न्यूटन का गति का द्वितीय नियम — F = dp/dt, आवेग (NCERT 4.5)

1. द्वितीय नियम क्या कहता है?

न्यूटन का गति का द्वितीय नियम यांत्रिकी (mechanics) का मात्रात्मक मूल आधार है: किसी पिंड के संवेग परिवर्तन की दर उस पर आरोपित असंतुलित बल के समानुपाती होती है तथा बल की दिशा में ही घटित होती है। प्रथम नियम ने हमें बताया था कि बल ही एकमात्र ऐसा कारक है जो किसी पिंड की गति की अवस्था में परिवर्तन करता है; द्वितीय नियम यह बताता है कि यह परिवर्तन कितनी तेजी से होता है — F = dp/dt। इस अध्याय में (और अधिकांश यांत्रिकी में) सभी गणनात्मक पहलू इसी नियम और उचित लेखा-जोखा पर आधारित हैं: प्रत्येक अक्ष के अनुदिश परिणामी बल की पहचान करें, द्रव्यमान से भाग दें, और त्वरण प्राप्त करें। NTA के संख्यात्मक-मान वाले प्रश्न — मंदन बल (braking forces), संघट्ट में औसत बल, प्रतिक्षेप वेग (recoil speeds), डोरी में तनाव — ये सभी विभिन्न रूपों में प्रस्तुत द्वितीय नियम की ही गणनाएँ हैं।

यह नियम एक सदिश कथन भी है, जिसे विद्यार्थी प्रायः अनदेखा कर देते हैं: F = dp/dt का अर्थ है प्रत्येक अक्ष के लिए एक स्वतंत्र समीकरण, F_x = dp_x/dt तथा F_y = dp_y/dt। किसी कोण पर लगाया गया बल केवल अपने अनुदिश संवेग घटक को परिवर्तित करता है; संवेग का लंबवत घटक अप्रभावित रहता है। यह लंबवत-स्वतंत्रता वही अक्षीय अनुशासन है जो अध्याय 3 के द्विविमीय शुद्धगतिकी (two-dimensional kinematics) में निर्मित हुआ था — गतिविज्ञान (dynamics) इसे पूर्णतः आत्मसात करता है।

2. संपूर्ण सिद्धांत: संवेग से आवेग तक

यथार्थ रूप। संवेग p = mv, अतः F = dp/dt = d(mv)/dt = m(dv/dt) + v(dm/dt)। नियत द्रव्यमान के लिए दूसरा पद समाप्त हो जाता है और F = ma प्राप्त होता है — जो कक्षा में पढ़ाया जाने वाला सामान्य रूप है। परंतु संवेग रूप ही वास्तविक मूल नियम है: यह तब भी लागू रहता है जब द्रव्यमान का प्रवाह हो रहा हो (जैसे गिरती हुई रेत की बोरी, ईंधन जलाता रॉकेट, मेज पर ढेर होती जंजीर), जहाँ केवल F = ma भ्रामक सिद्ध होता है। मात्रकों की सुसंगति से बल का मात्रक निर्धारित होता है: 1 न्यूटन वह बल है जो 1 kg द्रव्यमान के पिंड में 1 m s⁻² का त्वरण उत्पन्न करता है, अतः 1 N = 1 kg m s⁻²; CGS पद्धति में, 1 N = 10⁵ डाइन (dyne) होता है। विमीय रूप से बल M L T⁻² है — अध्याय 1 के अभ्यास के अनुसार प्रत्येक व्युत्पन्न व्यंजक पर यह जाँच करना उपयोगी है।

अवधारणा के त्वरित उदाहरण सहित घटक अनुशासन। एक 2 kg के पिंड पर F = 10î + 20ĵ N का बल आरोपित है। तब a_x = 10/2 = 5 m s⁻² तथा a_y = 20/2 = 10 m s⁻², जिनकी गणना स्वतंत्र रूप से की जाती है — x-बल का y-गति से कोई संबंध नहीं होता। कोई भी प्रश्न जहाँ बल किसी कोण पर कार्य करते हैं (37° पर खिंचाव, आनत तल पर नीचे की ओर धक्का) इसी वियोजन पर आधारित होता है, और यांत्रिकी में सामान्य बल पृष्ठ पर अभिलंब प्रतिक्रिया की स्थितियाँ ठीक इसी का परिणाम हैं: θ कोण पर ऊपर की ओर खींचने पर N = mg − F sin θ प्राप्त होता है क्योंकि ऊर्ध्वाधर अक्ष को अपने द्वितीय नियम के समीकरण का पालन करना आवश्यक है।

