यांत्रिकी में प्रश्नों को हल करना — FBD विधि (NCERT 4.11)
1. वह विधि जो प्रत्येक निकाय को हल करती है
NCERT इस अध्याय का समापन किसी नए भौतिक सिद्धांत के बजाय एक कार्यप्रणाली (procedure) के साथ करता है, और इसका एक ठोस कारण है: अनुभाग 4.11 वह आधारभूत प्रणाली है जो लैंप के संतुलन समीकरणों से लेकर सड़क के बंकन (banking) के व्युत्पत्ति तक सब कुछ संचालित करती है। इसका मूल आधार मुक्त पिंड आरेख (Free-Body Diagram - FBD) है — किसी एक पिंड का ऐसा विलगित चित्र जिसमें केवल और केवल उस पर लगने वाले सभी बल दर्शाए जाते हैं — साथ ही प्रत्येक पिंड के लिए प्रति अक्ष द्वितीय नियम का एक समीकरण लिखने का अनुशासन। निकाय की समस्याओं में अधिकांश परीक्षा त्रुटियाँ भौतिकी की त्रुटियाँ नहीं होतीं; वे वस्तुतः गणना-प्रबंधन (bookkeeping) की गलतियाँ होती हैं: गलत पिंड पर बल दर्शा देना, त्वरण के विपरीत अक्ष चुन लेना, या किसी बाध्यता (constraint) को छोड़ देना। नीचे दी गई पाँच-चरणीय दिनचर्या इन तीनों प्रकार की त्रुटियों को पूर्णतः समाप्त कर देती है।
पाँच चरण: (1) विलगित करें (Isolate): तय करें कि आपको किन पिंडों की आवश्यकता है और प्रत्येक को ब्रह्मांड में सर्वथा अकेला मानकर विचार करें। (2) आरेख बनाएं (Draw): प्रत्येक के लिए उसका FBD खींचें — भार ऊर्ध्वाधर नीचे; प्रत्येक संपर्क तल के लंबवत (⊥) अभिलंब बल; प्रत्येक डोरी के अनुदिश, पिंड से दूर की ओर तनाव बल; प्रत्येक सतह के अनुदिश, आपेक्षिक फिसलन का विरोध करता घर्षण बल (यांत्रिकी के सामान्य बलों के नियम)। (3) अक्षों का निर्धारण (Aim the axes): प्रत्येक पिंड के त्वरण की दिशा में एक अक्ष चुनें, और दूसरा इसके लंबवत (⊥) — इससे लंबवत दिशा का समीकरण विशुद्ध संतुलन बन जाता है। (4) समीकरण लिखें (Write): प्रत्येक पिंड के लिए ΣF∥ = ma∥ तथा ΣF⊥ = 0 (अथवा ma⊥) लिखें। (5) बाध्यता लागू करें और हल करें (Constrain and solve): शुद्धगतिक बाध्यताएँ जोड़ें (अवितान्य डोरी → परस्पर जुड़े पिंडों के लिए समान |a| और समान चाल), युगपत समीकरणों को हल करें, और अंत में सीमांत स्थितियों की जांच (limits-check) करें (जैसे किसी द्रव्यमान को बराबर करना, या घर्षण को शून्य करना, और देखना कि क्या उत्तर किसी ज्ञात परिणाम में रूपांतरित होता है)।
2. संपूर्ण सिद्धांत: बाध्यताएँ, संपर्क बल और संपूर्ण-निकाय शॉर्टकट
