कण का संतुलन — संगामी बल, लामी की प्रमेय (NCERT 4.8)
1. संतुलन क्या है?
कोई कण संतुलन (equilibrium) में तब होता है जब उस पर कार्य करने वाले सभी बलों का सदिश योग शून्य हो — ΣF = 0, जिसका अर्थ है स्वतंत्र रूप से ΣFx = 0 तथा ΣFy = 0। संतुलन का अर्थ है शून्य त्वरण (zero acceleration), न कि शून्य बल: पिंड विरामावस्था में हो सकता है (स्थैतिक संतुलन) या नियत वेग से गति कर सकता है (गतिक संतुलन — जिसकी व्याख्या प्रथम नियम करता है)। यह पृष्ठ इस अध्याय की स्थिति-विज्ञान (statics) कार्यशाला है: लटकते हुए लैंप, साइनबोर्ड, नत समतल पर रखे गुटके — ऐसा कोई भी परिदृश्य जहाँ कुछ भी त्वरित नहीं होता और अज्ञात राशियाँ स्वयं बल होती हैं। NTA के इन प्रश्नों का प्रारूप अत्यंत सुसंगत है: दो अज्ञात तनाव या एक तनाव व अभिलंब बल, जिन्हें दो अक्षों के अनुदिश वियोजित किया जाता है, और मुक्त पिंड आरेख (FBD) सही बनते ही दो पंक्तियों में हल हो जाते हैं।
कण की संकल्पना (particle idealisation) यहाँ महत्वपूर्ण है: हम पिंड को एक बिंदु मानते हैं ताकि प्रत्येक बल की क्रिया-रेखा उसी से होकर गुजरे — संगामी बल (concurrent forces)। इस प्रकार किसी घूर्णन गणना की आवश्यकता नहीं होती (जो कणों के निकाय तथा घूर्णी गति में दृढ़ पिंडों के अंतर्गत आती है), और एकल सदिश शर्त ΣF = 0 ही संपूर्ण स्थिति स्पष्ट करती है। परीक्षा में आने वाली अधिकांश प्रणालियाँ दो-डोरियों वाले लैंप या नत समतल पर रखे गुटके की होती हैं जहाँ संगामिता (concurrency) स्वतः सिद्ध होती है।
2. संपूर्ण सिद्धांत: शर्तें, लामी की प्रमेय और FBD की आदत
दो-बल और तीन-बल के नियम: दो संगामी बल केवल तभी संतुलित हो सकते हैं जब वे समान, विपरीत और संरेखी (collinear) हों — अन्यथा एक परिणामी बल शेष रह जाता है। तीन संगामी बल तब संतुलित होते हैं जब उन्हें क्रम में (शीर्ष-से-पूँछ) व्यवस्थित करने पर वे एक बंद त्रिभुज बनाते हैं: इसे संतुलन का त्रिभुज नियम (triangle rule of equilibrium) कहते हैं। यह बंद त्रिभुज ज्यामितीय रूप में वस्तुतः लामी की प्रमेय ही है: बल त्रिभुज पर ज्या नियम (sine rule) लागू करने पर प्रत्येक बल अन्य दो बलों के बीच के कोण की ज्या (sine) के समानुपाती होता है। चार या अधिक बलों के लिए: घटकों में वियोजित करें — ΣFx = 0, ΣFy = 0 — और युगपत समीकरणों को हल करें।
परीक्षाओं के लिए लामी की प्रमेय का कथन: यदि किसी पिंड पर कार्य कर रहे तीन संगामी (समतलीय) बल उसे संतुलन में रखते हैं, तो F₁/sin α = F₂/sin β = F₃/sin γ, जहाँ α बल F₂ और F₃ के बीच का कोण (F₁ के सम्मुख कोण) है, और इसी प्रकार β तथा γ भी हैं। कोण का चयन ही इस प्रमेय का एकमात्र भ्रम (trap) है: α आपके आरेख में F₁ के आसन्न (adjacent) कोण नहीं है — यह इसके ठीक सामने (सम्मुख) का कोण है। 37°/53° लैंप वाले उदाहरण (उदाहरण 1) में, डोरियों और ऊर्ध्वाधर बल के बीच के कोण 143° और 127° हैं, जिनकी ज्या (sine) sin 37° और sin 53° के बराबर होती है — संपूरक कोण सर्वसमिका sin(180° − θ) = sin θ ही वह कारण है जिससे गलत कोण चुनने वाले छात्र भी आधे समय संयोगवश सही उत्तर तक पहुँच जाते हैं, और शेष आधे समय निगमन (derivation) के अंक गँवा देते हैं।
