घर्षण — स्थैतिक, गतिज, विराम कोण (NCERT 4.9.1, पूरक)
1. घर्षण वास्तव में क्या है
घर्षण दो सतहों के बीच संपर्क बल का स्पर्शरेखीय घटक है — वह भाग जो सतह के अनुदिश कार्य करता है, और उनके बीच आपेक्षिक सर्पण (फिसलन) का विरोध करता है (या उसे रोकता है)। इसका सूक्ष्मदर्शीय उद्गम सतह की सूक्ष्म अनियमितताओं के अंतर्ग्रथन (interlocking) और क्षणिक आणविक बंधों में निहित है: एक "पॉलिश" की गई मेज भी नैनोमीटर पैमाने पर पर्वतों जैसी ऊबड़-खाबड़ होती है, और सर्पण का अर्थ है इन सूक्ष्म वेल्ड्स (welds) को लगातार काटना या तोड़ना। इसलिए घर्षण की प्रकृति मूलतः विद्युत-चुंबकीय होती है, जो सदैव घिसाव और ऊष्मा के साथ उत्पन्न होती है, और यह सर्वव्यापी है — यही कारण है कि अरस्तू ने (प्रथम नियम पृष्ठ देखें) सोचा था कि गति को बनाए रखने के लिए बल की आवश्यकता होती है: घर्षण पृथ्वी पर प्रत्येक गतिमान वस्तु से चुपचाप कीमत वसूल रहा था।
यह विषय अलग-अलग नियमों वाली दो अवस्थाओं (regimes) में विभाजित है, और किसी भी प्रश्न को हल करने में सबसे पहला कदम इस विभाजन को स्थापित करना है। स्थैतिक घर्षण उन सतहों पर लागू होता है जो एक दूसरे के सापेक्ष अभी फिसल नहीं रही हैं; गतिज घर्षण उन सतहों पर लागू होता है जो पहले से फिसल रही हैं। ये दोनों इतने भिन्न प्रकार से व्यवहार करते हैं कि गलत नियम का उपयोग करना परीक्षाओं में घर्षण की सबसे आम त्रुटि है — किसी भी सूत्र को लगाने से पहले पूछें: क्या यह फिसल रहा है या नहीं?
2. संपूर्ण सिद्धांत: दो अवस्थाएँ और उनके नियम
स्थैतिक घर्षण: स्वतः-समायोज्य बल। 5 N के धक्के के तहत विरामावस्था में रखे एक गुटके पर पीछे की ओर ठीक 5 N का स्थैतिक घर्षण कार्य करता है; धक्के को बढ़ाकर 9 N कर दें, तो घर्षण भी 9 N हो जाता है — यह एक अधिकतम सीमा तक आरोपित बल से समान रूप से मेल खाता है। यह अधिकतम सीमा fs,max = μsN (सीमांत घर्षण) है। इसलिए इसका नियम एक असमिका (inequality) है: fs ≤ μsN, जहाँ समता (equality) केवल गति की आसन्न स्थिति (impending motion) में होती है। स्थैतिक घर्षण की कोई निश्चित दिशा भी नहीं होती: यह सतह के अनुदिश आसन्न फिसलन के विपरीत कार्य करता है — चलने वाले के पैरों के नीचे आगे की ओर, आपके द्वारा धकेले जाने वाले बक्से के नीचे पीछे की ओर, बस के मुड़ने पर यात्री पर किनारे (पार्श्व) की ओर। परीक्षा का मानक क्रम: μsN की गणना करें, आरोपित प्रेरक बल से तुलना करें, निष्कर्ष निकालें कि "गति होगी" या "नहीं होगी", और केवल तभी अगली पंक्ति के लिए सही सूत्र चुनें।
