यांत्रिकी में सामान्य बल — भार, अभिलंब, तनाव, कमानी (NCERT 4.9)
1. यांत्रिकी की कार्यशील बल-सूची
विद्यालयीय यांत्रिकी में प्रत्येक मुक्त पिण्ड आरेख (Free-Body Diagram) एक संक्षिप्त बल-सूची से निर्मित होता है: भार (गुरुत्वाकर्षण का खिंचाव), अभिलंब प्रतिक्रिया (सतह का लंबवत धक्का), तनाव (डोरी की लंबाई के अनुदिश उसका खिंचाव), कमानी बल (प्रत्यानयन खिंचाव या धक्का), और — अत्यधिक महत्वपूर्ण होने के कारण इसका अपना अलग पृष्ठ है — घर्षण, जो संपर्क बलों का स्पर्शरेखीय घटक है। पिछले पृष्ठों के नियम आपको बताते हैं कि बल गति को कैसे नियंत्रित करते हैं; यह पृष्ठ बताता है कि ये बल क्या हैं, प्रत्येक किस दिशा में निर्दिष्ट होता है, और — सबसे महत्वपूर्ण — इनमें से कौन-सा बल परिस्थितियों के अनुसार स्वयं को समायोजित करता है। इस सूची की दो प्रविष्टियाँ प्रकृति द्वारा निश्चित हैं (भार mg है, कमानी बल kx है), और दो प्रतिक्रिया बल (response forces) हैं जिनके परिमाण परिस्थिति तय करती है (अभिलंब बल और स्थैतिक घर्षण)। यही निश्चित-बनाम-समायोज्य अंतर NTA द्वारा पूछे जाने वाले प्रत्येक FBD प्रश्न की वैचारिक रीढ़ है।
इस सूची को रटने की सूची के रूप में नहीं, बल्कि आरेख बनाने के अनुशासन के रूप में समझें: प्रत्येक बल के लिए (i) इसका स्रोत पिंड, (ii) इसकी दिशा का नियम, (iii) इसके परिमाण का नियम, और (iv) क्या यह समाप्त हो सकता है, यह अवश्य जानें। भार: स्रोत पृथ्वी, सदैव नीचे की ओर, mg, कभी समाप्त नहीं होता। अभिलंब बल: स्रोत संपर्क सतह, सतह के लंबवत, "जितनी आवश्यकता हो", शून्य हो सकता है (संपर्क समाप्त होने पर)। तनाव: स्रोत डोरी, डोरी के अनुदिश वस्तु से दूर, "जितनी आवश्यकता हो" (द्वितीय नियम द्वारा निर्धारित), डोरी ढीली होने पर शून्य हो जाता है। घर्षण: स्रोत सतह, सतह के अनुदिश आपेक्षिक फिसलन का विरोध करते हुए, अधिकतम μsN तक, बिना दबाए शून्य हो जाता है (इसका विस्तृत विवेचन घर्षण पृष्ठ पर है)।
2. संपूर्ण सिद्धांत: प्रत्येक बल, नियम और परिमाण
भार (Weight)। W = mg, पृथ्वी का गुरुत्वाकर्षण खिंचाव, ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर निर्दिष्ट, (गणना की सुगमता हेतु) वस्तु के गुरुत्व केंद्र पर कार्यरत। इसका मान स्थान द्वारा निर्धारित होता है — ऊँचाई और अक्षांश के साथ g घटता है, जो गुरुत्वाकर्षण अध्याय का विषय है — परंतु किसी एक प्रश्न में यह एक निश्चित, ज्ञात सदिश होता है। किसी वस्तु के भार का तृतीय-नियम युग्म (क्रिया-प्रतिक्रिया भागीदार) पृथ्वी पर वस्तु द्वारा लगाया गया समान खिंचाव है, न कि उस पर लगने वाला अभिलंब बल (यह अंतर न्यूटन के गति के तृतीय नियम पृष्ठ पर स्पष्ट किया गया है)।