FBD की आदत: स्थिति-विज्ञान का प्रत्येक हल एक मुक्त पिंड आरेख (free-body diagram - FBD) से शुरू होता है: पिंड को अलग (isolate) करें, केवल उस पर लगने वाले बलों को दर्शाएँ (उसके केंद्र से नीचे की ओर भार; प्रत्येक संपर्क सतह के लंबवत अभिलंब बल; प्रत्येक डोरी के अनुदिश, पिंड से दूर की ओर तनाव; सतह के अनुदिश आसन्न गति का विरोध करता घर्षण)। इसके बाद अक्षों का चयन करें — नत समतल के लिए, सतह के अनुदिश और लंबवत — तथा प्रत्येक अक्ष के लिए एक शून्य-योग समीकरण लिखें। समस्या-समाधान पृष्ठ इस आदत को पाँच-चरणीय प्रक्रिया में बदलता है; यहाँ हम इसे दो बार लागू करते हैं।
घर्षणरहित नत समतल पर स्थित गुटका — मानक प्रणाली: θ कोण वाले चिकने नत समतल पर द्रव्यमान m का एक गुटका, जिसे ढलान के समानांतर एक डोरी द्वारा रोका गया है: नत समतल के अनुदिश वियोजित करने पर, T = mg sin θ; इसके लंबवत, N = mg cos θ। यहाँ एक उत्कृष्ट संगति जाँच पर ध्यान दें — नत समतल पर N < mg होता है क्योंकि सतह को केवल भार के लंबवत घटक को संतुलित करना होता है। यही दो घटक (mg sin θ, mg cos θ) घर्षण पृष्ठ पर और वृत्तीय गति गतिकी पृष्ठ के बंकन (banking) निगमन में पुनः दिखाई देते हैं; घटकों के वियोजन को समझें, उत्तरों को रटने से बचें।
3. दो डोरियों पर लटके लैंप का दृश्य निरूपण
चित्र 4.5 — तीन संगामी बल, एक बंद त्रिभुज
दोनों डोरियों के तनाव डोरियों के अनुदिश छत की ओर खींचते हैं; भार सीधे नीचे की ओर खींचता है। तीनों क्रिया-रेखाएँ लैंप पर मिलती हैं — यह संगामिता का प्रत्यक्ष उदाहरण है।
परीक्षा विश्लेषण: क्षैतिज संतुलन: T₁ cos 37° = T₂ cos 53°। ऊर्ध्वाधर संतुलन: T₁ sin 37° + T₂ sin 53° = mg। दो समीकरण, दो अज्ञात — और अध्याय 3 के 3-4-5 त्रिक के साथ, 20 kg लैंप के लिए उत्तर स्पष्ट पूर्णांक आते हैं: 120 N तथा 160 N।
4. हल किए गए उदाहरण
उदाहरण 1 — 37°/53° लैंप (g = 10 m s⁻²)
एक 20 kg का लैंप दो डोरियों से लटका है जो क्षैतिज छत के साथ 37° और 53° का कोण बनाती हैं। दोनों डोरियों में तनाव ज्ञात कीजिए।
हल (चरण-दर-चरण): लैंप का FBD: 37° वाली डोरी के अनुदिश T₁, 53° वाली डोरी के अनुदिश T₂, नीचे की ओर mg = 200 N। क्षैतिज संतुलन: T₁ cos 37° = T₂ cos 53° → 0.8T₁ = 0.6T₂ → T₂ = (4/3)T₁। ऊर्ध्वाधर संतुलन: T₁ sin 37° + T₂ sin 53° = 200 → 0.6T₁ + 0.8 × (4/3)T₁ = (5/3)T₁ = 200 → T₁ = 120 N, T₂ = 160 N। जाँच: अधिक ढलान वाली डोरी (53°) अधिक भार वहन करती है — भार का वितरण ज्यामिति से निर्धारित होता है, सममिति से नहीं। लामी प्रमेय द्वारा पुनः जाँच: तीनों बलों की दिशाएँ 143°, 53° और −90° हैं, जिससे परस्पर युग्म कोण 90° (तनाव बलों के बीच), 143° (T₂ और mg के बीच) तथा 127° (T₁ और mg के बीच) प्राप्त होते हैं; अतः T₁/sin 143° = 120/sin 37° = 200, T₂/sin 127° = 160/sin 53° = 200, और mg/sin 90° = 200 — एक समान अनुपात, संतुलन सत्यापित।
उदाहरण 2 — घर्षणरहित 37° नत समतल पर स्थित गुटका (g = 10 m s⁻²)
एक 10 kg का गुटका 37° के चिकने नत समतल पर विराम में है, जिसे ढलान के समानांतर एक हल्की डोरी द्वारा रोका गया है। तनाव तथा अभिलंब प्रतिक्रिया ज्ञात कीजिए।
