रैखिक संवेग का संरक्षण — प्रतिक्षेप (रिकॉइल) एवं विस्फोट (NCERT 4.7)
1. संवेग संरक्षण का नियम क्या कहता है?
रैखिक संवेग संरक्षण का नियम (Law of conservation of linear momentum): किसी विलगित निकाय (isolated system) के लिए — जिस पर कोई कुल बाह्य बल कार्य न कर रहा हो — निकाय का कुल रैखिक संवेग नियत (संरक्षित) रहता है, चाहे उसके अवयवों के बीच परस्पर कितनी भी तीव्र अन्योन्यक्रिया क्यों न हो रही हो। संघट्ट (collisions), युग्मन (couplings), विस्फोट (explosions), प्रतिक्षेप (recoils): निकाय के भीतर आंतरिक रूप से संवेग का वितरण किसी भी प्रकार से बदल सकता है, परंतु निकाय का कुल संवेग p = m1 v1 + m2 v2 + … अन्योन्यक्रिया से पहले और बाद में बिल्कुल समान रहता है। यह नियम कोई नई परिकल्पना नहीं है; यह द्वितीय नियम और तृतीय नियम का संयुक्त परिणाम है — और इसका निगमन स्वयं इस अध्याय से सर्वाधिक पूछा जाने वाला सैद्धांतिक प्रश्न है, जिसे हम नीचे चरण-दर-चरण सिद्ध करेंगे।
परीक्षा की दृष्टि से इस नियम की सबसे बड़ी शक्ति यह है कि यह बल के विस्तृत मान को पूर्णतः बाईपास कर देता है। बंदूक की नली (बैरल) से गोली के गुजरने के दौरान, बल माइक्रोसेकंड में अत्यधिक उच्च स्तर पर पहुँचकर लुप्त हो जाते हैं; इनका यथार्थ समाकलन करना असंभव है। परंतु संवेग संरक्षण के लिए केवल प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों की आवश्यकता होती है: कुल प्रारंभिक p = कुल अंतिम p। प्रतिक्षेप चाल (recoil speed), विस्फोट के बाद टुकड़ों के वेग, संघट्ट के पश्चात संयुक्त वेग — बाह्य बलों को नगण्य मानते ही ये सभी प्रश्न सीधे एक-पंक्तिीय बहीखाता (bookkeeping) गणना बन जाते हैं।
2. संपूर्ण सिद्धांत: निगमन, सूत्र, और ऊर्जा असममिति
निगमन (इसे हूबहू कंठस्थ करें — यह एक प्रमुख सैद्धांतिक प्रश्न है): परस्पर अन्योन्यक्रिया करने वाले दो पिंडों के एक निकाय पर विचार कीजिए, जिसका कुल संवेग P = p1 + p2 है। समय के सापेक्ष अवकलन करने पर: dP/dt = dp1/dt + dp2/dt। गति के द्वितीय नियम के अनुसार, dp1/dt = F21 (पिंड 2 द्वारा पिंड 1 पर आरोपित बल) और dp2/dt = F12। जोड़ने पर: dP/dt = F21 + F12। परंतु गति के तृतीय नियम के अनुसार, F12 = -F21 — जो कि भिन्न-भिन्न पिंडों पर कार्यरत एक आंतरिक क्रिया–प्रतिक्रिया युग्म है — अतः dP/dt = 0 और P = constant (नियत)। इसे कितने भी पिंडों वाले निकाय के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है: सभी आंतरिक बल परस्पर निरस्त होने वाले युग्मों के रूप में आते हैं; केवल परिणामी बाह्य बल Fext ही शेष बचता है, जिससे dP/dt = Fext प्राप्त होता है। जब Fext = 0 रखा जाए, तो संवेग संरक्षण सिद्ध होता है। सूक्ष्म बिंदु पर ध्यान दें: इस नियम के लिए शून्य कुल बाह्य बल की आवश्यकता होती है — जैसे घर्षणरहित सतह, या इतना अल्पकालिक संघट्ट कि विशाल आंतरिक बलों की तुलना में बाह्य आवेग (जैसे गुरुत्वाकर्षण का आवेग) नगण्य हो जाए।