अभिलंब प्रतिक्रिया — पाँच स्थितियाँ जिन्हें NTA बार-बार दोहराता है। अभिलंब बल सतह को दबाए जाने पर उसकी लंबवत प्रतिक्रिया है; इसका मान लंबवत अक्ष के द्वितीय-नियम समीकरण की आवश्यकता के बराबर होता है। (1) क्षैतिज सतह, कोई अन्य ऊर्ध्वाधर बल नहीं: N = mg। (2) θ कोण का नत समतल: N = mg cos θ — mg से कम, क्योंकि सतह केवल लंबवत घटक का उत्तर देती है। (3) क्षैतिज तल पर क्षैतिज से नीचे θ कोण पर दबाने वाला बल F: N = mg + F sin θ — दबाने से N बढ़ता है। (4) क्षैतिज से ऊपर θ कोण पर खींचने वाला बल F: N = mg − F sin θ — ऊपर खींचने से N घटता है; यदि F sin θ = mg हो, तो N शून्य हो जाता है और वस्तु सतह छोड़ देती है। (5) ऊर्ध्वाधर रूप से a त्वरण से गतिमान लिफ्ट: ऊपर की ओर त्वरित लिफ्ट में N = m(g + a), नीचे की ओर त्वरित लिफ्ट में N = m(g − a), मुक्त पतन में N = 0 (आभासी भार परिवार, जो मुख्य पृष्ठ पर सारणीबद्ध है)। स्थिति 3 का दोहरा महत्व है: चूँकि घर्षण N के समानुपाती होता है, इसलिए गुटके को अधिक जोर से दबाने पर उसे खिसकाना भी कठिन हो जाता है — यह दो-परतीय प्रश्न NTA को विशेष प्रिय है।
तनाव और आदर्श डोरी-घिरनी निकाय। तनावयुक्त डोरी प्रत्येक सिरे को स्वयं के अनुदिश, उससे बँधी वस्तु से दूर खींचती है — डोरियाँ कभी धक्का नहीं दे सकतीं। एक हल्की (द्रव्यमानहीन) डोरी के किसी भी खंड पर न्यूटन का द्वितीय नियम लागू करने पर दोनों सिरों पर समान खिंचाव प्राप्त होता है; घर्षणरहित, द्रव्यमानहीन घिरनी पर वही तर्क T को सर्वत्र एकसमान बनाता है — घिरनी बल को मोड़ती है, उसे घटाती नहीं है। इस प्रकार जुड़ी हुई दो वस्तुएँ एक ही तनाव और एक ही चाल साझा करती हैं (डोरी की लंबाई स्थिर रहती है), तथ्यों का यह युग्म प्रत्येक मेज-गुटका-घिरनी निकाय को हल करने योग्य बनाता है; हल किए गए निकाय यांत्रिकी में समस्याओं को हल करना पृष्ठ पर दिए गए हैं। जब डोरी काटी जाती है, तो उसका तनाव तत्काल शून्य हो जाता है — "काटने के ठीक बाद त्वरण ज्ञात कीजिए" वाले प्रश्नों में यह एक पसंदीदा युक्ति है, जहाँ शेष बचे बलों को अचानक वस्तु को त्वरित करना पड़ता है।
कमानी बल (हुक का नियम)। अपनी प्रत्यास्थता सीमा के भीतर एक कमानी अपनी प्राकृतिक लंबाई से विस्थापन का विरोध F = kx के साथ करती है, जो वापस प्राकृतिक लंबाई की ओर निर्दिष्ट होता है (सदिश रूप F = −kx)। स्थिरांक k (N m⁻¹) कठोरता को मापता है; यह कमानी का गुण है, परिस्थिति का नहीं। साम्यावस्था में ऊर्ध्वाधर लटकाने पर kx = mg प्राप्त होता है — जो बल सूची और द्वितीय नियम के बीच मानक सेतु है। परीक्षा की दृष्टि से कमानी डोरियों से एक महत्वपूर्ण तरीके से भिन्न होती है: कमानी का बल तात्क्षणिक रूप से नहीं बदल सकता (विस्तार में परिवर्तन के लिए समय चाहिए), इसलिए "काटने के ठीक बाद" वाले प्रश्न जो डोरी के तनाव को शून्य कर देते हैं, वे कमानी के बल को उस क्षण अपरिवर्तित छोड़ते हैं। कमानियाँ ऊर्जा भी संचित करती हैं — ½kx² का लेखा-जोखा कार्य, ऊर्जा और शक्ति अध्याय का हिस्सा है।
