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§ 6.3NCERT कक्षा 11 · भौतिकी · अध्याय 6

बल आघूर्ण (Torque) एवं कोणीय संवेग (Angular Momentum)

QCC Notes · कक्षा 11 भौतिकी NCERT आधारित अद्यतन 26 सितंबर 2026 9 मिनट पठन

जिस प्रकार स्थानांतरीय गति में बल त्वरण उत्पन्न करता है और रैखिक संवेग गति की मात्रा को मापता है, ठीक उसी प्रकार घूर्णी गति में बल आघूर्ण (Torque) तथा कोणीय संवेग (Angular Momentum) उनके सटीक घूर्णी समकक्ष हैं। ये दृढ़ पिंड गतिकी के मूल स्तंभ हैं।

1. बल आघूर्ण एवं बलयुग्म (Torque and Couple)

जब किसी मूलबिंदु O के सापेक्ष स्थिति सदिश r वाले कण पर बल F आरोपित किया जाता है, तो बिंदु O के परितः बल आघूर्ण τ को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:

τ = r × F = (r F sin θ) n̂

अदिश परिमाण को दो अत्यंत महत्वपूर्ण भौतिक रूपों में लिखा जा सकता है:

  • τ = r⊥ F, जहां r⊥ = r sin θ आघूर्ण भुजा (lever arm) है (मूलबिंदु से बल की क्रिया-रेखा पर लंबवत दूरी)।
  • τ = r F⊥, जहां F⊥ = F sin θ स्थिति सदिश r के लंबवत बल का घटक है।

मात्रक एवं विमा: SI मात्रक न्यूटन-मीटर (N·m) है। विमीय सूत्र: [ML²T⁻²]। (सावधानी: यद्यपि कार्य और बल आघूर्ण की विमा समान है, परंतु कार्य एक अदिश राशि है (मात्रक जूल), जबकि बल आघूर्ण एक सदिश राशि है; बल आघूर्ण को कभी भी जूल में व्यक्त नहीं किया जाता)।

बलयुग्म (Couple) की अवधारणा

समान परिमाण तथा विपरीत दिशा वाले दो समानांतर बल जिनकी क्रिया-रेखाएं संपाती नहीं होतीं, एक बलयुग्म बनाते हैं:

  • निकाय पर कुल स्थानांतरीय बल शून्य होता है: Fnet = F − F = 0 (कोई रैखिक त्वरण नहीं)।
  • बलयुग्म का आघूर्ण मूलबिंदु के चयन से स्वतंत्र होता है: τबलयुग्म = बल × दोनों बलों के बीच लंबवत दूरी (बलयुग्म की भुजा)।
  • दैनिक जीवन के उदाहरण: पानी का नल खोलना, बोतल का ढक्कन घुमाना, दोनों हाथों से स्टीयरिंग व्हील मोड़ना।

2. कण तथा निकाय का कोणीय संवेग

मूलबिंदु O के सापेक्ष v वेग (तथा रैखिक संवेग p = m v) से गतिमान m द्रव्यमान के कण का कोणीय संवेग L परिभाषित है:

L = r × p = m (r × v) = (m v r sin θ) n̂

अदिश परिमाण: L = p r⊥ = m v r⊥ (रैखिक संवेग × गति की रेखा पर लंबवत दूरी)।

मात्रक एवं विमा: SI मात्रक kg·m²/s अथवा जूल-सेकंड (J·s) है। विमीय सूत्र: [ML²T⁻¹] (प्लांक नियतांक h के समान)।

स्थिर अक्ष के परितः दृढ़ पिंड का कोणीय संवेग

किसी स्थिर अक्ष के परितः ω कोणीय वेग से घूर्णन करने वाले दृढ़ पिंड हेतु:

L = I ω   (रैखिक सूत्र p = m v का घूर्णी समतुल्य)

जहां I उस अक्ष के परितः पिंड का जड़त्व आघूर्ण है।

3. मूल संबंध: τ = dL/dt एवं कोणीय संवेग संरक्षण का नियम

कोणीय संवेग का समय के सापेक्ष अवकलन करने पर:

dL/dt = (dr/dt × p) + (r × dp/dt) = (v × m v) + (r × Fext)

चूंकि दो समानांतर सदिशों का क्रॉस गुणनफल शून्य होता है (v × m v = 0), अतः न्यूटन के द्वितीय नियम से:

τext = dL/dt = I α   (रैखिक सूत्र F = dp/dt = m a का घूर्णी रूप)