गतिज घर्षण: नियत प्रतिरोधक। एक बार सर्पण शुरू होने पर, घर्षण अचानक fk = μkN पर स्थिर हो जाता है, जो आपेक्षिक वेग का विरोध करता है, और वहीं बना रहता है — चाल और संपर्क क्षेत्रफल से लगभग स्वतंत्र। चूँकि μk आमतौर पर μs से थोड़ा कम होता है, इसलिए जिस क्षण फिसलन शुरू होती है, प्रतिरोध घट जाता है: यही घर्षण बनाम आरोपित बल ग्राफ (चित्र 4.7) के शीर्ष-और-पतन (peak-and-dip) आकार के पीछे का भौतिकी कारण है। परीक्षा के दृष्टिकोण से घर्षण के नियम: (i) fk ∝ N; (ii) आभासी संपर्क क्षेत्रफल से स्वतंत्र; (iii) संपर्क में उपस्थित सतहों की प्रकृति और स्थिति पर निर्भर करता है; (iv) सर्पण चाल से लगभग स्वतंत्र।
विराम कोण और घर्षण कोण। किसी गुटके के आनत तल को तब तक झुकाएँ जब तक कि वह ठीक फिसलना शुरू न कर दे; वह कोण θr समीकरण mg sin θr = μsmg cos θr को संतुष्ट करता है, जिससे संबंध tan θr = μs प्राप्त होता है। घर्षण कोण λ भी tan λ = μs को संतुष्ट करता है (N और सीमांत घर्षण का परिणामी बल N के साथ कोण λ बनाता है) — इसलिए θr = λ, एक सुंदर तुल्यता जिसे NTA एक अंक के वैचारिक प्रश्न के रूप में पूछता है। व्यावहारिक उपयोग: आनत तल को झुकाने वाला यह प्रयोग μs को मापता है।
खुरदुरे आनत तल पर गति — मुख्य मानक सूत्र। θ कोण वाले आनत तल पर नीचे फिसलते हुए गुटके के लिए, जब गतिज घर्षण ढलान पर ऊपर की ओर कार्य कर रहा हो: आनत तल के अनुदिश, mg sin θ − μkmg cos θ = ma, अतः a = g(sin θ − μk cos θ)। विमीय जाँच: कोष्ठक विमाहीन है ✓। दो सीमांत स्थितियाँ याद रखने योग्य हैं: यदि tan θ ≤ μs (θ विराम कोण से कम या बराबर है), तो गुटका विरामावस्था से कभी गति प्रारंभ नहीं करता — a = 0 और स्थैतिक घर्षण इसे आसानी से रोके रखता है; और एक बार फिसलने पर, यदि sin θ = μk cos θ हो, तो त्वरण शून्य होता है (नियत चाल से फिसलन)। किसी खुरदुरे आनत तल पर ऊपर की ओर फिसलने पर (प्रारंभिक धक्का दिए जाने पर) घर्षण की दिशा उलट जाती है: a = −g(sin θ + μk cos θ), दोनों पदों के कारण मंदन होता है।
लोटनिक घर्षण और स्नेहन। एक लुढ़कता हुआ पहिया या बेलन स्वयं को और सड़क दोनों को थोड़ा विकृत कर देता है, जिससे परिणामी संपर्क धक्का आदर्श बिंदु से थोड़ा आगे स्थित होता है, जो एक छोटा विरोधी बल-आघूर्ण (torque) उत्पन्न करता है — इसे लोटनिक घर्षण (rolling friction) कहते हैं, जो आमतौर पर सर्पी घर्षण की तुलना में बहुत कम होता है (μr ≪ μk), यही कारण है कि पहिये का आविष्कार मानव सभ्यता का सबसे उत्कृष्ट विचार था। स्नेहन (lubrication) घर्षण से उसके मूल स्रोत पर ही मुकाबला करता है: एक तेल की पतली परत सतहों को अलग कर देती है जिससे सर्पण ठोस-पर-ठोस के बजाय द्रव-के-अंदर-द्रव (श्यान कर्षण, जैसा तरलों के यांत्रिक गुण में पढ़ा जाता है) होता है, जिससे μ कई गुना कम हो जाता है। बॉल बेयरिंग भी इसी कारण से सर्पण को लोटन (rolling) में बदल देते हैं। ये दोनों NTA पाठ्यक्रम में स्पष्ट रूप से उल्लिखित हैं — इन पर अधिक से अधिक एक पंक्ति का वैचारिक प्रश्न अपेक्षित है, कोई आंकिक नहीं।