हल: नत समतल के अनुदिश/लंबवत अक्ष (यह चयन दोनों समीकरणों में प्रति अज्ञात केवल एक बल प्रदान करता है)। नत समतल के अनुदिश: T = mg sin 37° = 10 × 10 × 0.6 = 60 N। लंबवत: N = mg cos 37° = 10 × 10 × 0.8 = 80 N। ध्यान दें कि N < mg = 100 N — नत समतल केवल लंबवत घटक को वहन करता है। यदि डोरी काट दी जाए, तो नत समतल के अनुदिश 60 N का परिणामी बल गुटके को g sin 37° = 6 m s⁻² से त्वरित करेगा, और नत समतल का घर्षण (यदि कोई हो) 80 N के माध्यम से आएगा — जिसकी विस्तृत चर्चा घर्षण पृष्ठ में की गई है।
5. अभ्यास प्रश्न
प्रश्न 1. 5 kg का एक फोटो फ्रेम दोनों ओर क्षैतिज से 45° के कोण पर बंधी दो तारों द्वारा विरामावस्था में लटका हुआ है। प्रत्येक तार में तनाव ज्ञात कीजिए (g = 10 m s⁻²)।
उत्तर: सममिति गणना को आधा कर देती है: ऊर्ध्वाधर संतुलन से 2T sin 45° = 50 → T = 25/sin 45° = 25√2 ≈ 35.4 N प्रति तार। दर्पण सममिति के कारण क्षैतिज घटक परस्पर निरस्त हो जाते हैं। ध्यान दें कि T > mg/2 — तार जितने अधिक क्षैतिज (सपाट) होंगे, तनाव उतना ही अधिक होगा: 30° पर यह प्रति तार 50 N होगा।
प्रश्न 2 (MCQ). कोण θ (विराम कोण से कम) वाले एक खुरदुरे नत समतल पर एक गुटका विरामावस्था में है। उस पर कार्यरत घर्षण बल किसके बराबर है: (a) μs mg cos θ (b) mg sin θ (c) μk mg sin θ (d) शून्य
उत्तर: (b) — नत समतल के अनुदिश संतुलन की माँग है कि घर्षण बल = mg sin θ हो, चाहे μ का मान कुछ भी हो; स्थैतिक घर्षण स्वतः-समायोज्य (self-adjusting) होता है और इसका अधिकतम मान μsmg cos θ तक ही सीमित होता है। विकल्प (a) "आसन्न गति (impending motion)" का मान है, जो केवल विराम कोण पर ही सही होता है।
प्रश्न 3. एक 2 kg की गेंद एक डोरी से लटकी है; इसे एक क्षैतिज 15 N बल द्वारा एक ओर धकेला जाता है और यह ऊर्ध्वाधर से कुछ कोण पर संतुलन बनाए रखती है। डोरी में तनाव तथा ऊर्ध्वाधर से इसका कोण ज्ञात कीजिए (g = 10 m s⁻²)।
उत्तर: क्षैतिज संतुलन: T sin θ = 15; ऊर्ध्वाधर संतुलन: T cos θ = 20। भाग देने पर: tan θ = 15/20 = 0.75 → θ = 37°; T = 20/cos 37° = 25 N। बंद बल त्रिभुज (20, 15, 25) वस्तुतः 3-4-5 त्रिक है — NTA इन मानों को पूर्णांक बनाए रखने के लिए ऐसे प्रश्न तैयार करता है।
6. मुख्य सूत्र एवं महत्वपूर्ण बिंदु
| संबंध | शर्त / टिप्पणी |
|---|---|
| ΣF = 0 ⇔ ΣFx = 0 तथा ΣFy = 0 | किसी कण के लिए पूर्ण संतुलन की शर्त (a = 0) |
| F₁/sin α = F₂/sin β = F₃/sin γ | लामी प्रमेय: ठीक 3 संगामी समतलीय बल; α बल F₁ के सम्मुख कोण है |
| दो बलों का संतुलन: समान, विपरीत, संरेखी | अन्यथा एक परिणामी बल शेष रहता है |
| तीन बलों का संतुलन: बंद बल त्रिभुज | शीर्ष-से-पूँछ बंद आकृति ⇔ लामी प्रमेय ⇔ घटक समतुल्य |
| डोरी द्वारा नत समतल पर संतुलित: T = mg sin θ, N = mg cos θ | चिकना नत समतल; अक्ष ढलान के अनुदिश/लंबवत |
| लटका हुआ लैंप: Tx संतुलन + Ty योग = mg | अधिक ढलान वाली डोरी अधिक भार लेती है; अधिक क्षैतिज तारों में तनाव अधिक होता है |
संतुलन का अर्थ a = 0 है; यदि परिणामी बल अशून्य हो जाए तो यही घटक वियोजन प्रणाली त्वरण उत्पन्न करती है — समस्या-समाधान पृष्ठ दाएँ पक्ष के शून्य को ma से बदल देता है।
7. अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)
कण के संतुलन से क्या तात्पर्य है?
