वृत्तीय गति की गतिकी — समतल सड़क और बंकन (NCERT 4.10)
1. शुद्धगतिकी से बलों तक (From Kinematics to Forces)
अध्याय 3 ने शुद्धगतिकी (kinematics) स्थापित की थी: त्रिज्या r के वृत्त में v चाल से गतिमान किसी पिंड में केंद्र की ओर दिष्ट ac = v²/r त्वरण होता है। यह पृष्ठ गतिकी (dynamics) प्रस्तुत करता है: गति के द्वितीय नियम के अनुसार त्रिज्यीय रूप से अंदर की ओर किसी वास्तविक बल का मान m·v²/r के बराबर होना चाहिए — और यह संपूर्ण विषय केवल एक प्रश्न पर सिमट जाता है: कार्य पर कौन सा बल तैनात है (which force is on duty)? घूमते हुए पत्थर के लिए यह डोरी का तनाव है; किसी उपग्रह के लिए गुरुत्वाकर्षण; समतल मोड़ पर कार के लिए सड़क का घर्षण; और बंकित मोड़ पर कार के लिए अभिलंब का क्षैतिज घटक। एक बार इस कार्यरत बल की पहचान हो जाने के बाद, समस्या सामान्य दो-अक्षीय संतुलन (two-axis bookkeeping) में बदल जाती है जिसका अभ्यास इस अध्याय में लगातार किया गया है।
इस पृष्ठ का परीक्षा की दृष्टि से सबसे मूल्यवान वाक्य: "अभिकेन्द्रीय बल" किसी कार्य (दायित्व) का नाम है, प्रकृति का कोई मूल बल नहीं। मुक्त पिंड आरेख (FBD) में कभी भी तनाव या घर्षण के साथ अलग से "अभिकेन्द्रीय बल" का तीर नहीं होना चाहिए — वास्तविक बलों का त्रिज्यीय परिणामी ही अभिकेन्द्रीय बल होता है। NTA का अभिकथन-कारण (assertion–reason) प्रश्न बैंक ठीक इसी भ्रम का परीक्षण करता है, और क्रियाविधि पृष्ठ से FBD का अनुशासन इसका अचूक समाधान है।
2. संपूर्ण सिद्धांत: समतल सड़क, बंकित सड़क और उनके निगमन
स्थिति 1 — डोरी से बंधा पत्थर (क्षैतिज वृत्त)। डोरी का तनाव पूरा परिणामी बल प्रदान करता है: T = mv²/r, जो डोरी के अनुदिश दिष्ट होता है। (यदि वृत्त क्षैतिज है, तो गुरुत्वाकर्षण बल ज्यामिति द्वारा स्वतः व्यवस्थित एक सूक्ष्म ऊर्ध्वाधर घटक द्वारा संतुलित होता है — "शंक्वाकार लोलक / conical pendulum" का सूक्ष्म विश्लेषण इस पृष्ठ के दायरे से बाहर है।) परीक्षा का प्रारूप: दिए गए m, r, v से T की गणना करना; या जब डोरी की भंजक सामर्थ्य (breaking strength) दी गई हो तो v ज्ञात करना — जिस चाल पर डोरी टूट जाती है वह v = √(Tbreakr/m) है।