3. घर्षण–आरोपित बल ग्राफ का दृश्य निरूपण
चित्र 4.7 — परीक्षा में सर्वाधिक पूछा जाने वाला घर्षण ग्राफ: वृद्धि, शीर्ष, पतन, सपाट
नीला 45° खंड: स्थैतिक अवस्था, fs = आरोपित बल (स्वतः-समायोज्य)। शीर्ष: सीमांत घर्षण μsN। नारंगी सपाट रेखा: गतिज अवस्था, fk = μkN, आप चाहे जितना जोर से धक्का दें यह नियत रहता है।
परीक्षा विश्लेषण (Exam read-out): शीर्ष के बाईं ओर, घर्षण आज्ञा मानता है (समायोजित होता है); शीर्ष पर, घर्षण अधिकतम सीमा तय करता है; इसके दाईं ओर, घर्षण एक निश्चित मान पर स्थिर हो जाता है। प्रत्येक "क्या यह गति करेगा?" प्रश्न वास्तव में आरोपित बल की शीर्ष मान से तुलना है — और यह ग्राफ समझाता है कि गतिमान पिंडों को उस पिंड की तुलना में कम प्रतिरोध का अनुभव क्यों होता है जिसे आप हिलाने का प्रयास कर रहे हैं।
4. हल किए गए उदाहरण
उदाहरण 1 — क्या यह गति करेगा? दो-चरणीय धक्का (g = 10 m s⁻²)
10 kg का एक गुटका ऐसे फर्श पर रखा है जिसके लिए μs = 0.5 और μk = 0.4 है। (a) 30 N और फिर (b) 60 N का एक क्षैतिज बल लगाया जाता है। प्रत्येक स्थिति में घर्षण बल और त्वरण ज्ञात कीजिए।
हल (चरण-दर-चरण): सीमांत मान की जाँच: fs,max = μsN = 0.5 × 100 = 50 N। (a) 30 N < 50 N → कोई सर्पण नहीं; fs = 30 N विरोधी, a = 0 — गुटका गति करने से इनकार कर देता है। (b) 60 N > 50 N → सर्पण प्रारंभ; घर्षण अवस्था बदल जाती है: fk = μkN = 40 N। परिणामी बल = 60 − 40 = 20 N → a = 20/10 = 2 m s⁻²। मान में इस अंतर पर ध्यान दें: घर्षण 30 → 40 हुआ (50 नहीं), क्योंकि सर्पण के दौरान गतिज दर लागू होती है — जो छात्र यहाँ μs का पुन: उपयोग करते हैं उन्हें 1 m s⁻² प्राप्त होता है और वे अंक खो देते हैं।
उदाहरण 2 — खुरदुरे 37° आनत तल पर नीचे की ओर फिसलना (g = 10 m s⁻²)
एक गुटका μk = 0.25 वाले 37° के आनत तल पर नीचे फिसलता है। विरामावस्था से गति प्रारंभ करके पहले 2 s में इसका त्वरण और तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए।
हल: a = g(sin 37° − μk cos 37°) = 10(0.6 − 0.25 × 0.8) = 10(0.6 − 0.2) = 4 m s⁻² आनत तल के अनुदिश नीचे की ओर। विरामावस्था से तय की गई दूरी: s = ½at² = ½ × 4 × 4 = 8 m। अवस्था की पुनर्जाँच करें: tan 37° = 0.75 > μk = 0.25, अतः सर्पण वास्तव में संभव है; और यदि प्रश्न में विरामावस्था से गति के लिए μs = 0.75 दिया गया होता, तो tan 37° = 0.75 ठीक विराम कोण के बराबर होता — यानी गति की आसन्न स्थिति, शून्य त्वरण, और बिल्कुल अलग उत्तर।
5. अभ्यास प्रश्न
