m₁v₁ + m₂v₂ | प्रत्येक विलगित संघट्ट — एकमात्र सार्वभौमिक नियम |
| v₁′ = [(m₁−m₂)u₁ + 2m₂u₂]/(m₁+m₂) | 1-D प्रत्यास्थ; दूसरे पिंड के सूत्र में पादांक (subscripts) परस्पर बदल जाते हैं |
| समान द्रव्यमान: v₁′ = u₂, v₂′ = u₁ | वेग विनिमय, किसी भी u₂ के लिए — केवल 1-D प्रत्यास्थ संघट्ट में |
| m₁ ≫ m₂: v₂′ ≈ 2u₁ · m₁ ≪ m₂: v₁′ ≈ −u₁ | भारी से हल्के पर प्रहार; हल्के का भारी से प्रतिक्षेप |
| v = (m₁u₁ + m₂u₂)/(m₁ + m₂) | पूर्णतः अप्रत्यास्थ: पिंड आपस में चिपक जाते हैं, उभयनिष्ठ वेग |
| ΔK = ½ μ vrel², μ = m₁m₂/(m₁+m₂) | चिपकने पर अधिकतम संभव KE हानि; आपेक्षिक गति की गतिज ऊर्जा नष्ट होती है |
| e = पृथक्करण चाल / उपगमन चाल | e = 1 प्रत्यास्थ · e = 0 अप्रत्यास्थ (चिपकना) · प्रतिक्षेप ऊँचाई = e² × प्रारंभिक ऊँचाई |
| समान द्रव्यमान तिर्यक प्रत्यास्थ संघट्ट → 90° | px, py का अलग-अलग संरक्षण + K संरक्षण; बिलियर्ड्स का नियम |
संघट्ट इस अध्याय के दोनों संरक्षण नियमों को जोड़कर अध्याय को समाप्त करता है: अध्याय 4 से संवेग संरक्षण (जो कभी नहीं टूटता) और इस अध्याय से गतिज ऊर्जा संरक्षण (जो आवश्यकतानुसार बदलता है)। प्रत्येक प्रश्न को ध्यान से पढ़ें कि कौन-सा नियम लागू होता है — यही समझ प्रश्न की कुंजी है।
7. अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQs)
संघट्ट में कौन-सी राशियाँ संरक्षित रहती हैं?
किसी विलगित निकाय के प्रत्येक संघट्ट में रेखीय संवेग सदैव संरक्षित रहता है — क्योंकि संपर्क बल आंतरिक न्यूटन के तृतीय नियम के क्रिया-प्रतिक्रिया युग्म होते हैं और संघट्ट काल इतना सूक्ष्म होता है कि बाह्य आवेग नगण्य रहता है। गतिज ऊर्जा केवल प्रत्यास्थ संघट्ट में संरक्षित रहती है; अप्रत्यास्थ संघट्टों में इसका कुछ भाग ऊष्मा, ध्वनि और विरूपण में बदल जाता है। अतः परीक्षा का मुख्य नियम है: संवेग सदैव संरक्षित रहता है, गतिज ऊर्जा केवल प्रत्यास्थ संघट्ट में। पूर्णतः अप्रत्यास्थ संघट्ट (पिंडों का चिपक जाना) में संवेग संरक्षण के अनुरूप अधिकतम गतिज ऊर्जा की हानि होती है।
एकविमीय प्रत्यास्थ संघट्ट के सूत्र लिखिए।
प्रारंभिक वेग u1 और u2 वाले m1 और m2 द्रव्यमान के दो पिंडों के एकविमीय सम्मुख प्रत्यास्थ संघट्ट के लिए, संवेग संरक्षण और गतिज ऊर्जा संरक्षण समीकरणों को हल करने पर v1' = ((m1 − m2)u1 + 2 m2 u2)/(m1 + m2) तथा v2' = ((m2 − m1)u2 + 2 m1 u1)/(m1 + m2) प्राप्त होता है। NTA द्वारा बार-बार पूछे जाने वाले विशेष प्रकरण: समान द्रव्यमान होने पर वेग परस्पर बदल जाते हैं (v1' = u2, v2' = u1); यदि भारी पिंड विरामावस्था में स्थित हल्के पिंड से टकराता है, तो भारी पिंड लगभग उसी वेग से चलता रहता है जबकि हल्का पिंड भारी पिंड के लगभग दोगुने वेग से आगे निकल जाता है; यदि हल्का पिंड विरामावस्था में स्थित भारी पिंड से टकराता है, तो हल्का पिंड लगभग अपने प्रारंभिक वेग से ही वापस लौट जाता है।
प्रत्यावस्थान गुणांक (Coefficient of Restitution) क्या है?
प्रत्यावस्थान गुणांक e आपेक्षिक चालों के अनुपात द्वारा संघट्ट की प्रत्यास्थता को मापता है: e = (पृथक्करण का आपेक्षिक वेग) / (उपगमन का आपेक्षिक वेग), जिसे एक धनात्मक अनुपात के रूप में लिया जाता है। e = 1 के लिए संघट्ट पूर्णतः प्रत्यास्थ होता है (आपेक्षिक चाल पूर्णतः पुनर्प्राप्त); e = 0 के लिए पिंड आपस में चिपक जाते हैं और उभयनिष्ठ वेग से गति करते हैं; वास्तविक संघट्ट इनके बीच होते हैं। स्थिर फर्श (अनंत द्रव्यमान) से टकराने वाली गेंद के लिए, e प्रतिक्षेप चाल और संघट्ट चाल का अनुपात बन जाता है, और किसी ऊँचाई से गिराए जाने के बाद प्रतिक्षेप ऊँचाई प्रारंभिक ऊँचाई की e² गुनी होती है।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ संघट्ट में कितनी गतिज ऊर्जा की हानि होती है?
सम्मुख टकराकर आपस में चिपक जाने वाले दो पिंडों के लिए गतिज ऊर्जा की हानि ΔK = ½ μ v_rel² होती है, जहाँ μ = m1 m2/(m1 + m2) समानीत द्रव्यमान (reduced mass) है और v_rel = u1 − u2 प्रारंभिक आपेक्षिक चाल है। उदाहरण: 5 m/s से गतिमान 4 kg का पिंड विरामावस्था में स्थित 6 kg के पिंड से टकराता है, तो μ = 2.4 kg और v_rel = 5 m/s, अतः ΔK = ½ × 2.4 × 25 = 30 J। यह सूत्र दर्शाता है कि जब आपेक्षिक चाल अधिकतम होती है तो ऊर्जा हानि भी अधिकतम होती है, और जब पिंड बिना किसी आपेक्षिक गति के केवल स्पर्श करते हैं तो हानि शून्य होती है — अर्थात आपेक्षिक गति की गतिज ऊर्जा नष्ट हो जाती है।
केवल इसी डिवाइस पर सेव — कोई अकाउंट या साइन-इन नहीं।