स्थिति 2 — समतल सड़क पर वाहन। ऊर्ध्वाधर: N = mg (कोई ऊर्ध्वाधर त्वरण नहीं)। त्रिज्यीय: अंदर की ओर एकमात्र उम्मीदवार टायरों पर लगने वाला स्थैतिक घर्षण है, जो घर्षण की उच्चतम सीमा द्वारा सीमित है: mv²/r ≤ μsmg → vmax = √(μsrg)। तीन महत्वपूर्ण बिंदु जिन्हें NTA बार-बार दोहराता है: द्रव्यमान निरस्त हो जाता है (भरे हुए ट्रक और स्कूटर दोनों की समान चाल सीमा होती है — ज्यामिति और पकड़ निर्णय करती हैं); v का मान √r के अनुसार बढ़ता है (जितना चौड़ा मोड़, उतनी अधिक सुरक्षित चाल); और vmax से अधिक चाल होने पर कार "अपकेन्द्री बल द्वारा बाहर" नहीं फिंकती — इसका सीधा अर्थ है कि घर्षण अब पथ को पर्याप्त रूप से मोड़ने में असमर्थ है, इसलिए कार कम वक्रता वाले स्पर्शरेखीय पथ पर फिसल जाती है।
स्थिति 3 — घर्षण-रहित बंकित सड़क (अक्षरशः याद रखने योग्य निगमन)। सड़क को कोण θ पर बंकित (ढालू) किया जाता है और, डिज़ाइन चाल पर, अभिलंब प्रतिक्रिया को ही वाहन मोड़ने का संपूर्ण कार्य करने दिया जाता है। दो अक्ष, दो समीकरण। ऊर्ध्वाधर (कोई ऊर्ध्वाधर त्वरण नहीं): N cos θ = mg। क्षैतिज-त्रिज्यीय (मोड़ के केंद्र की ओर v²/r त्वरण): N sin θ = mv²/r। दूसरे समीकरण को पहले से भाग देने पर — N और m दोनों निरस्त हो जाते हैं — और प्राप्त होता है tan θ = v²/rg, अर्थात् डिज़ाइन या अनुकूलतम चाल v₀ = √(rg tan θ)। इस परिणाम को इसके व्युत्क्रम के रूप में समझें: किसी दिए गए मोड़ (r, θ) के लिए चाल v₀ वह चाल है जिस पर टायरों को शून्य पाश्विक घर्षण (sideways friction) की आवश्यकता होती है; राजमार्गों पर मोड़ों को इसीलिए बंकित किया जाता है ताकि यह v₀ वैधानिक चाल से मेल खाए, जिससे टायरों की घिसावट ज्यामिति द्वारा बचाई जा सके।
स्थिति 4 — घर्षण सहित बंकित सड़क (JEE Main का विस्तार)। v₀ से भिन्न चाल होने पर घर्षण भी जुड़ जाता है: v₀ से कम चाल पर कार ढलान पर नीचे फिसलने की प्रवृत्ति रखती है (घर्षण ढलान के ऊपर की ओर कार्य करता है); v₀ से अधिक चाल पर यह ऊपर फिसलने की प्रवृत्ति रखती है (घर्षण ढलान के नीचे की ओर कार्य करता है)। सड़क की सतह के अनुदिश/अभिलंबवत वियोजित करने और N को विलोपित करने पर चाल सीमाएं प्राप्त होती हैं: ऊपरी सीमा v² = rg(μ + tan θ)/(1 − μ tan θ), निचली सीमा v² = rg(tan θ − μ)/(1 + μ tan θ)। मुख्य सत्यापन बिंदु: दोनों में μ = 0 रखने पर v₀ = √(rg tan θ) पुनः प्राप्त हो जाता है; हर (denominator) यह दर्शाता है कि अत्यधिक μ और तीव्र ढाल होने पर सूत्र का भौतिक अर्थ क्यों बदल सकता है (प्रसिद्ध 1 − μ tan θ ≤ 0 की शर्त)। NEET सामान्यतः स्थिति 3 तक ही सीमित रहता है; JEE Main में स्थिति 4 की ऊपरी सीमा पर हर कुछ वर्षों में एक बार प्रश्न पूछा जाता है।