संपर्क बलों का वियोजन। सतह और वस्तु के बीच कुल संपर्क अन्योन्यक्रिया एक ही बल होती है; हम सामान्यतः इसे लंबवत घटक (अभिलंब बल) और स्पर्शरेखीय घटक (घर्षण) में वियोजित करते हैं। यह संकल्पना दोनों प्रतिक्रिया बलों को एक साथ स्पष्ट करती है: अधिक जोर से दबाने पर संपूर्ण संपर्क बल बढ़ता है — इसका लंबवत घटक (अधिक N) और इसके साथ घर्षण की अधिकतम सीमा (μsN)। यांत्रिकी में कुछ भी "केवल N" या "केवल घर्षण" नहीं होता; वे एक ही धक्के के दो घटक (प्रक्षेप) हैं।
3. एक गुटके पर बल-सूची का दृश्य निरूपण
चित्र 4.6 — बल-सूची का प्रदर्शन: एक गुटका, प्रत्येक मानक बल
लाल: भार (स्रोत पृथ्वी, सीधे नीचे, mg)। नीला: अभिलंब बल (स्रोत फर्श, सतह के ⊥, "आवश्यकतानुसार")। हरा: 37° पर आरोपित खिंचाव (स्रोत रस्सी/हाथ)। नारंगी: घर्षण (स्रोत फर्श, सतह के अनुदिश, फिसलन का विरोधी)।
परीक्षा विश्लेषण: 37° खिंचाव के साथ, ऊर्ध्वाधर अक्ष समीकरण देता है N + F sin 37° = mg → N = mg − 0.6F: ऊपर खींचने से संपर्क बल हल्का हो जाता है। क्षैतिज अक्ष समीकरण देता है F cos 37° − f = ma। एक ही आरेख, दो स्वतंत्र समीकरण — बल की भाषा में अध्याय 3 का अक्ष-अनुशासन।
4. हल किए गए उदाहरण
उदाहरण 1 — दबाना बनाम खींचना: वही 40 N बल, दो भिन्न N मान (g = 10 m s⁻²)
5 kg का एक गुटका घर्षणरहित फर्श पर विराम में रखा है। इस पर 37° पर 40 N का बल कार्य करता है — स्थिति (a) में क्षैतिज से नीचे 37° पर दबाया जाता है, स्थिति (b) में क्षैतिज से ऊपर 37° पर खींचा जाता है। प्रत्येक स्थिति में N और त्वरण ज्ञात कीजिए।
हल (चरण-दर-चरण): (a) दबाना: ऊर्ध्वाधर अक्ष N = mg + F sin 37° = 50 + 40 × 0.6 = 74 N; क्षैतिज त्वरण a = F cos 37°/m = 32/5 = 6.4 m s⁻²। (b) खींचना: N = mg − F sin 37° = 50 − 24 = 26 N; क्षैतिज त्वरण a अपरिवर्तित रहता है 6.4 m s⁻² (क्षैतिज घटक वही 32 N है)। समान आरोपित बल, समान त्वरण — परंतु संपर्क बल में 48 N का अंतर आता है। खुरदुरे फर्श पर यह अंतर घर्षण (μN) को बदल देता और इस प्रकार a भी बदल जाता; घर्षण पृष्ठ पर ठीक यही अगला चरण समझाया गया है।
उदाहरण 2 — लटके हुए द्रव्यमान को थामे कमानी
3 kg का एक गुटका ऊर्ध्वाधर कमानी से विराम में लटक रहा है, जिससे उसमें 5 cm का खिंचाव उत्पन्न होता है। k का मान ज्ञात कीजिए, तथा उसी कमानी पर 2 kg का गुटका लटकाने पर उत्पन्न खिंचाव ज्ञात कीजिए (g = 10 m s⁻²)।
हल: 3 kg गुटके की साम्यावस्था: kx = mg → k = 30/0.05 = 600 N m⁻¹। 2 kg गुटके के लिए: x = mg/k = 20/600 = 1/30 m ≈ 3.33 cm। रैखिकता पर ध्यान दें — खिंचाव (विस्तार) लटके हुए द्रव्यमान के समानुपाती होता है, यही कारण है कि द्रव्यमान दोगुना करने पर x दोगुना हो जाता है और साम्यावस्था समीकरण में k कभी दो बार नहीं आता। यदि 3 kg के गुटके को 6 kg से बदल दिया जाए, तो खिंचाव 10 cm होगा और कमानी 60 N का खिंचाव आरोपित करेगी — अभ्यास के रूप में इसकी जाँच करें।