1-D का प्रमुख कार्यवाहक समीकरण: एक ही अक्ष पर गतिमान दो पिंडों के लिए: m₁u₁ + m₂u₂ = m₁v₁ + m₂v₂। चिह्न परिपाटी (sign convention) ही सब कुछ निर्धारित करती है: किसी एक दिशा को धनात्मक चुनें और विपरीत दिशा की गति को ऋणात्मक मान दें — उदाहरण के लिए, दाईं ओर 10 m/s के वेग और बाईं ओर 4 m/s के वेग को +10 और -4 के रूप में रखा जाएगा। प्रतिक्षेप (recoil) की विशेष स्थिति (दोनों प्रारंभ में विरामावस्था में हैं, द्रव्यमान m का पिंड v वेग से प्रक्षेपित होता है): 0 = mv + MV → V = −(m/M)v। यही समीकरण तीन अलग-अलग रूपों में लागू होता है: बंदूक-और-गोली, नाव-और-कूदने वाला व्यक्ति, नाभिक-और-उत्सर्जित कण।
ऊर्जा असममिति — भ्रम और यथार्थ: संवेग संरक्षण में गतिज ऊर्जा का कोई उल्लेख नहीं होता, और यही स्वतंत्रता इसकी सबसे बड़ी विशेषता है: अप्रत्यास्थ (inelastic) अन्योन्यक्रियाओं (पिंडों का आपस में चिपकना, मिट्टी का दीवार से टकराना, ट्रॉली पर रेत गिरना) में गतिज ऊर्जा स्पष्ट रूप से ऊष्मा, ध्वनि और विरूपण (deformation) में क्षय हो जाती है — फिर भी संवेग का बहीखाता अंतिम kg·m/s तक पूर्णतः संतुलित रहता है। प्रत्यास्थ (elastic) अन्योन्यक्रियाओं (आदर्श दृढ़ संघट्ट, परमाणु) में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है, जिससे दूसरा समीकरण प्राप्त होता है। कक्षा 11 में दूसरा समीकरण कणों के निकाय तथा घूर्णी गति के संघट्ट खंड के लिए रखा गया है; यहाँ परीक्षा के लिए सुरक्षित और सटीक वाक्य यह है: संवेग तब संरक्षित रहता है जब कुल बाह्य बल शून्य हो; गतिज ऊर्जा केवल प्रत्यास्थ संघट्टों में ही संरक्षित रहती है। NTA के कथन-कारण (statement-based) प्रश्नों में इन दोनों वाक्यों का प्रायः परीक्षण किया जाता है।
जहाँ बाह्य बल उपस्थित होते हुए भी उपेक्षणीय होता है: हवा में किसी प्रक्षेप्य का विखंडन: गुरुत्वाकर्षण प्रत्येक टुकड़े पर कार्य करता है, अतः लंबे समय के अंतराल में टुकड़ों का कुल संवेग संरक्षित नहीं रहता — परंतु माइक्रोसेकंड में होने वाले तीव्र विस्फोट के दौरान गुरुत्वाकर्षण का आवेग (mgΔ t) नगण्य होता है, इसलिए "विस्फोट से ठीक पहले का संवेग = विस्फोट के ठीक बाद का संवेग" पूर्णतः लागू होता है। इसी प्रकार खुरदरे फर्श पर दो पिंडों का संघट्ट: यद्यपि घर्षण एक बाह्य बल है, फिर भी संघट्ट के मिलीसेकंड समय में इसका आवेग संपर्क बल के आवेग की तुलना में अत्यंत नगण्य होता है। NTA के विखंडन संबंधी प्रश्न ("5 m/s से गतिमान 4 kg का एक पिंड 3 kg और 1 kg के दो टुकड़ों में टूट जाता है...") पूर्णतः इसी औचित्य पर आधारित होते हैं।
3. संघट्ट के संवेग बहीखाते का आलेखी निरूपण
चित्र 4.4 — पहले/बाद में: ट्रॉली के आपस में जुड़ जाने पर भी संवेग संतुलित रहता है
शीर्ष पंक्ति: पहले — 4 kg की ट्रॉली 5 m/s से विरामावस्था में स्थित 2 kg की ट्रॉली की ओर बढ़ती है। निचली पंक्ति: बाद में — संयुक्त होकर दोनों 10/3 m/s से गति करती हैं। प्रत्येक स्थिति में कुल संवेग की तुलना करें।