डोरी की बाध्यता (The string constraint): निश्चित लंबाई की एक अवितान्य (inextensible) डोरी अपने दोनों सिरों को डोरी के अनुदिश समान चाल और त्वरण के समान परिमाण से गति करने के लिए बाध्य करती है — एक पिंड जितना आगे बढ़ता है, दूसरे को भी उतना ही विस्थापित होना पड़ता है। एक आदर्श घिरनी (जो केवल डोरी की दिशा बदलती है) के साथ मिलकर, मेज-गुटका और लटके भार वाले निकाय में दोनों पिंडों का एक ही उभयनिष्ठ अज्ञात त्वरण और एक ही उभयनिष्ठ तनाव होता है — दो अज्ञात राशियाँ, और दो FBD समीकरण उन्हें यथार्थ रूप से हल कर देते हैं। यदि डोरी द्रव्यमानयुक्त होती या घिरनी में जड़त्व होता, तो घिरनी के दोनों ओर तनाव भिन्न होता — जो कक्षा 11 के आदर्श निकायों के दायरे से बाहर है।
एक के ऊपर एक रखे या धकेले गए गुटकों के बीच संपर्क बल: जब गुटके एक साथ गति करते हैं (एक इकाई के रूप में दबाए या धकेले जाते हैं), तो प्रत्येक संपर्क अंतरापृष्ठ (interface) पर एक संपर्क बल कार्य करता है, और न्यूटन का तृतीय नियम यह सुनिश्चित करता है कि यह दोनों आसन्न FBDs पर विपरीत दिशाओं में दिखाई दे। मानक युक्ति: पहले संपूर्ण-निकाय समीकरण से उभयनिष्ठ त्वरण की गणना करें, फिर सबसे आगे वाले पिंड (जिस पर F सीधे नहीं लगता) को विलगित करके उसके अंतरापृष्ठ बल को m·a के रूप में सीधे ज्ञात कर लें। इसका परिणाम अत्यंत सुव्यवस्थित होता है — घर्षण रहित फर्श पर बल F द्वारा धकेले गए गुटकों m₁, m₂, … के लिए, किसी भी आंतरिक सीमा पर बल उस सीमा के आगे स्थित (धकेले जा रहे) कुल द्रव्यमान गुणा उभयनिष्ठ त्वरण के बराबर होता है। "सीमा के आगे का द्रव्यमान × a" पंक्तिबद्ध गुटकों (blocks-in-train) के प्रत्येक प्रश्न का एक-पंक्ति उत्तर है, जिसमें JEE Main द्वारा पूछे जाने वाले तीन-गुटकों वाले प्रश्न भी शामिल हैं।
संपूर्ण-निकाय शॉर्टकट — और यह कब अमान्य होता है: दृढ़ता से जुड़े निकाय के सभी FBD समीकरणों को जोड़ने पर प्रत्येक आंतरिक बल (तनाव, संपर्क बल, तृतीय-नियम युग्म) परस्पर निरस्त हो जाता है और केवल (Σm)a = Fext शेष बचता है — यह उभयनिष्ठ त्वरण ज्ञात करने का सबसे तीव्र मार्ग है। यह शॉर्टकट केवल त्वरण ज्ञात करने के लिए मान्य है: यह कभी भी आंतरिक बलों जैसे T या संपर्क बल N को नहीं दे सकता, क्योंकि वे समीकरणों से निरस्त हो चुके होते हैं। जो विद्यार्थी संयुक्त समीकरण से सीधे तनाव निकालने का प्रयास करते हैं, वे गंभीर भूल करते हैं; तनाव केवल एकल-पिंड के समीकरण में ही विद्यमान रहता है। नियम याद रखें: त्वरण (a) के लिए संपूर्ण निकाय; आंतरिक बलों के लिए एकल पिंड।
जब निकाय में घर्षण शामिल हो: मेज पर रखे गुटके के नीचे घर्षण होने पर, केवल चिन्ह बदलते हैं: गति प्रारंभ होने से पहले लटके हुए भार को μm₁g पर विजय पानी होगी, जिससे a = (m₂ − μm₁)g/(m₁ + m₂) प्राप्त होता है — जो केवल तभी मान्य है जब m₂ > μm₁ हो; अन्यथा निकाय विरामावस्था में ही रहेगा और स्थैतिक घर्षण यथार्थतः m₂g के बराबर समायोजित हो जाएगा। यह सशर्त स्थिति ("क्या यह गति करेगा भी?") ठीक वही दो-चरणीय परीक्षण है जैसा घर्षण पृष्ठ पर था, जो अब एक निकाय में समाहित है — और NTA के कठिन आंकिक प्रश्नों की संरचना ठीक यही होती है।