Q1. 20 kg का एक क्रेट μs = 0.6 वाले फर्श पर रखा है। 100 N का एक क्षैतिज धक्का लगाया जाता है। घर्षण बल ज्ञात कीजिए। इसके बाद धक्का बढ़ाकर 130 N कर दिया जाता है। नया घर्षण बल और त्वरण ज्ञात कीजिए (μk = 0.5, g = 10 m s⁻²)।
उत्तर: सीमांत घर्षण = 0.6 × 200 = 120 N। 100 N पर: स्थैतिक अवस्था, fs = 100 N, a = 0। 130 N पर: सर्पण, fk = 0.5 × 200 = 100 N, परिणामी बल 30 N → a = 1.5 m s⁻²।
Q2 (MCQ). एक गुटका 30° के आनत तल पर ठीक फिसलना प्रारंभ करता है। स्थैतिक घर्षण गुणांक का मान है: (a) 0.5 (b) 0.866 (c) 0.577 (d) 1/√3 × √3
उत्तर: (c) — tan 30° = 1/√3 ≈ 0.577। विराम कोण का संबंध सीधे कोण के माप को μs में परिवर्तित कर देता है; विकल्प (a) वास्तव में sin 30° है, जो घटक बनाम tan की क्लासिक भूल है।
Q3. 2 kg के एक गुटके को एक तीव्र धक्का दिया जाता है और वह μk = 1/(2√3) ≈ 0.29 वाले खुरदुरे 30° आनत तल पर ऊपर की ओर फिसलता है। ऊपर गति करते समय इसका मंदन ज्ञात कीजिए, तथा वापस नीचे आते समय इसके त्वरण से इसकी तुलना कीजिए।
उत्तर: ऊपर जाते समय, घर्षण ढलान पर नीचे की ओर गुरुत्व के साथ जुड़ जाता है: a = −g(sin 30° + μk cos 30°) = −10(0.5 + 0.29 × 0.866) = −10(0.5 + 0.25) = −7.5 m s⁻² (मंदन 7.5 m s⁻²)। नीचे आते समय, घर्षण की दिशा उलट जाती है: a = g(sin 30° − μk cos 30°) = 10(0.5 − 0.25) = 2.5 m s⁻²। ऊपर जाते समय दोनों पद जुड़ते हैं; नीचे आते समय अंतर का लाभ मिलता है — यही वह असममिति है जिस पर खुरदुरे आनत तल का प्रत्येक प्रश्न आधारित होता है।
6. मुख्य सूत्र एवं निष्कर्ष (Key Formulas & Takeaways)
| संबंध | स्थिति / टिप्पणी |
|---|---|
| fs ≤ μsN | कोई सर्पण नहीं; स्वतः-समायोज्य; समता केवल गति की आसन्न स्थिति में |
| fk = μkN | सर्पण की स्थिति; आपेक्षिक वेग का विरोध करता है; ~चाल और क्षेत्रफल से स्वतंत्र |
| tan θr = μs (= tan λ) | विराम कोण = घर्षण कोण; आनत तल विधि μs को मापती है |
| a = g(sin θ − μk cos θ) | खुरदुरे आनत तल पर नीचे फिसलना; tan θ > μk आवश्यक |
| a = g(sin θ + μk cos θ) मंदन | खुरदुरे आनत तल पर ऊपर फिसलना; घर्षण गुरुत्व की सहायता करता है |
| विराम कोण से कम: a = 0 | विरामावस्था में गुटका: fs = mg sin θ < μsN |
घर्षण के आगे के अनुप्रयोग: ऊष्मा f × दूरी (कार्य, ऊर्जा और शक्ति में ऊर्जा संतुलन), ब्रेक लगाने पर अवरोधन दूरी (stopping distance) (वाहन गतिकी), और समतल मोड़ पर अधिकतम चाल सीमा μsrg — जिसे वृत्तीय गति गतिकी पृष्ठ पर इसी पृष्ठ के सीमांत नियम का उपयोग करके व्युत्पन्न किया गया है।
7. अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (Frequently Asked Questions)
स्थैतिक और गतिज घर्षण में क्या अंतर है?
