स्थितिज ऊर्जा की अवधारणा (NCERT 5.7)
1. स्थिति या विन्यास द्वारा ऊर्जा
खिड़की की चौखट पर रखी एक ईंट कुछ नहीं करती — फिर भी यह गिरकर मेज को तोड़ सकती है। खिंची हुई स्प्रिंग स्थिर रहती है — फिर भी यह किसी गेंद को प्रक्षेपित कर सकती है। दोनों में स्थितिज ऊर्जा (potential energy) संचित होती है: स्थिति (पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण में ईंट की ऊँचाई) अथवा विन्यास (स्प्रिंग के कुंडलियों की खिंची हुई व्यवस्था) द्वारा संचित ऊर्जा, जो गति में बदलने के लिए तैयार है। स्थितिज ऊर्जा यांत्रिकी का बचत खाता है: कार्य-ऊर्जा प्रमेय चालू खाते (कुल कार्य द्वारा भरी गई गतिज ऊर्जा) को संभालता है, और U जमा राशि को संभालता है — यानी अभी किया गया कार्य जिसे बाद में पुनः प्राप्त किया जा सकता है।
NCERT के दो स्वामित्व संबंधी बिंदु जिनका MCQs में अक्सर सूक्ष्मता से परीक्षण किया जाता है। पहला, U किसी एक पिंड का नहीं बल्कि एक निकाय (system) का होता है: "गुटके की स्थितिज ऊर्जा" का वास्तविक अर्थ गुटका–पृथ्वी निकाय का साझा संचय है (दोनों में से किसी को भी उठाएं, संचित ऊर्जा बढ़ती है)। दूसरा, U केवल परिवर्तनों के माध्यम से परिभाषित होती है — यही कारण है कि अगले खंड के चिह्न और संदर्भ स्तर ही वास्तविक परीक्षा सामग्री हैं।
2. संपूर्ण सिद्धांत: केवल ΔU का महत्व और संरक्षी-बल परीक्षण
परिभाषिक संबंध। किसी संरक्षी बल के लिए, स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन उस बल द्वारा किए गए कार्य का ऋणात्मक मान होता है: ΔU = −Wcons। गिरती हुई ईंट: गुरुत्वाकर्षण बल +mgh कार्य करता है, इसलिए U में mgh की कमी आती है। स्प्रिंग को संपीड़ित करने पर: स्प्रिंग का बल ऋणात्मक कार्य करता है, इसलिए स्प्रिंग की U ठीक उतनी ही बढ़ जाती है। यह ऋण चिह्न ही वास्तविक भौतिकी है — बल द्वारा किया गया कार्य उस खाते को खाली करता है जिससे वह संबंधित है।
द्विपथ परीक्षण (The two-path test)। कोई बल तब संरक्षी (conservative) होता है जब दो बिंदुओं के बीच इसका कार्य पथ-स्वतंत्र (path-independent) हो — समतुल्य रूप से, जब किसी भी बंद चक्र (closed round trip) में इसका कार्य शून्य हो। गुरुत्वाकर्षण बल इसमें खरा उतरता है: किसी पुस्तक को सीढ़ी द्वारा सीधे 2 m उठाएं या 6 m लंबे टेढ़े-मेढ़े ढलान द्वारा, दोनों ही स्थितियों में गुरुत्वाकर्षण का कार्य समान −mg(2 m) होता है, और नीचे आते समय बिना किसी ह्रास के वापस मिल जाता है। गतिज घर्षण इसमें विफल हो जाता है: 2 m खिसकाने पर 2f कार्य खर्च होता है, 6 m खिसकाने पर 6f, और एक पूरे चक्कर में यह कभी निरस्त नहीं होता — इसके द्वारा निकाली गई ऊर्जा ऊष्मा के रूप में विसरित हो जाती है, जिसे पुनः प्राप्त नहीं किया जा सकता। केवल संरक्षी बलों के लिए ही स्थितिज ऊर्जा परिभाषित की जाती है; यही कारण है कि U की तालिकाओं में गुरुत्वाकर्षण और स्प्रिंग शामिल होते हैं किंतु घर्षण कभी नहीं।