कोणीय संवेग संरक्षण का सिद्धांत

यदि किसी निकाय पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल आघूर्ण शून्य हो (τext = 0):

dL/dt = 0 ⇒ L = नियतांक ⇒ I1 ω1 = I2 ω2

जब आंतरिक द्रव्यमान पुनर्विन्यास से जड़त्व आघूर्ण I बदलता है, तो कोणीय वेग व्युत्क्रमानुपाती रूप से परिवर्तित होता है:

  • घूर्णन करती नर्तकी (Ballet Dancer): हाथ फैलाने पर I बढ़ जाता है और घूर्णन धीमा हो जाता है। हाथ पास सिकोड़ने पर I घट जाता है और कोणीय चाल बहुत तेज हो जाती है।
  • गोताखोर (Diver): हवा में कलाबाजियां खाते समय शरीर को मोड़कर I घटाता है जिससे घूर्णन की गति बढ़ जाती है।
  • केप्लर का द्वितीय नियम: सूर्य का गुरुत्वाकर्षण बल केंद्रीय बल है (r × F = 0), अतः बल आघूर्ण शून्य है। फलस्वरूप L = m r v = const रहता है और क्षेत्रीय वेग dA/dt = L/(2m) नियत रहता है।

4. बल आघूर्ण द्वारा किया गया कार्य एवं घूर्णी शक्ति

जब बल आघूर्ण τ किसी पिंड को dθ कोण से घुमाता है:

dW = τ dθ ⇒ W = ∫ τ dθ   तथा   P = dW/dt = τ ω

चित्र 6.3 — कोणीय संवेग संरक्षण: घूर्णन करती नर्तकी

[स्थिति 1: हाथ फैले हुए] [स्थिति 2: हाथ शरीर से सटे हुए] O / O | / <-- बड़ी त्रिज्या R /| <-- छोटी त्रिज्या r | / | | | / / उच्च जड़त्व आघूर्ण (I1) निम्न जड़त्व आघूर्ण (I2) धीमी कोणीय चाल (ω1) अत्यंत तीव्र कोणीय चाल (ω2) ======================================================================== L1 = I1 * ω1 === I2 * ω2 = L2
गतिज ऊर्जा जाल (TRAP): घूर्णी गतिज ऊर्जा Krot = L² / (2I) होती है। L नियत रहते हुए जब I घटता है, तो गतिज ऊर्जा बढ़ जाती है! यह अतिरिक्त ऊर्जा नर्तकी की मांसपेशियों द्वारा हाथ अंदर खींचने में किए गए कार्य से प्राप्त होती है।

चरण-दर-चरण हल किए गए संख्यात्मक उदाहरण

हल किया गया उदाहरण 1: उच्चतम बिंदु पर प्रक्षेप्य का कोणीय संवेग

प्रश्न: m द्रव्यमान के एक कण को u चाल से क्षैतिज से θ कोण पर प्रक्षेपित किया जाता है। जब कण अपनी अधिकतम ऊंचाई H पर पहुंचता है, तो प्रक्षेपण बिंदु के परितः इसके कोणीय संवेग का परिमाण ज्ञात कीजिए।

L = (m u³ sin²θ cosθ) / (2g)
चरण 1: उच्चतम बिंदु पर वेग:
उच्चतम बिंदु पर केवल क्षैतिज वेग होता है: v = u cos θ।

चरण 2: क्रिया-रेखा की लंबवत दूरी:
प्रक्षेपण बिंदु से उच्चतम बिंदु के क्षैतिज वेग की लंबवत दूरी अधिकतम ऊंचाई H के बराबर है:
H = (u² sin²θ) / (2g)।

चरण 3: कोणीय संवेग की गणना:
L = m v r⊥ = m (u cos θ) [ (u² sin²θ) / (2g) ]
L = (m u³ sin²θ cosθ) / (2g) (प्रक्षेप पथ के तल के लंबवत अंदर की ओर)।
हल किया गया उदाहरण 2: घूर्णन मंच पर मोम का टुकड़ा गिरना (संवेग संरक्षण)

प्रश्न: 2 kg द्रव्यमान तथा 0.2 m त्रिज्या की चकती अपनी ऊर्ध्वाधर केंद्रीय अक्ष के परितः 60 rpm की चाल से घूम रही है। 0.5 kg द्रव्यमान का एक मोम का टुकड़ा अक्ष से 0.1 m की दूरी पर चकती पर गिरकर चिपक जाता है। निकाय की नई घूर्णन चाल (rpm में) ज्ञात कीजिए।

नई चाल: 53.33 rpm
चरण 1: प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण:
I1 = ½ M R² = ½(2)(0.2)² = 0.04 kg·m²। N1 = 60 rpm।