परीक्षा विश्लेषण: ट्रॉलियों के जुड़ने से 16.7 J गतिज ऊर्जा (ऊष्मा + विरूपण) का ह्रास होता है, परंतु संवेग में शून्य परिवर्तन होता है। जब भी कोई विकल्प चिपकने वाले पिंडों के लिए "संवेग और गतिज ऊर्जा दोनों संरक्षित रहते हैं" का दावा करे, तो उसे तुरंत निरस्त कर दें — NTA के प्रश्नों में व्याख्या के लिए यही बहीखाता तर्क (ledger reasoning) अपेक्षित होता है।
4. हल किए गए उदाहरण
उदाहरण 1 — गुटके में गोली का धंसना (पूर्णतः अप्रत्यास्थ संघट्ट)
एक घर्षणरहित मेज पर विरामावस्था में रखे 2 kg के लकड़ी के गुटके में 500 m/s के क्षैतिज वेग से गतिशील 10 g की एक गोली धंस जाती है। संघट्ट के पश्चात उभयनिष्ठ वेग तथा गतिज ऊर्जा में हुई हानि ज्ञात कीजिए।
हल (चरण-दर-चरण): निकाय = गोली + गुटका; कुल क्षैतिज बाह्य बल = 0 → रैखिक संवेग संरक्षित रहेगा। प्रारंभिक p = 0.010 × 500 = 5 kg·m/s। अंतिम संवेग: (0.010 + 2)v = 2.010v। अतः v = 5/2.010 = 2.49 m/s (गोली की मूल दिशा में)। संघट्ट से पहले गतिज ऊर्जा = 1/2 × 0.01 × 5002 = 1250 J; संघट्ट के बाद गतिज ऊर्जा = 1/2 × 2.01 × (2.49)2 ≈ 6.2 J — गोली की 99% से अधिक गतिज ऊर्जा ऊष्मा और विरूपण में रूपांतरित हो गई, जबकि संवेग पूर्णतः अपरिवर्तित रहा। यही विरोधाभास इस संपूर्ण पृष्ठ का मुख्य संदेश है।
उदाहरण 2 — नाव से कूदना
एक 50 kg की लड़की विरामावस्था में स्थित 200 kg की एक नाव से 4 m/s के क्षैतिज वेग से कूदती है (जल का प्रतिरोध नगण्य मानिए)। नाव का प्रतिक्षेप वेग तथा उनकी गतिज ऊर्जाओं का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल: प्रारंभिक कुल p = 0। कूदने के पश्चात: 50 × 4 + 200 × V = 0 → V = -200/200 = -1 m/s: नाव लड़की के कूदने की दिशा के विपरीत 1 m/s के वेग से प्रतिक्षिप्त होती है। गतिज ऊर्जा का अनुपात: Kलड़की/Kनाव = (1/2 × 50 × 16)/(1/2 × 200 × 1) = 400/100 = 4 — और सामान्य रूप से, समान संवेग होने पर गतिज ऊर्जा द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती विभाजित होती है (K1/K2 = m2/m1), जो प्रथम नियम वाले पृष्ठ के p2/2m सूत्र का प्रत्यक्ष अनुप्रयोग है। त्वरित जांच: हल्का कूदने वाला व्यक्ति, अधिक चाल, अधिक गतिज ऊर्जा हिस्सा ✓।
5. अभ्यास प्रश्न
प्र. 1. अंतरिक्ष में तैरता हुआ 60 kg का एक अंतरिक्ष यात्री 2 kg के एक रिंच (wrench) को 6 m/s की चाल से फेंकता है। उसका प्रतिक्षेप वेग ज्ञात कीजिए और समझाइए कि कौन-सा नियम इसकी गारंटी देता है।
उत्तर: प्रारंभिक कुल p = 0। फेंकने के पश्चात: 2 × 6 + 60 × V = 0 → V = -0.2 m/s — अंतरिक्ष यात्री 0.2 m/s से पीछे की ओर गति करेगा। गति का तृतीय नियम फेंकने के दौरान लगने वाले बलों को अंतरिक्ष यात्री + रिंच निकाय के लिए आंतरिक युग्म बना देता है, और गहरे अंतरिक्ष में कोई बाह्य बल न होने के कारण द्वितीय नियम dP/dt = 0 निर्धारित करता है। अंतरिक्ष यान थ्रस्टर्स (thrusters) द्वारा ठीक इसी प्रकार गति नियंत्रित करते हैं।