3. दो प्रमुख निकायों का सचित्र निरूपण
चित्र 4.9 — दो निकाय जिन्हें प्रत्येक परीक्षा बार-बार दोहराती है
बाएं: संपर्क श्रृंखला — एक बल F, दो पिंड, एक अंतरापृष्ठ बल। दाएं: घिरनी निकाय — एक डोरी, एक तनाव T, दो भार, एक उभयनिष्ठ |a|। प्रत्येक पिंड को विलगित करते ही दोनों मात्र दो पंक्तियों में हल हो जाते हैं।
परीक्षा निष्कर्ष: बायां निकाय: संपूर्ण निकाय से a मिलता है, फिर m₂ का FBD C = m₂a देता है। दायां निकाय: संपूर्ण निकाय से a मिलता है, फिर m₁ का FBD T = m₁a देता है। वही दो-चरणीय विधि — त्वरण a के लिए संपूर्ण निकाय, आंतरिक बलों के लिए एकल पिंड — और प्रश्न बैंक का प्रत्येक घिरनी प्रश्न इसी का रूपांतरण मात्र है।
4. हल किए गए उदाहरण
उदाहरण 1 — घर्षण रहित फर्श पर संपर्क में रखे दो गुटके
एक घर्षण रहित क्षैतिज फर्श पर 15 N का क्षैतिज बल 3 kg के गुटके के संपर्क में रखे 2 kg के गुटके को धकेलता है। गुटकों का उभयनिष्ठ त्वरण और उनके बीच का संपर्क बल ज्ञात कीजिए।
हल (चरणबद्ध): संपूर्ण निकाय: a = F/(m₁ + m₂) = 15/5 = 3 m s⁻²। अब आगे वाले 3 kg के गुटके को विलगित करें: उस पर एकमात्र क्षैतिज बल संपर्क बल C है, अतः C = 3 × 3 = 9 N। पिछले गुटके से पुनः जाँच: F − C = 15 − 9 = 6 N = 2 × 3 ✓ — दोनों समीकरण संतुलित हैं। ध्यान दें कि C < F है: पिछला गुटका स्वयं को त्वरित करने के लिए 6 N "उपयोग" करता है, और आगे केवल 9 N प्रेषित करता है। तीन-गुटकों की श्रृंखला के लिए भी यही विधि प्रत्येक अंतरापृष्ठ पर बल = (उसके आगे का द्रव्यमान) × a देती है।
उदाहरण 2 — आदर्श घिरनी से जुड़ा मेज पर रखा गुटका (g = 10 m s⁻²)
घर्षण रहित मेज पर रखा 4 kg का एक गुटका घर्षण रहित घिरनी के ऊपर से गुजरने वाली हल्की डोरी द्वारा 2 kg के लटके हुए गुटके से जुड़ा है। त्वरण और तनाव ज्ञात कीजिए। इसके पश्चात मेज पर रखे गुटके के नीचे μk = 0.2 लेकर पुनः हल कीजिए।
हल: संपूर्ण निकाय (घर्षण रहित): a = m₂g/(m₁ + m₂) = 20/6 = 10/3 ≈ 3.33 m s⁻²। मेज पर रखे गुटके से तनाव: T = m₁a = 4 × 10/3 = 40/3 ≈ 13.3 N। लटके हुए गुटके पर सत्यापन: m₂g − T = 20 − 13.3 = 6.7 = 2 × 3.33 ✓। मूलभूत औचित्य परीक्षण: a < g ✓, T < m₂g = 20 N ✓। घर्षण सहित: कुल चालक बल = m₂g − μm₁g = 20 − 0.2 × 40 = 12 N → a = 12/6 = 2 m s⁻², तथा T = m₁a + μm₁g = 8 + 8 = 16 N (लटकते भाग की जाँच: 20 − 2 × 2 = 16 ✓)। गति संभव थी क्योंकि m₂g = 20 > μm₁g = 8 है।