संदर्भ स्तर (The reference level)। चूँकि केवल ΔU ही मापनीय है, इसलिए आप U = 0 कहाँ मानते हैं, यह पूर्णतः स्वैच्छिक चयन है: फर्श, मेज, छत — कुछ भी। इसे प्रारंभ में एक बार घोषित करें और प्रत्येक ऊँचाई की गणना उसी से करें। तब पृथ्वी की सतह के निकट गुरुत्वीय संचित ऊर्जा U = mgh होती है, जहाँ h आपके चुने गए शून्य से मापी गई ऊँचाई है और g को नियत माना गया है — यह एक स्थानीय सूत्र है, जो तब तक मान्य है जब तक ऊँचाइयाँ पृथ्वी की त्रिज्या की तुलना में बहुत कम रहती हैं (−GMm/r का व्यापक रूप गुरुत्वाकर्षण अध्याय का विषय है)। इसकी विमाएँ M L² T⁻² कार्य और गतिज ऊर्जा के बिल्कुल समान हैं, जैसा कि अध्याय 1 की विमीय तालिकाएं पुष्टि करती हैं — एक ही बहीखाता, एक ही मात्रक: जूल।
3. दृश्य रूप में समझना: दो पथ, एक बहीखाता प्रविष्टि
चित्र 5.4 — ΔU केवल अंत्य बिंदुओं पर निर्भर करता है, मार्ग पर नहीं
बायाँ: h = 3 m तक सीधा उठाना। दायाँ: घर्षण-रहित 3-4-5 नत समतल, पथ की लंबाई 5 m लेकिन ऊँचाई में समान 3 m की वृद्धि। दोनों ऊर्जा संचयों की तुलना करें।
परीक्षा विश्लेषण: नत समतल की लंबाई 5 m है जबकि सीढ़ी की 3 m, फिर भी ऊर्जा संचय बिल्कुल समान 30 J है — चित्रों में संरक्षी-बल का परीक्षण यही है। मार्ग के साथ क्या बदलता है: लिया गया समय और (यदि घर्षण उपस्थित होता) तो उत्पन्न ऊष्मा। NTA के "अलग-अलग ढलान, समान ऊँचाई" वाले प्रश्न केवल संख्याओं को बदलकर इसी चित्र पर आधारित होते हैं।
4. हल किए गए उदाहरण
उदाहरण 1 — ऊपर उठाना, और कार्य की तीनों प्रविष्टियों को समझना
2 kg द्रव्यमान के एक गुटके को धीरे-धीरे 4 m ऊपर उठाया जाता है (g = 10 m s⁻²)। गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन, गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य, और उठाने वाले बल द्वारा किया गया कार्य ज्ञात कीजिए।
हल (चरण-दर-चरण): ΔU = mgh = 2 × 10 × 4 = +80 J। गुरुत्वाकर्षण ऊपर उठने का विरोध करता है: Wgravity = −mgh = −80 J — ध्यान दें कि ΔU = −Wgravity यथार्थ रूप से सत्य है। "धीरे-धीरे" का अर्थ है चाल में नगण्य परिवर्तन, इसलिए कार्य-ऊर्जा प्रमेय द्वारा ΔK = 0 और उठाने वाले बल के कार्य को इस बहीखाते को संतुलित करना होगा: Wlift = +80 J। तीन प्रविष्टियाँ, एक ही लेखा-परीक्षण — और संदर्भ स्तर (जैसे फर्श) को उचित ठहराने की आवश्यकता नहीं पड़ी क्योंकि केवल 4 m का अंतर ही प्रयुक्त हुआ।
उदाहरण 2 — संख्याओं के साथ पथ-स्वतंत्रता
1 kg द्रव्यमान के एक गुटके को घर्षण-रहित 3-4-5 नत समतल (ऊँचाई 3 m, लंबाई 5 m) पर धीरे-धीरे ऊपर खींचा जाता है और फिर वापस नीचे लाया जाता है। ऊपर जाने में, नीचे आने में, और पूरे चक्कर (round trip) में गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य ज्ञात कीजिए।
हल: ऊपर जाते समय: गुरुत्वाकर्षण गति के विपरीत कार्य करता है, W = −mgh = −1 × 10 × 3 = −30 J — केवल ऊँचाई महत्वपूर्ण है; 5 m की लंबाई का कोई प्रभाव नहीं पड़ता। नीचे आते समय: W = +30 J। पूर्ण चक्कर: −30 + 30 = 0 — एक संरक्षी बल का यह बंद-लूप लक्षण है, और यही कारण है कि गुरुत्वाकर्षण के लिए U = mgh अस्तित्व में है। (खींचने वाले का कार्य: ऊपर जाते समय +30 J, यदि धीरे-धीरे छोड़ा जाए तो नीचे आते समय 0, और पूरे चक्कर में +30 J — असंरक्षी बहीखाता, गुरुत्वाकर्षण से भिन्न।)