आवेग तथा आवेग–संवेग प्रमेय। एक लघु संघट्ट (collision) के दौरान द्वितीय नियम का समाकलन करने पर: ∫F dt = Δp। बायाँ पक्ष आवेग (Impulse) J है — नियत बल के लिए, J = FΔt; परिवर्ती बल के लिए, F–t ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल। अतः J = Δp = mv − mu, जिसे आवेग–संवेग प्रमेय कहते हैं: किसी भी अल्पकालिक, तीव्र अन्योन्यक्रिया के लिए संवेग परिवर्तन उस घटना द्वारा निर्धारित होता है, और बल का समय के साथ विनिमय (trade-off) होता है। एक तीव्र आघात (बड़ा F, छोटा Δt) और एक धीमा लंबा धक्का (छोटा F, बड़ा Δt) समान आवेग दे सकते हैं — नीचे दिया गया ग्राफ इस समानता को ज्यामितीय रूप से स्पष्ट करता है। चूँकि Δp एक सदिश राशि है, दिशा का विशेष महत्व है: बल्ले द्वारा वापस लौटाई गई गेंद के लिए Δv = v − (−u) = v + u होता है, और जो विद्यार्थी केवल परिमाण घटाते हैं उनके अंक कट जाते हैं।

औसत बल। F_avg = Δp/Δt के रूप में परिभाषित किया जाता है — वह नियत बल जो समान समय में वही आवेग प्रदान करे। प्रत्येक प्रश्न जिसमें "दीवार/फर्श/दस्ताने द्वारा लगाया गया औसत बल" पूछा जाता है, वह इसी परिभाषा पर आधारित होता है। इसका व्यावहारिक अनुप्रयोग सुरक्षा उपाय हैं: कैच लेते समय हाथों को पीछे खींचना, एयरबैग, क्रंपल ज़ोन, कूदने के बाद जमीन पर उतरते समय घुटने मोड़ना — ये सभी अपरिहार्य Δp के लिए F_avg को कम करने हेतु Δt को बढ़ाते हैं। और चूँकि न्यूटन का तृतीय नियम (अगला पृष्ठ) यह सुनिश्चित करता है कि दीवार पर −F_avg बल लगेगा, वही मान "दीवार पर बल" वाले प्रश्नों का भी उत्तर देता है।

3. आवेग को क्षेत्रफल के रूप में समझना

4. हल किए गए उदाहरण

5. अभ्यास प्रश्न

Q1. 2 kg के पिंड पर F = 6î − 8ĵ N का बल कार्य करता है। इसके त्वरण का परिमाण और परिणामी बल की दिशा ज्ञात कीजिए।
उत्तर: a = F/m = 3î − 4ĵ m s⁻², परिमाण √(9 + 16) = 5 m s⁻²। परिणामी बल (6î − 8ĵ) का परिमाण 2 × 5 = 10 N है और यह +x अक्ष से नीचे की ओर 53° के कोण पर दिष्ट है (tan θ = 8/6 = 4/3)। पहले घटक ज्ञात करें, अंत में परिमाण — 6 और 8 को अदिश की तरह कभी न जोड़ें।

Q2 (MCQ). 0.5 kg की एक गेंद 10 m/s के वेग से एक दीवार से लंबवत टकराती है और उसी चाल से वापस लौटती है। यदि संपर्क समय 0.01 s था, तो दीवार पर लगने वाला औसत बल लगभग कितना है: (a) शून्य (b) 500 N (c) 1000 N (d) 2000 N
उत्तर: (c) — Δp = 0.5 × (10 − (−10)) = 10 kg m/s; गेंद पर बल F = 10/0.01 = 1000 N, और तृतीय नियम के अनुसार दीवार पर भी 1000 N। विकल्प (b) उन छात्रों के लिए ट्रैप है जिन्होंने 20 के स्थान पर Δv = 10 लिया।

Q3. 3 m/s की चाल से गतिमान एक क्षैतिज कन्वेयर बेल्ट पर 2 kg/s की दर से रेत गिर रही है। बेल्ट को नियत चाल से गतिमान रखने के लिए आवश्यक बल तथा व्यय की गई शक्ति ज्ञात कीजिए।
उत्तर: प्रत्येक सेकंड, 2 kg रेत को 0 से 3 m/s तक त्वरित किया जाना आवश्यक है: F = dp/dt = (2 kg/s × 3 m/s) = 6 N। शक्ति = Fv = 6 × 3 = 18 W। यह v(dm/dt) पद का प्रत्यक्ष उदाहरण है — त्वरित होने वाला द्रव्यमान समय के साथ बदलता है, यही कारण है कि द्वितीय नियम का संवेग रूप ही सर्वाधिक प्रामाणिक है।

6. मुख्य सूत्र एवं स्मरणीय बिंदु

संवेग आगे कहाँ जाता है: अन्योन्यक्रिया करने वाले पिंडों का एक विलगित निकाय सभी dp/dt को जोड़ता है — आंतरिक (तृतीय-नियम) युग्म परस्पर निरस्त हो जाते हैं — और कुल संवेग संरक्षित रहता है। यह संवेग का संरक्षण है, जो अगला पृष्ठ है।

7. अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)