5. अभ्यास प्रश्न
Q1. 60 kg की एक महिला लिफ्ट में रखी एक भार मापने वाली तुला पर खड़ी है। तुला का पाठ्यांक (न्यूटन और "kg" में) ज्ञात कीजिए जब लिफ्ट (i) 5 m/s के नियत वेग से ऊपर जा रही हो, (ii) 2 m s⁻² के त्वरण से ऊपर त्वरित हो रही हो, (iii) 2 m s⁻² के त्वरण से नीचे त्वरित हो रही हो, (iv) मुक्त रूप से गिर रही हो (g = 10 m s⁻²)।
उत्तर: (i) N = mg = 600 N → 60 kg (नियत वेग कुछ नहीं बदलता); (ii) N = m(g + a) = 60 × 12 = 720 N → 72 kg; (iii) N = m(g − a) = 60 × 8 = 480 N → 48 kg; (iv) N = 0 → 0 kg — भारहीनता, यद्यपि mg अब भी कार्य करता है। केवल त्वरण ही पाठ्यांक निर्धारित करता है; वेग तुला के लिए अदृश्य होता है।
Q2 (MCQ). एक हल्की डोरी घर्षणरहित घिरनी के ऊपर से गुजरती हुई 3 kg और 5 kg के दो द्रव्यमानों को जोड़ती है। तनाव होगा: (a) 50 N (b) 30 N (c) 30 और 50 N के बीच, दोनों ओर समान (d) दोनों ओर भिन्न
उत्तर: (c) — एक आदर्श डोरी का अर्थ है एक ही T; समस्याओं को हल करने वाले पृष्ठ पर द्वितीय-नियम निकाय देता है T = 2m₁m₂g/(m₁+m₂) = 2 × 15 × 10/8 = 37.5 N, जो दोनों भारों (30 और 50 N) के बीच स्थित है। विकल्प (a) और (d) आदर्श डोरी के नियम का उल्लंघन करते हैं।
Q3. फर्श पर रखे 10 kg के एक गुटके को क्षैतिज से 53° ऊपर 50 N की रस्सी से खींचा जाता है। यदि फर्श घर्षणरहित हो, तो N और क्षैतिज त्वरण ज्ञात कीजिए (g = 10 m s⁻²)।
उत्तर: ऊर्ध्वाधर: N = mg − F sin 53° = 100 − 50 × 0.8 = 60 N। क्षैतिज: a = F cos 53°/m = 50 × 0.6/10 = 3 m s⁻²। यह खिंचाव भार के 40 N हिस्से को संभाल लेता है — यदि कोण को 53° से अधिक बढ़ाया जाए तो N घटता जाएगा; F sin θ = 100 N पर गुटका N = 0 के साथ फर्श छोड़ देगा।
6. मुख्य सूत्र एवं महत्वपूर्ण निष्कर्ष
| बल | दिशा का नियम | परिमाण का नियम |
|---|---|---|
| भार mg | ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर | निश्चित = mg (g स्थान पर निर्भर करता है) |
| अभिलंब बल N | संपर्क सतह के ⊥, सतह से दूर | लंबवत अक्ष समीकरण की आवश्यकतानुसार (0 से mg + …) |
| तनाव T | डोरी के अनुदिश, वस्तु से दूर | निकाय की आवश्यकतानुसार; आदर्श डोरी में एकसमान |
| कमानी बल F | प्रत्यानयन (प्राकृतिक लंबाई की ओर) | प्रत्यास्थता सीमा के भीतर F = kx |
| घर्षण f | सतह के अनुदिश, आपेक्षिक गति का विरोधी | fs ≤ μsN; fk = μkN (अगला पृष्ठ) |
विभिन्न स्थितियों के सूत्र: N = mg; mg cos θ; mg + F sin θ; mg − F sin θ; m(g + a); m(g − a); 0। इनमें से प्रत्येक N के लिए हल किया गया केवल ऊर्ध्वाधर (या लंबवत) द्वितीय-नियम समीकरण है — इसे उत्पन्न करने वाले अक्षीय रेखाचित्र के बिना कभी भी सीधे रटने का प्रयास न करें।
7. अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)
अभिलंब प्रतिक्रिया क्या है, और यह किस दिशा में कार्य करती है?