5. अभ्यास प्रश्न
Q1. 5 kg सीमेंट की एक बोरी को एक क्रेन द्वारा एकसमान चाल से 3 m ऊपर उठाया जाता है। इसकी स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन और केबल द्वारा किया गया कार्य ज्ञात कीजिए।
उत्तर: ΔU = mgh = 5 × 10 × 3 = +150 J। एकसमान चाल ⇒ ΔK = 0, इसलिए केबल द्वारा किया गया कार्य पूरी संचित ऊर्जा के बराबर है: W = +150 J, जबकि गुरुत्वाकर्षण का कार्य −150 J है। यदि क्रेन 2 s का समय लेती, तो इसकी औसत शक्ति 150/2 = 75 W होती — जो शक्ति पृष्ठ का प्रारंभिक विषय है।
Q2 (MCQ). निम्नलिखित में से कौन सा बल असंरक्षी (non-conservative) है? (a) गुरुत्वाकर्षण बल (b) आदर्श स्प्रिंग बल (c) गतिज घर्षण (d) समतल फर्श पर अभिलंब बल
उत्तर: (c) — गतिज घर्षण का कार्य पथ की लंबाई पर निर्भर करता है और किसी बंद चक्र में कभी शून्य नहीं होता, इसलिए इसके साथ कोई स्थितिज ऊर्जा नहीं जोड़ी जा सकती। गुरुत्वाकर्षण और स्प्रिंग बल बंद-चक्र परीक्षण में पूर्णतः खरे उतरते हैं; समतल फर्श पर अभिलंब बल लंबवत होने के कारण स्पष्टतः शून्य कार्य करता है, जिसका किसी भी मार्ग पर कोई ऊर्जा व्यय नहीं होता।
Q3. एक उपग्रह नियत चाल से वृत्ताकार कक्षा में गति करता है। एक पूर्ण कक्षा में पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य बताइए, और इससे उपग्रह की स्थितिज ऊर्जा के बारे में क्या निष्कर्ष निकलता है?
उत्तर: गुरुत्वाकर्षण त्रिज्यीय रूप से अंदर की ओर कार्य करता है, वेग (और इस प्रकार प्रत्येक क्षण सूक्ष्म विस्थापन) स्पर्शरेखीय होता है: सर्वत्र θ = 90°, इसलिए किसी भी चाप पर W = 0, जिसमें एक पूर्ण कक्षा भी शामिल है — यह एकसमान वृत्तीय गति (UCM) का शून्य-कार्य परिणाम है। एक बंद कक्षा में संरक्षी गुरुत्वाकर्षण बल ने कोई कार्य नहीं किया है, इसलिए U अपनी प्रारंभिक स्थिति पर लौट आती है: वृत्ताकार कक्षा में स्थितिज ऊर्जा नियत रहती है, जैसा कि गतिज ऊर्जा भी नियत रहती है।
6. मुख्य सूत्र एवं स्मरणीय बिंदु
| संबंध | शर्त / टिप्पणी |
|---|---|
| ΔU = −Wcons | संरक्षी बल के लिए स्थितिज ऊर्जा परिवर्तन की परिभाषा; ऋण चिह्न का ध्यान रखें |
| U = mgh | पृथ्वी की सतह के निकट गुरुत्वाकर्षण, g नियत, आपके चुने गए शून्य से h |
| पूर्ण चक्र में W = 0 | संरक्षी-बल परीक्षण; गुरुत्वाकर्षण और स्प्रिंग सफल, घर्षण विफल |
| Us = ½kx² | स्प्रिंग की विन्यास ऊर्जा (अगले से अगले पृष्ठ पर विस्तृत विवेचन) |
| केवल ΔU भौतिक है | U का शून्य एक स्वैच्छिक परंपरा है; पूरे प्रश्न में एक ही संदर्भ बनाए रखें |
| [U] = M L² T⁻² | कार्य और गतिज ऊर्जा के समान ही जूल बहीखाता |
स्थितिज ऊर्जा वह अवधारणा है जो बलों को बाद में वापस लेने के लिए कार्य को "जमा" करने की अनुमति देती है। अगला पृष्ठ इस खाते को विधिवत रूप से प्रस्तुत करता है: यदि केवल संरक्षी बल कार्य करते हैं, तो K + U कभी नहीं बदलता — विद्यालयी यांत्रिकी का सबसे अधिक उपयोगी समीकरण।
7. अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQs)
स्थितिज ऊर्जा क्या है?