कोई कण संतुलन में तब होता है जब उस पर कार्य करने वाले सभी बलों का सदिश योग शून्य हो: ΣF = 0, अर्थात् पृथक रूप से ΣFx = 0 तथा ΣFy = 0। संतुलन का अर्थ है शून्य त्वरण — कण या तो विरामावस्था में होता है (स्थैतिक संतुलन) अथवा नियत वेग से गतिमान होता है (गतिक संतुलन)। इसका यह अर्थ नहीं है कि कोई बल कार्य नहीं कर रहा; इसका अर्थ है कि बल परस्पर संतुलित हैं। यह शर्त सीधे न्यूटन के प्रथम नियम से प्राप्त होती है और द्वितीय नियम की a = 0 वाली विशेष स्थिति है।
लामी की प्रमेय और इसकी शर्तें बताइए।
यदि किसी पिंड पर कार्य करने वाले तीन संगामी बल उसे संतुलन में रखते हैं, तो प्रत्येक बल अन्य दो बलों के बीच के कोण की ज्या (sine) के समानुपाती होता है: F1/sin α = F2/sin β = F3/sin γ। इसकी शर्तें हैं: ठीक तीन बल होने चाहिए, उनकी क्रिया-रेखाएँ एक ही बिंदु से गुजरनी चाहिए (संगामी), बल समतलीय होने चाहिए, तथा पिंड संतुलन में होना चाहिए। महत्वपूर्ण बात यह है कि सूत्र में प्रत्येक कोण उस बल के सम्मुख का कोण है — यानी अन्य दो बलों के बीच का कोण — न कि उसके आसन्न कोण। कोण के इस निर्धारण को गलत समझना एक सामान्य त्रुटि है।
संगामी बल क्या होते हैं?
संगामी बल वे बल हैं जिनकी क्रिया-रेखाएँ एक उभयनिष्ठ (एक ही) बिंदु से होकर गुजरती हैं। ऐसे निकाय के लिए घूर्णन प्रभाव स्वतः शून्य हो जाता है और केवल स्थानांतरीय शर्त ΣF = 0 ही प्रभावी रहती है — यही कारण है कि बिंदु-कण की अवधारणा यहाँ पूर्णतः कार्य करती है। दो संगामी बल केवल तभी संतुलित हो सकते हैं जब वे एक ही रेखा के अनुदिश समान तथा विपरीत हों; तीन संगामी बल तब संतुलित होते हैं जब उन्हें क्रम में लेने पर वे एक बंद त्रिभुज बना सकें (त्रिभुज नियम), जो लामी प्रमेय का ज्यामितीय रूप भी है।
मुक्त पिंड आरेख (FBD) क्या है और इसे क्यों बनाया जाता है?
मुक्त पिंड आरेख (Free-Body Diagram) किसी एक पिंड को अलग करके उस पर — और केवल उसी पर — लगने वाले प्रत्येक बल को एक बिंदु या रूपरेखा से निकलने वाले तीरों के रूप में दर्शाता है। इसे बनाना यांत्रिकी की प्रत्येक समस्या का पहला चरण है क्योंकि यह एक जटिल भौतिक स्थिति को स्पष्ट बलों की सूची में बदल देता है: नीचे की ओर भार, संपर्क सतहों के लंबवत अभिलंब बल, डोरियों के अनुदिश तनाव, सतहों के अनुदिश घर्षण। एक बार आरेख बन जाने के बाद, संतुलन के प्रश्न चुने गए अक्षों के अनुदिश वियोजित करने और प्रत्येक अक्ष के योग को शून्य रखने तक सीमित हो जाते हैं। पिंड द्वारा अन्य पिंडों पर लगाए गए बल कभी भी उसके आरेख में नहीं दिखने चाहिए।
केवल इसी डिवाइस पर सेव — कोई अकाउंट या साइन-इन नहीं।