प्र. 2 (MCQ). 5 m/s के वेग से गतिमान 4 kg का एक पिंड 3 kg तथा 1 kg के दो टुकड़ों में विस्फोटित हो जाता है। यदि 3 kg का टुकड़ा मूल दिशा में ही 4 m/s के वेग से गति करता रहे, तो 1 kg के टुकड़े का वेग होगा: (a) मूल दिशा में 8 m/s (b) विपरीत दिशा में 3 m/s (c) विपरीत दिशा में 8 m/s (d) मूल दिशा में 5 m/s
उत्तर: (a) — विस्फोट के दौरान गुरुत्वाकर्षण का आवेग नगण्य होता है, अतः संवेग का बहीखाता संतुलित रहता है: 4 × 5 = 3 × 4 + 1 × v → v = 8 m/s (मूल दिशा में)। हल करने की विधि: किसी एक दिशा को धनात्मक अक्ष मानें, दोनों टुकड़ों के संवेग को चिह्नों के साथ लिखें और हल करें — केवल विकल्प (a) ही संवेग बहीखाते को संतुष्ट करता है।
प्र. 3. 4 kg की एक बंदूक से 20 g की गोली दागी जाती है। गोली 300 m/s के वेग से बाहर निकलती है। बंदूक की प्रतिक्षेप चाल, तथा बंदूक द्वारा प्राप्त आवेग ज्ञात कीजिए।
उत्तर: संवेग संतुलन: गोली आगे की दिशा में 0.02 × 300 = 6 kg·m/s संवेग ले जाती है, अतः बंदूक को पीछे की दिशा में 6 kg·m/s संवेग मिलता है → V = 6/4 = 1.5 m/s प्रतिक्षेप चाल। बंदूक पर आवेग J = Δ p = 6 N·s है — जो गोली के आवेग के बराबर और विपरीत है (तृतीय नियम), तथा आवेग-संवेग प्रमेय के अनुसार बल × बैरल-समय के बराबर है।
6. मुख्य सूत्र एवं महत्वपूर्ण निष्कर्ष
| संबंध / सूत्र | शर्त / टिप्पणी |
|---|---|
| m₁u₁ + m₂u₂ = m₁v₁ + m₂v₂ | 1-D, विलगित निकाय; चिह्न दिशाओं को दर्शाते हैं |
| 0 = mv + MV (प्रतिक्षेप) | प्रारंभ में दोनों विरामावस्था में; V = −(m/M)v |
| dP/dt = Fext | तृतीय नियम के अनुसार आंतरिक बल युग्म निरस्त हो जाते हैं |
| Σp नियत ⇔ Fext = 0 | अथवा अन्योन्यक्रिया इतनी तीव्र हो कि बाह्य आवेग ≈ 0 हो |
| K का संरक्षित होना आवश्यक नहीं | केवल प्रत्यास्थ अन्योन्यक्रियाओं में गतिज ऊर्जा संरक्षित रहती है; संवेग को इसकी आवश्यकता नहीं होती |
| समान p पर K₁/K₂ = m₂/m₁ | हल्के टुकड़े को गतिज ऊर्जा का अधिक हिस्सा मिलता है |
संघट्टों का संपूर्ण वर्गीकरण (प्रत्यास्थ, अप्रत्यास्थ, प्रत्यावस्थान गुणांक) कणों के निकाय तथा घूर्णी गति में विस्तार से दिया गया है; इस पृष्ठ का संवेग बहीखाता नियम ही वह आधार है जिस पर वह निर्मित है।
7. अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम का कथन लिखिए तथा इसका निगमन कीजिए।
किसी विलगित निकाय (जिस पर कुल बाह्य बल शून्य हो) के लिए, कुल रैखिक संवेग नियत रहता है। निगमन: गति का द्वितीय नियम निकाय के कुल संवेग P के लिए dP/dt = Fext देता है। तृतीय नियम के अनुसार, आंतरिक बल विभिन्न पिंडों पर बराबर और विपरीत युग्मों में कार्य करते हैं, अतः योग में उनका योगदान निरस्त हो जाता है और केवल बाह्य बल ही शेष रहता है। Fext = 0 रखने पर dP/dt = 0 प्राप्त होता है, अतः P = नियतांक। घटक रूप में, प्रत्येक दिशा स्वतंत्र रूप से संवेग को संरक्षित रखती है।
गतिज ऊर्जा की हानि होने वाले संघट्टों में भी संवेग क्यों संरक्षित रहता है?