चरण 2: अंतिम जड़त्व आघूर्ण:
मोम का जड़त्व आघूर्ण: Iमोम = m r² = (0.5)(0.1)² = 0.005 kg·m²।
कुल अंतिम I2 = 0.04 + 0.005 = 0.045 kg·m²।

चरण 3: कोणीय संवेग संरक्षण:
I1 N1 = I2 N2
(0.04)(60) = (0.045) N2 ⇒ N2 = 2.4 / 0.045 = 53.33 rpm।

5. हल किए गए NEET एवं JEE अभ्यास प्रश्न

प्रश्न 1. स्थिति सदिश r = 3î + 2ĵ + 3k̂ m पर एक बल F = 2î − 3ĵ + 4k̂ N कार्य कर रहा है। मूलबिंदु के परितः बल आघूर्ण होगा:

A. 17î − 6ĵ − 13k̂ N·m
B. −17î + 6ĵ + 13k̂ N·m
C. 17î + 6ĵ − 13k̂ N·m
D. −17î − 6ĵ − 13k̂ N·m

उत्तर: A
व्याख्या: τ = r × F =
î[(2)(4) − (3)(−3)] − ĵ[(3)(4) − (3)(2)] + k̂[(3)(−3) − (2)(2)]
= î[8 + 9] − ĵ[12 − 6] + k̂[−9 − 4] = 17î − 6ĵ − 13k̂ N·m।
प्रश्न 2. जब कोई पिंड किसी स्थिर बिंदु के परितः तल में घूमता है, तो उसका कोणीय संवेग किस दिशा में दिष्ट होता है?

A. त्रिज्या सदिश के अनुदिश
B. स्पर्शरेखा के अनुदिश
C. घूर्णन तल के लंबवत रेखा के अनुदिश
D. घूर्णन तल से 45° पर

उत्तर: C
व्याख्या: कोणीय संवेग L = r × p होता है। क्रॉस गुणनफल की परिभाषा से L सदैव r और p दोनों के लंबवत होता है, अर्थात यह घूर्णन तल के लंबवत घूर्णन अक्ष के अनुदिश होता है।
प्रश्न 3. यदि पृथ्वी का द्रव्यमान अपरिवर्तित रहते हुए उसकी त्रिज्या वर्तमान त्रिज्या की आधी हो जाए, तो एक दिन की अवधि हो जाएगी:

A. 6 घंटे
B. 12 घंटे
C. 24 घंटे
D. 48 घंटे

उत्तर: A
व्याख्या: ठोस गोला मानते हुए: I = (2/5) M R²। R' = R/2 होने पर I' = I / 4।
बाह्य बल आघूर्ण शून्य होने से: L = I (2π/T) = नियतांक ⇒ T ∝ I।
अतः T' = T / 4 = 24 / 4 = 6 घंटे।
प्रश्न 4. एक कण मूलबिंदु से न गुजरने वाली सरल रेखा के अनुदिश नियत वेग से गति कर रहा है। मूलबिंदु के परितः इसका कोणीय संवेग:

A. समय के साथ बढ़ता है
B. समय के साथ घटता है
C. परिमाण एवं दिशा दोनों में नियत रहता है
D. शून्य रहता है

उत्तर: C
व्याख्या: L = p r⊥ = m v d, जहां d मूलबिंदु से सरल रेखा की लंबवत दूरी है। चूंकि वेग v तथा दूरी d नियत हैं, अतः कोणीय संवेग सदैव नियत रहता है।

6. अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQs)

क्या किसी पिंड का कोणीय संवेग एक बिंदु के परितः शून्य तथा दूसरे बिंदु के परितः अशून्य हो सकता है?
हाँ, बिल्कुल। कोणीय संवेग L = r × p मूलबिंदु के चयन पर निर्भर करता है। सरल रेखा में गतिमान कण के लिए, उस रेखा पर स्थित किसी भी बिंदु के परितः कोणीय संवेग शून्य होता है (rperp = 0), परंतु रेखा से बाहर स्थित किसी बिंदु के परितः यह अशून्य होता है।
बल आघूर्ण तथा कार्य की विमा समान होते हुए भी वे भिन्न भौतिक राशियां क्यों हैं?
कार्य विस्थापन के अनुदिश बल का अदिश गुणनफल है (ऊर्जा का स्थानांतरण, मात्रक जूल), जबकि बल आघूर्ण लंबवत घूर्णन प्रयास का सदिश क्रॉस गुणनफल है (मात्रक N·m)। इसलिए बल आघूर्ण को कभी जूल नहीं कहा जाता।
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