5. अभ्यास प्रश्न
प्र. 1. 1 kg, 2 kg और 3 kg के तीन गुटके (इसी क्रम में) एक घर्षण रहित फर्श पर रखे हैं; 12 N का एक बल 1 kg के गुटके को अन्य गुटकों की ओर धकेलता है। त्वरण और दोनों संपर्क बल ज्ञात कीजिए।
उत्तर: a = 12/6 = 2 m s⁻²। 2 kg और 3 kg के बीच का अंतरापृष्ठ: आगे का द्रव्यमान = 3 kg → C₂ = 6 N। 1 kg और 2 kg के बीच का अंतरापृष्ठ: आगे का द्रव्यमान = 5 kg → C₁ = 10 N। 1 kg के गुटके पर जाँच: 12 − 10 = 2 = 1 × 2 ✓।
प्र. 2 (बहुविकल्पीय प्रश्न). घर्षण रहित मेज-घिरनी निकाय (मेज पर m₁, लटकता हुआ m₂) में, यदि m₂ को नियत रखते हुए m₁ → ∞ हो जाए, तो त्वरण और तनाव किस मान की ओर अग्रसर होंगे: (a) g और m₂g (b) 0 और 0 (c) 0 और m₂g (d) g और 0
उत्तर: (c) — a = m₂g/(m₁+m₂) → 0, तथा T = m₁m₂g/(m₁+m₂) → m₂g। मेज पर रखा गुटका गतिहीन हो जाता है, और डोरी लटके हुए भार को स्थैतिक रूप से संभालती है: यह सीमांत मान स्थिति-विज्ञान (statics) के परिणाम को पुनः प्रस्तुत करता है — ठीक वही सीमांत-जाँच की आदत जो यह पृष्ठ सिखाता है।
प्र. 3. मेज पर रखा एक 6 kg का गुटका (μk = 0.25) एक आदर्श घिरनी के ऊपर से 3 kg के लटके गुटके (g = 10 m s⁻²) से जुड़ा है। a और T ज्ञात कीजिए, तथा बताइए कि यदि लटके हुए द्रव्यमान को घटाकर 1 kg कर दिया जाए तो क्या होगा।
उत्तर: चालक बल की जाँच: m₂g = 30 N बनाम μm₁g = 15 N → गति होगी। a = (30 − 15)/9 = 5/3 ≈ 1.67 m s⁻²; T = m₁a + μm₁g = 10 + 15 = 25 N (लटकते भाग की जाँच: 30 − 3 × 5/3 = 25 ✓)। केवल 1 kg लटकने पर: चालक बल 10 N < 15 N (अधिकतम सीमा) → a = 0, स्थैतिक घर्षण = 10 N, कोई गति नहीं होगी — "क्या यह गति करता है?" स्थिति।
6. मुख्य सूत्र एवं स्मरणीय बिंदु
| निकाय | त्वरण | आंतरिक बल |
|---|---|---|
| संपर्क में रखे गुटके, बल F द्वारा धकेले गए (घर्षण रहित) | a = F/(m₁ + m₂) | संपर्क बल C = m₂a (आगे का द्रव्यमान × a) |
| मेज पर m₁ + लटकता हुआ m₂, घर्षण रहित | a = m₂g/(m₁ + m₂) | T = m₁m₂g/(m₁ + m₂) |
| वही, मेज के गुटके के नीचे μ सहित | a = (m₂ − μm₁)g/(m₁ + m₂) | T = m₁a + μm₁g (m₂ > μm₁ आवश्यक) |
| गति न होने की स्थिति | a = 0 | स्थैतिक घर्षण = m₂g ≤ μsm₁g |
एक वाक्य हर प्रकार के रूपांतरण में अक्षुण्ण रहता है: संपूर्ण निकाय → त्वरण a; एकल पिंड → आंतरिक बल। समीकरण लिखने से पहले दोनों FBD बना लें, फिर बीजगणित में आपसे कभी कोई भूल नहीं होगी।
7. अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)
मुक्त पिंड आरेख (FBD) की सहायता से यांत्रिकी की समस्या को हल करने के क्या चरण हैं?