अभिलंब प्रतिक्रिया N वह संपर्क बल है जो कोई सतह उस पर रखी या उस पर दबने वाली वस्तु पर लगाती है। यह संपर्क सतह के लंबवत, सतह से बाहर की ओर कार्य करता है, और इसका परिमाण लंबवत अक्षीय गति के द्वितीय नियम के समीकरण की आवश्यकतानुसार स्वतः समायोजित होता है — यह mg पर स्थिर नहीं रहता। किसी क्षैतिज तल पर बिना किसी अन्य ऊर्ध्वाधर बल के N = mg होता है; नत समतल पर N = mg cos θ; ऊपर की ओर त्वरित लिफ्ट में N = m(g + a); यदि कोई रस्सी किसी वस्तु को कोण θ पर ऊपर खींचती है, तो N = mg − F sin θ होता है। जब आवश्यक मान ऋणात्मक हो जाता है, तो संपर्क समाप्त हो जाता है और N = 0 हो जाता है।
अभिलंब बल भार के बराबर कब होता है, और कब नहीं?
N = mg केवल तभी होता है जब सतह क्षैतिज हो, आरोपित बल का कोई ऊर्ध्वाधर घटक न हो, और वस्तु में कोई ऊर्ध्वाधर त्वरण न हो। नत समतल पर (N = mg cos θ), किसी कोण पर बल आरोपित होने पर (N = mg ± F sin θ), त्वरित लिफ्ट में (N = m(g ± a)), और मुक्त पतन में (N = 0 जबकि भार mg ही रहता है) यह संबंध लागू नहीं होता। NTA इसी मुख्य अंतर पर प्रश्न बनाता है: भार गुरुत्वाकर्षण का खिंचाव है जो कभी समाप्त नहीं होता; जबकि अभिलंब बल एक संपर्क प्रतिक्रिया है जो स्थिति के अनुसार समायोजित होती है — यहाँ तक कि शून्य भी हो सकती है।
क्या किसी घिरनी के ऊपर से गुजरने वाली डोरी में सर्वत्र तनाव समान रहता है?
हाँ, घर्षणरहित, द्रव्यमानहीन घिरनी के ऊपर से गुजरने वाली आदर्श (द्रव्यमानहीन) डोरी के लिए: त्वरित होने हेतु कोई द्रव्यमान न होने और फिसलने का विरोध करने हेतु कोई घर्षण न होने के कारण, डोरी में तनाव का कोई अंतर नहीं हो सकता, अतः दोनों ओर T एकसमान होता है — घिरनी केवल तनाव की दिशा बदलती है, इसका परिमाण नहीं। दोनों जुड़ी वस्तुओं पर समान T कार्य करता है। यदि घिरनी में द्रव्यमान (या घर्षण) हो, तो दोनों ओर के तनाव भिन्न होते हैं, जो घूर्णन गति का विषय है। द्रव्यमानयुक्त डोरी या अपने ही भार से तनी डोरी भी आदर्श स्थिति को समाप्त कर देती है।
कमानी बल क्या है और कमानी स्थिरांक का क्या अर्थ है?
खिंची हुई या संपीड़ित कमानी (स्प्रिंग) एक प्रत्यानयन बल आरोपित करती है जो इसकी प्राकृतिक लंबाई को पुनः प्राप्त करने का प्रयास करता है: परिमाण में F = kx, जो विस्थापन के विपरीत दिशा में निर्दिष्ट होता है (सदिश रूप में F = -kx)। कमानी स्थिरांक k न्यूटन प्रति मीटर (N/m) में कठोरता को मापता है — k = 500 N/m वाली कमानी को 1 m खींचने के लिए 500 N बल की आवश्यकता होती है। प्रत्यास्थता सीमा के भीतर यह संबंध रैखिक होता है: विस्तार दोगुना करने पर बल दोगुना हो जाता है। साम्यावस्था में द्रव्यमान m लटकाने पर kx = mg प्राप्त होता है, जो परीक्षा प्रश्नों में कमानियों को भार से जोड़ने का मानक तरीका है।
केवल इसी डिवाइस पर सेव — कोई अकाउंट या साइन-इन नहीं।