संवेग संरक्षण के लिए केवल यह आवश्यक है कि निकाय पर कुल बाह्य बल शून्य हो — इसका ऊर्जा से कोई संबंध नहीं है। अप्रत्यास्थ संघट्ट में, गतिज ऊर्जा ऊष्मा, ध्वनि और विरूपण में रूपांतरित हो जाती है, परंतु ऐसी प्रत्येक आंतरिक प्रक्रिया पिंडों के बीच बराबर और विपरीत युग्मों में संवेग स्थानांतरित करती है (तृतीय नियम), जिससे कुल संवेग अपरिवर्तित रहता है। यही कारण है कि दीवार-और-ट्रॉली निकाय से चिपकने वाली मिट्टी का लोंदा, या आपस में जुड़ने वाली दो ट्रॉलियाँ, अब भी m1u1 + m2u2 = (m1 + m2)v का यथार्थ पालन करती हैं।
गोली दागने पर बंदूक का प्रतिक्षेप वेग क्या होता है?
M द्रव्यमान की बंदूक से v वेग से m द्रव्यमान की गोली दागे जाने पर, यदि दोनों प्रारंभ में विरामावस्था में हों, तो संवेग संरक्षण से 0 = mv + MV प्राप्त होता है, अतः प्रतिक्षेप वेग V = -(m/M)v होता है — अर्थात् बंदूक (m/M)v चाल से पीछे की ओर हटती है। ऋणात्मक चिह्न विपरीत दिशा को प्रदर्शित करता है। यही सूत्र नाव से कूदने वाले व्यक्ति, कण उत्सर्जित करने वाले नाभिक, तथा रिंच फेंकने वाले अंतरिक्ष यात्री पर समान रूप से लागू होता है — प्रत्येक स्थिति में हल्का पिंड अधिक चाल प्राप्त करता है, और दोनों के संवेग बराबर एवं विपरीत होते हैं।
हवा में किसी पिंड में विस्फोट होता है। क्या विस्फोटक बलों के बावजूद संवेग संरक्षित रहता है?
हाँ, टुकड़ों के निकाय के लिए संवेग संरक्षित रहता है। विस्फोटक बल आंतरिक होते हैं — प्रत्येक टुकड़ा अपने पड़ोसी टुकड़ों द्वारा तृतीय नियम के बराबर और विपरीत बलों द्वारा धकेला जाता है, अतः योग में वे परस्पर निरस्त हो जाते हैं। यद्यपि गुरुत्वाकर्षण बाह्य बल है, परंतु अत्यधिक अल्पकालिक विस्फोट के दौरान गुरुत्वाकर्षण का आवेग (mg Δt) नगण्य होता है, इसलिए विस्फोट से ठीक पहले का संवेग विस्फोट के ठीक बाद के संवेग के बराबर होता है। विस्फोट के पश्चात, निश्चित रूप से गुरुत्वाकर्षण टुकड़ों के कुल संवेग को निरंतर परिवर्तित करता है। NTA के विशिष्ट प्रश्नों में विस्फोट से पूर्व का संवेग दिया जाता है और किसी एक टुकड़े का वेग पूछा जाता है, जिसे सीधे संवेग संतुलन द्वारा हल किया जाता है।
केवल इसी डिवाइस पर सेव — कोई अकाउंट या साइन-इन नहीं।