स्थैतिक घर्षण तब कार्य करता है जब कोई आपेक्षिक सर्पण नहीं होता है — यह सतह के अनुदिश आरोपित बल को ठीक संतुलित करने के लिए अपने परिमाण को अधिकतम mu_s N तक स्वतः समायोजित करता है, और आवश्यकतानुसार सतह के अनुदिश किसी भी दिशा में निर्दिष्ट हो सकता है। गतिज घर्षण एक बार सर्पण शुरू होने के बाद कार्य करता है, इसका एक निश्चित मान mu_k N होता है जो आपेक्षिक वेग का विरोध करता है, और यह स्वतः समायोजित नहीं होता है। आम तौर पर mu_k, mu_s से थोड़ा कम होता है, इसलिए एक बार गति शुरू होने के बाद, इसे बनाए रखने के लिए इसे शुरू करने की तुलना में कम बल की आवश्यकता होती है — यही घर्षण बनाम आरोपित बल ग्राफ के शीर्ष-और-पतन (peak-and-drop) आकार का भौतिक आधार है।
क्या घर्षण हमेशा गति का विरोध करता है?
नहीं — घर्षण संपर्क में उपस्थित दोनों सतहों के बीच आपेक्षिक गति (या आसन्न आपेक्षिक गति) का विरोध करता है, न कि सामान्य रूप से किसी पिंड की गति का। पैदल चलने के दौरान, पैर जमीन को पीछे की ओर धकेलता है और पैर की आसन्न आपेक्षिक गति पीछे की ओर होती है, इसलिए घर्षण आगे की ओर कार्य करता है — जो चलने वाले की गति की ही दिशा है। कार के चालक पहियों (driving wheels) के लिए सड़क से घर्षण आगे की ओर कार्य करता है। ब्रेक लगाती बस के फर्श पर रखे सूटकेस पर घर्षण सूटकेस को फिसलने से रोकने के लिए आगे की ओर कार्य करता है। हमेशा दोनों सतहों की पहचान करें, देखें कि एक सतह दूसरी पर किस दिशा में फिसलेगी, और घर्षण को उस फिसलन के विपरीत दिशा में निर्देशित करें।
घर्षण प्रत्यक्ष (आभासी) संपर्क क्षेत्रफल पर निर्भर क्यों नहीं करता?
प्रायोगिक रूप से, f_s(max) और f_k अभिलंब बल और पदार्थों की प्रकृति पर निर्भर करते हैं, संपर्क के ज्यामितीय क्षेत्रफल पर नहीं। इसका सूक्ष्मदर्शीय कारण यह है कि वास्तविक संपर्क केवल सतह की अनियमितताओं के शिखरों (tips) पर ही होता है, इसलिए वास्तविक सूक्ष्मदर्शीय संपर्क क्षेत्रफल आभासी क्षेत्रफल का एक बहुत छोटा सा अंश होता है और अभिलंब बल के लगभग समानुपाती बढ़ता है (भार के अंतर्गत शिखर विकृत और चपटे हो जाते हैं)। आभासी क्षेत्रफल को दोगुना करने से दाब लगभग आधा हो जाता है, जिससे वास्तविक संपर्क क्षेत्रफल — और इस प्रकार घर्षण — अनिवार्य रूप से अपरिवर्तित रहता है। यही कारण है कि एक ईंट को उसके चौड़े फलक पर खींचा जाए या संकीर्ण कोर पर, घर्षण समान रहता है, जो परीक्षा का एक मानक परिणाम है।
विराम कोण क्या है और यह घर्षण गुणांक से किस प्रकार संबंधित है?
विराम कोण (angle of repose) आनत तल का वह अधिकतम कोण है जिस पर कोई गुटका बिना फिसले विरामावस्था में रह सकता है। उस कोण पर, आनत तल के अनुदिश संतुलन के लिए mg sin theta = f_s तथा तल के लंबवत N = mg cos theta की आवश्यकता होती है, जहाँ घर्षण अपने अधिकतम मान f_s = mu_s N पर होता है। भाग देने पर tan theta = mu_s प्राप्त होता है। अतः आनत तल विधि mu_s को मापने की एक मानक प्रयोगशाला विधि है: तल को तब तक झुकाएँ जब तक कि गुटका ठीक फिसलना शुरू न कर दे, और उस कोण की स्पर्शज्या (tan) स्थैतिक घर्षण गुणांक होती है। विराम कोण से अधिक कोणों के लिए गुटका a = g(sin theta - mu_k cos theta) के साथ नीचे त्वरित होता है।
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