पाठ्यक्रम सीमा टिप्पणी (घोषित बहिष्करण)। ऊर्ध्वाधर वृत्त — लूप, शीर्ष पर न्यूनतम चाल, तनावों में अंतर — इस अध्याय के लिए NTA पाठ्यक्रम पंक्ति में नहीं हैं और उन्हें यहाँ जानबूझकर शामिल नहीं किया गया है; वे कार्य, ऊर्जा और शक्ति के ऊर्जा-संरक्षण सिद्धांतों से संबंधित हैं। NTA पाठ्यक्रम में वाहनों के ठीक दो मामलों का नाम दिया गया है: "समतल वृत्ताकार सड़क पर वाहन, बंकित सड़क पर वाहन" — दोनों का ऊपर पूर्ण विवेचन किया गया है।
3. बंकित सड़क का चित्रात्मक निरूपण
चित्र 4.8 — अभिलंब बल ही दिशा मोड़ता है: N उत्थापक (lift) और दिशा-परिवर्तक (steer) में विभाजित होता है
कार θ कोण पर बंकित सड़क पर स्थित है। नीला: अभिलंब N, सड़क के लंबवत। इसका ऊर्ध्वाधर घटक (N cos θ) भार संभालता है; इसका क्षैतिज घटक (N sin θ) पथ को केंद्र की ओर मोड़ता है। v₀ पर किसी घर्षण की आवश्यकता नहीं होती।
परीक्षा निष्कर्ष (Exam read-out): दो समीकरण, एक N: ऊर्ध्वाधर N cos θ = mg, त्रिज्यीय N sin θ = mv²/r। भाग देने पर → tan θ = v²/rg। यह एकल भाग इस अध्याय का सर्वाधिक पूछा जाने वाला निगमन है — दोनों अक्षों को इसी क्रम में स्पष्ट रूप से लिखने का अभ्यास करें।
4. हल किए गए उदाहरण
उदाहरण 1 — डोरी से बंधा पत्थर और टूटने की चाल का प्रश्न
0.5 kg का एक पत्थर 1 m त्रिज्या के क्षैतिज वृत्त में 4 m/s की चाल से घुमाया जाता है। तनाव ज्ञात कीजिए। यदि डोरी 18 N का तनाव सहन कर सकती है, तो यह किस चाल पर टूट जाएगी?
हल (चरण-दर-चरण): तनाव ही कार्यरत बल है: T = mv²/r = 0.5 × 16/1 = 8 N। टूटने की देहली (breaking threshold): T = 18 N रखने पर → v = √(Tr/m) = √(18 × 1/0.5) = √36 = 6 m/s। विमीय जांच: √(N·m/kg) = √(m²/s²) = m/s ✓। सीखने का प्रारूप — "कार्यरत बल ज्ञात करें; इसे अधिकतम सीमा के बराबर रखें; देहली मान ज्ञात करें" — नीचे सड़क पर μ के साथ अक्षरशः दोहराया जाता है।
उदाहरण 2 — समतल सड़क सीमा, फिर बंकित पुनर्रचना (g = 10 m s⁻²)
एक मोड़ की त्रिज्या 100 m है और टायर-सड़क μs = 0.4 है। (a) समतल सड़क पर चाल सीमा m/s और km/h में ज्ञात कीजिए। (b) राजमार्ग विभाग मोड़ को 45° पर बंकित करता है। समान त्रिज्या के लिए नई अनुकूलतम (घर्षण-मुक्त) डिज़ाइन चाल ज्ञात कीजिए।
हल: (a) vmax = √(μsrg) = √(0.4 × 100 × 10) = √400 = 20 m/s = 72 km/h (अध्याय 2 के अनुसार × 18/5)। (b) v₀ = √(rg tan 45°) = √(100 × 10 × 1) = √1000 ≈ 31.6 m/s ≈ 114 km/h — बंकन बिना किसी टायर घर्षण के सुरक्षित चाल को डेढ़ गुना से अधिक बढ़ा देता है। ध्यान दें कि (a) में μ की आवश्यकता थी और (b) में नहीं: अनुकूलतम चाल पर घर्षण निष्प्रभावी (off-duty) रहता है, जो कि इस इंजीनियरिंग का मुख्य उद्देश्य है।
5. अभ्यास प्रश्न