चरण 1: उन पिंडों का चयन करें जिनकी गति का अध्ययन करना है और प्रत्येक को मानसिक रूप से विलगित (isolate) करें। चरण 2: प्रत्येक पिंड का मुक्त पिंड आरेख बनाएं जिसमें उस पर लगने वाले सभी बल दर्शाए गए हों — भार ऊर्ध्वाधर नीचे, संपर्क तलों के लंबवत अभिलंब बल, डोरियों के अनुदिश पिंड से दूर तनाव बल, और सतहों के समांतर आपेक्षिक गति का विरोध करता घर्षण बल — ध्यान रहे कि पिंड द्वारा दूसरों पर लगाए गए बल इसमें शामिल न हों। चरण 3: प्रत्येक पिंड के लिए बुद्धिमानी से अक्षों का चयन करें, एक अक्ष पिंड के त्वरण के अनुदिश और दूसरा इसके लंबवत। चरण 4: प्रत्येक पिंड के लिए ΣFx = max और ΣFy = may समीकरण लिखें। चरण 5: बाध्यता समीकरण जोड़ें (जैसे अवितान्य डोरी से जुड़े पिंडों के त्वरण का परिमाण समान होता है) और हल करें, फिर सीमाओं (जैसे समान द्रव्यमान, घर्षण रहित स्थिति) की जांच करके बीजगणित का सत्यापन करें।
एक साथ धकेले जाने वाले दो गुटकों के बीच संपर्क बल (contact force) कैसे ज्ञात करते हैं?
पहले घर्षण रहित क्षैतिज फर्श पर उभयनिष्ठ त्वरण a = F/(m1 + m2) प्राप्त करने के लिए दोनों गुटकों को एक संयुक्त निकाय मानें। फिर केवल आगे वाले गुटके (जिस पर F सीधे नहीं लगता) का मुक्त पिंड आरेख बनाएं: उस पर एकमात्र क्षैतिज बल पीछे से धकेले जा रहे गुटके द्वारा लगाया गया संपर्क बल है, अतः यह संपर्क बल उसके द्रव्यमान तथा a के गुणनफल के बराबर होता है — उदाहरण के लिए 15 N से धकेले गए 2 kg और 3 kg के गुटकों के लिए a = 3 m/s^2 तथा संपर्क बल 3 × 3 = 9 N होगा। वैकल्पिक रूप से, आगे वाले गुटके के आरेख से, F में से संपर्क बल घटाने पर उसे त्वरण मिलता है। संपर्क बल सदैव F से कम होता है और कुल द्रव्यमान में दूसरे गुटके के हिस्से के अनुपात में विभाजित होता है।
घिरनी के ऊपर से डोरी द्वारा लटके हुए गुटके से जुड़ी मेज पर रखी वस्तु के लिए त्वरण और तनाव क्या होते हैं?
घर्षण रहित मेज, हल्की डोरी और आदर्श घिरनी के लिए: लटका हुआ द्रव्यमान m2 पूरे निकाय को त्वरित करता है, अतः a = m2 g/(m1 + m2) होता है। डोरी में तनाव मेज पर रखे गुटके के समीकरण T = m1 a = m1 m2 g/(m1 + m2) से प्राप्त होता है, और एक आदर्श डोरी में सर्वत्र एकसमान रहता है। दोनों मान सदैव चरम सीमाओं के बीच होते हैं — a का मान g से कम तथा T का मान m2 g से कम किंतु शून्य से अधिक होता है — त्वरित औचित्य परीक्षण जो बीजगणितीय त्रुटियों को पकड़ लेते हैं। मेज पर रखे गुटके के नीचे घर्षण जोड़ने पर a = (m2 − mu m1)g/(m1 + m2) प्राप्त होता है, जो केवल तब मान्य है जब m2 > mu m1 हो।
एक अक्ष को सदैव त्वरण की दिशा में क्यों चुना जाना चाहिए?
क्योंकि गति का द्वितीय नियम प्रति अक्ष लागू होने वाला एक सदिश नियम है: त्वरण की दिशा में एक अक्ष चुनने से उसके लंबवत अक्ष का समीकरण शुद्ध संतुलन (उस अक्ष के अनुदिश ΣF = 0) बन जाता है। इससे समस्या दो त्वरित समीकरणों के बजाय एक त्वरित समीकरण और एक संतुलन समीकरण में विभाजित हो जाती है। आनत तल पर इसका अर्थ है तल के समांतर और लंबवत अक्ष चुनना; क्षैतिज फर्श पर खींचे गए गुटके के लिए क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर अक्ष। लापरवाही से अक्ष चुनने पर प्रत्येक समीकरण में घटकों का मिश्रण हो जाता है और गणना तथा त्रुटियों की संभावना बहुत बढ़ जाती है — निकाय की समस्याओं में अंक कटने का यह सबसे बड़ा परिहार्य कारण है।
केवल इसी डिवाइस पर सेव — कोई अकाउंट या साइन-इन नहीं।