स्थितिज ऊर्जा वह ऊर्जा है जिसे कोई निकाय अपने भागों की स्थिति या विन्यास के आधार पर संचित करता है — जैसे उठाया गया गुटका (पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण में स्थिति), खिंची हुई स्प्रिंग (इसके कुंडलियों का विन्यास), या खिंचा हुआ धनुष। यह वह ऊर्जा है जो गतिज ऊर्जा में परिवर्तित होने की प्रतीक्षा कर रही होती है। परीक्षाओं के लिए दो महत्वपूर्ण सूक्ष्म बिंदु हैं: स्थितिज ऊर्जा केवल एक पिंड की न होकर पूरे निकाय (गुटका + पृथ्वी, स्प्रिंग + गुटका) की होती है; तथा केवल U में परिवर्तन ही मापनीय होते हैं, क्योंकि शून्य स्तर का चयन पूर्णतः स्वैच्छिक है।
संरक्षी बल क्या है?
कोई बल तब संरक्षी होता है जब दो बिंदुओं के बीच किसी कण को ले जाने में इसके द्वारा किया गया कार्य अपनाए गए पथ पर निर्भर नहीं करता — समतुल्य रूप से, किसी पूर्ण बंद चक्र में इसके द्वारा किया गया कुल कार्य ठीक शून्य होता है। गुरुत्वाकर्षण बल और आदर्श स्प्रिंग बल संरक्षी हैं; गतिज घर्षण संरक्षी नहीं है, क्योंकि लंबी दूरी तक फिसलने पर अधिक ऋणात्मक कार्य होता है। संरक्षी बल के लिए स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन ΔU = −W द्वारा परिभाषित होता है (ऋण चिह्न यह दर्शाता है कि बल द्वारा किया गया कार्य संचित ऊर्जा को कम करता है), और यही कारण है कि ऊर्जा समीकरणों में बल के कार्य के स्थान पर स्थितिज ऊर्जा U पद का उपयोग किया जा सकता है।
घर्षण के लिए कोई स्थितिज ऊर्जा क्यों नहीं होती?
क्योंकि घर्षण द्वारा किया गया कार्य पथ पर निर्भर करता है: फर्श पर किसी बक्से को 2 m खिसकाने में 2f जूल ऊर्जा खर्च होती है, 6 m के लूप में घुमाने पर 6f जूल खर्च होती है, और एक पूर्ण चक्कर में कार्य निरस्त होने के बजाय दोनों तरफ कुल 2f खर्च होता है। घर्षण जो ऊर्जा लेता है वह ऊष्मा में बदलकर विसरित हो जाती है — यह स्थिति से बंधी किसी पुनःप्राप्त करने योग्य भंडार में संचित नहीं रहती। चूँकि कोई पथ-स्वतंत्र U परिभाषित नहीं किया जा सकता, इसलिए घर्षण के कार्य को हमेशा ऊर्जा समीकरणों में एक स्पष्ट (प्रायः ऋणात्मक) पद के रूप में रखा जाना चाहिए, इसे कभी भी स्थितिज ऊर्जा में समाहित नहीं किया जा सकता।
क्या स्थितिज ऊर्जा के लिए शून्य के चयन से कोई फर्क पड़ता है?
नहीं — U = 0 एक संदर्भ परंपरा है, कोई भौतिक अनिवार्यता नहीं। आप फर्श, मेज की सतह या छत को संदर्भ मान सकते हैं; प्रत्येक महत्वपूर्ण सूत्र (K_i + U_i = K_f + U_f, ऊर्जा संरक्षण से चाल) में केवल अंतर ΔU शामिल होता है, और प्रत्येक U में एक नियतांक जोड़ने पर वह निरस्त हो जाता है। परीक्षा पद्धति: अपने शून्य स्तर को प्रारंभ में ही एक बार निर्धारित करें, उसी के अनुसार ऊँचाइयों की गणना करें, और प्रश्न के बीच में इसे कभी न बदलें। संदर्भ बताए बिना निरपेक्ष U के रूप में लिखा गया उत्तर भौतिक रूप से अधूरा होता है — NTA केवल निरंतरता (consistency) के माध्यम से अप्रत्यक्ष रूप से इसका परीक्षण करता है।
केवल इसी डिवाइस पर सेव — कोई अकाउंट या साइन-इन नहीं।