Q1. एक कार 54 km/h की चाल से 50 m त्रिज्या का समतल मोड़ लेती है। न्यूनतम μs ज्ञात कीजिए जो इसे फिसलने से बचाए (g = 10 m s⁻²)।
उत्तर: v = 54 × 5/18 = 15 m/s। आवश्यक μs ≥ v²/rg = 225/500 = 0.45। इस गुणांक से कम होने पर मोड़ पर फिसलन निश्चित है — वर्षा के कारण μ घटकर 0.35 हो जाने पर 54 km/h की चाल असुरक्षित हो जाएगी, यही कारण है कि गीले मौसम में चाल सीमा कम कर दी जाती है।
Q2 (MCQ). घर्षण-रहित बंकित सड़क पर अनुकूलतम चाल 10 m/s है। यदि त्रिज्या r को अपरिवर्तित रखते हुए बंकन कोण को दोगुना (tan θ → 2 tan θ) कर दिया जाए, तो नई अनुकूलतम चाल होगी: (a) 10 m/s (b) 14.1 m/s (c) 20 m/s (d) 5 m/s
उत्तर: (b) — v₀ = √(rg tan θ), tan θ के √ के अनुपात में बढ़ता है: √2 × 10 ≈ 14.1 m/s। इस सूत्र पर आधारित स्केलिंग प्रश्न अध्याय 3 के v²/r प्रश्नों के समानांतर हैं — वर्गमूल नियम, न कि रैखिक नियम।
Q3. 1000 kg की एक कार 12 m/s की चाल से 30 m त्रिज्या के समतल मोड़ पर मुड़ती है। टायरों पर घर्षण बल ज्ञात कीजिए और बताइए कि क्या μs = 0.5 पर्याप्त है (g = 10 m s⁻²)।
उत्तर: आवश्यक त्रिज्यीय बल = mv²/r = 1000 × 144/30 = 4800 N। उपलब्ध अधिकतम सीमा = μsmg = 0.5 × 10000 = 5000 N। 4800 < 5000 → कार सुरक्षित मुड़ेगी, कुछ मार्जिन के साथ। सीमांत जांच: μs = 0.5 के लिए चरम सीमा vmax = √(0.5 × 30 × 10) = √150 ≈ 12.2 m/s है, इसलिए 12 m/s पहले से ही अधिकतम सीमा के लगभग 98% पर है — केवल 2% अधिक चाल और कार फिसल जाएगी।
6. मुख्य सूत्र एवं स्मरणीय बिंदु
| संबंध | शर्त / टिप्पणी |
|---|---|
| ΣFradial = mv²/r | वृत्तीय रूप में द्वितीय नियम; केवल वास्तविक बल |
| T = mv²/r | डोरी से बंधा पत्थर (क्षैतिज वृत्त) |
| vmax = √(μsrg) | समतल सड़क; द्रव्यमान से स्वतंत्र; घर्षण ही कार्यरत बल है |
| N cos θ = mg, N sin θ = mv²/r | बंकित सड़क, घर्षण-रहित स्थिति — दो-अक्षीय निगमन |
| v₀ = √(rg tan θ) | अनुकूलतम/डिज़ाइन चाल: शून्य पाश्विक घर्षण आवश्यक |
| v² = rg(μ + tan θ)/(1 − μ tan θ) | घर्षण सहित बंकित सड़क की ऊपरी सीमा (JEE Main विस्तार) |
प्रत्येक पंक्ति एक ही वाक्य है — त्रिज्यीय परिणामी को mv²/r के बराबर रखें — जो चार अलग रूपों में व्यक्त है। कार्यरत बल की पहचान करें, दोनों अक्षों के समीकरण लिखें, और सूत्र स्वतः व्युत्पन्न हो जाते हैं; पंक्तियों को नहीं, बल्कि इस मूलभूत सिद्धांत को याद रखें।
7. अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)
वृत्तीय गति में अभिकेन्द्रीय बल कौन प्रदान करता है?
जो भी वास्तविक बल (या बल का घटक) केंद्र की ओर दिष्ट होता है: घूमते हुए पत्थर के लिए डोरी का तनाव, उपग्रह के लिए गुरुत्वाकर्षण बल, समतल मोड़ पर कार के लिए सड़क का घर्षण, और बंकित मोड़ पर कार के लिए अभिलंब प्रतिक्रिया का क्षैतिज घटक। अभिकेन्द्रीय बल प्रकृति का कोई नया या अलग बल नहीं है — यह उस कुल त्रिज्यीय बल (net radial force) का नाम है जिसकी आवश्यकता द्वितीय नियम के अनुसार तब होती है जब कोई पिंड वृत्त में गति करता है। मुक्त पिंड आरेख (FBD) पर एक अतिरिक्त 'अभिकेन्द्रीय बल तीर' बनाना अंक गंवाने वाली त्रुटि है।
समतल (बिना ढाल वाली) वृत्ताकार सड़क पर वाहन की अधिकतम चाल का निगमन कीजिए।
समतल सड़क पर अंदर की ओर दिष्ट एकमात्र बल टायरों पर सड़क द्वारा लगाया गया स्थैतिक घर्षण है, और घर्षण की सीमा mu_s N = mu_s mg होती है। आवश्यक अभिकेन्द्रीय बल को इस अधिकतम सीमा के बराबर रखने पर: mv^2/r = mu_s mg, इसलिए v_max = sqrt(mu_s r g)। यह परिणाम वाहन के द्रव्यमान से स्वतंत्र है (m निरस्त हो जाता है) और त्रिज्या तथा घर्षण गुणांक दोनों के वर्गमूल के रूप में बढ़ता है। इससे अधिक चाल होने पर घर्षण पथ को पर्याप्त रूप से मोड़ नहीं पाता — वाहन स्पर्शरेखीय-मोड़ वाले सर्पिलाकार पथ पर बाहर की ओर फिसल जाता है।
घर्षण-रहित बंकित मोड़ (banked curve) के लिए सड़कों के बंकन के सूत्र का निगमन कीजिए।
कोण theta वाली बंकित सड़क पर (घर्षण रहित), गुरुत्वाकर्षण के अतिरिक्त केवल अभिलंब बल कार्य करता है। ऊर्ध्वाधर दिशा में वाहन का कोई त्वरण नहीं है: N cos theta = mg। क्षैतिज दिशा में अभिलंब का घटक केंद्र की ओर दिष्ट होता है और अभिकेन्द्रीय परिणामी प्रदान करता है: N sin theta = mv^2/r। दूसरे समीकरण को पहले से भाग देने पर N निरस्त हो जाता है और tan theta = v^2/rg प्राप्त होता है, जिससे डिज़ाइन (अनुकूलतम) चाल v0 = sqrt(rg tan theta) मिलती है। ठीक इसी चाल पर टायरों को किसी भी पाश्विक घर्षण की आवश्यकता नहीं होती, यही कारण है कि राजमार्गों पर मोड़ों को बंकित किया जाता है — मोड़ने का कार्य टायर की पकड़ नहीं बल्कि ज्यामिति करती है।
क्या होता है जब कोई वाहन अनुकूलतम चाल से कम या अधिक चाल पर बंकित मोड़ लेता है?
बंकन कोण केवल एक चाल, v0 = sqrt(rg tan theta) के लिए डिज़ाइन किया जाता है। v0 से कम चाल पर वाहन ढलान पर नीचे फिसलने की प्रवृत्ति रखता है, इसलिए घर्षण इसे रोकने के लिए ढलान के ऊपर की ओर कार्य करता है; v0 से अधिक चाल पर यह ढलान पर ऊपर फिसलने की प्रवृत्ति रखता है, इसलिए घर्षण ढलान के नीचे की ओर कार्य करता है। स्थैतिक घर्षण को शामिल करने पर, अनुमेय चाल परास की ऊपरी सीमा v^2 = rg (mu + tan theta)/(1 - mu tan theta) और निचली सीमा v^2 = rg (tan theta - mu)/(1 + mu tan theta) होती है। JEE Main में प्रायः ऊपरी सीमा पूछी जाती है; NEET में आमतौर पर घर्षण-रहित अनुकूलतम मान तक ही प्रश्न आते हैं।
केवल इसी डिवाइस पर सेव — कोई अकाउंट या साइन-इन नहीं।