शुद्ध लोटनिक गति में संपर्क बिंदु का वेग क्या होता है?

बिना फिसले शुद्ध लोटनिक गति में सतह के साथ संपर्क बिंदु तात्क्षणिक रूप से स्थिर रहता है: v_contact = v_cm - R * omega = 0। अतः स्थिर सतह पर शुद्ध लोटन के दौरान स्थैतिक घर्षण द्वारा किया गया कार्य शून्य होता है।

नत तल पर एक साथ लुढ़काए जाने पर कौन सा पिंड सबसे पहले तली पर पहुंचता है?

जिस पिंड के लिए (k^2 / R^2) का मान सबसे कम होता है, उसका त्वरण सर्वाधिक होता है और वह सबसे पहले पहुंचता है। क्रम: ठोस गोला (0.4) प्रथम, ठोस चकती/बेलन (0.5) द्वितीय, खोखला गोला (0.67) तृतीय, तथा वलय/खोखला बेलन (1.0) सबसे अंत में पहुंचता है।

θ कोण के नत तल पर शुद्ध लोटन हेतु न्यूनतम घर्षण गुणांक कितना होना चाहिए?

शुद्ध लोटन हेतु न्यूनतम स्थैतिक घर्षण गुणांक mu_min = (tan theta) / (1 + R^2 / k^2) होता है। यदि वास्तविक घर्षण इससे कम हो, तो पिंड लुढ़कने के साथ-साथ फिसलने भी लगता है।

§ 6.6NCERT कक्षा 11 · भौतिकी · अध्याय 6

घूर्णी गतिकी एवं लोटनिक गति (Rolling Motion)

QCC Notes · कक्षा 11 भौतिकी NCERT आधारित अद्यतन 26 सितंबर 2026 8 मिनट पठन

दैनिक जीवन की गति में स्थानांतरीय तथा घूर्णी गतियों का सुंदर सम्मिश्रण देखने को मिलता है। सड़क पर चलता पहिया, लुढ़कती गेंद अथवा ढलान पर गतिमान बेलन दोनों गतियों का संयोजन प्रदर्शित करते हैं। लोटनिक गति (Rolling Motion) द्रव्यमान केंद्र की स्थानांतरीय गति तथा द्रव्यमान केंद्र के परितः घूर्णी गति का संयुक्त रूप है।

1. घूर्णी गति के शुद्धगतिक समीकरण एवं कार्य-ऊर्जा प्रमेय

नियत कोणीय त्वरण α हेतु घूर्णी शुद्धगतिकी समीकरण रैखिक समीकरणों के समरूप होते हैं:

रैखिक शुद्धगतिक समीकरण (a = नियत)	घूर्णी शुद्धगतिक समीकरण (α = नियत)
v = u + a t	ω = ω₀ + α t
s = u t + ½ a t²	θ = ω₀ t + ½ α t²
v² = u² + 2 a s	ω² = ω₀² + 2 α θ
s_{n वें} = u + ½ a (2n − 1)	θ_{n वें} = ω₀ + ½ α (2n − 1)

घूर्णन में कार्य-ऊर्जा प्रमेय

कुल बाह्य बल आघूर्ण द्वारा किया गया कार्य घूर्णी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:

W_rot = ∫ τ dθ = ½ I ω_f² − ½ I ω_i² = ΔK_rot

2. बिना फिसले शुद्ध लोटन की शुद्धगतिकी

स्थिर क्षैतिज समतल पर R त्रिज्या के किसी वृत्ताकार पिंड के लोटन पर विचार करें:

स्थानांतरीय घटक: पिंड का प्रत्येक कण द्रव्यमान केंद्र के वेग v_cm से आगे बढ़ता है।
घूर्णी घटक: पिंड द्रव्यमान केंद्र के परितः ω कोणीय वेग से घूमता है। शीर्ष बिंदु +Rω से आगे बढ़ता है, जबकि निचला संपर्क बिंदु −Rω से पीछे जाने का प्रयास करता है।
बिना फिसले लोटन की शर्त: संपर्क बिंदु का सतह के सापेक्ष तात्क्षणिक वेग शून्य होना चाहिए:

v_{संपर्क} = v_cm − R ω = 0 ⇒ v_cm = R ω तथा a_cm = R α

पहिए के विभिन्न बिंदुओं के वेग

न्यूनतम संपर्क बिंदु से θ कोण पर स्थित किसी बिंदु P का परिणामी रैखिक वेग:

v_P = 2 v_cm sin(θ / 2)

न्यूनतम संपर्क बिंदु (θ = 0): v = 0 (तात्क्षणिक विराम बिंदु)।
केंद्र बिंदु (CM): v = v_cm।
शीर्ष बिंदु (θ = 180°): v = 2 v_cm (वाहन की चाल से दोगुने वेग से गतिमान!)।

3. लोटन कर रहे पिंड की कुल गतिज ऊर्जा

कोएनिग प्रमेय के अनुसार लोटन कर रहे पिंड की कुल गतिज ऊर्जा द्रव्यमान केंद्र की स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा तथा द्रव्यमान केंद्र के परितः घूर्णी गतिज ऊर्जा का योग होती है:

K_कुल = K_trans + K_rot = ½ M v_cm² + ½ I_cm ω²

I_cm = M k² (परिभ्रमण त्रिज्या) तथा ω = v_cm / R रखने पर:

K_कुल = ½ M v_cm² [ 1 + (k² / R²) ]

ऊर्जा का प्रभाजी वितरण:

स्थानांतरीय भाग: K_trans / K_कुल = 1 / [1 + (k²/R²)]
घूर्णी भाग: K_rot / K_कुल = (k²/R²) / [1 + (k²/R²)]

4. नत तल पर लोटनिक गति एवं महान ढलान प्रतियोगिता

जब M द्रव्यमान, R त्रिज्या तथा k परिभ्रमण त्रिज्या का कोई पिंड h ऊंचाई तथा θ कोण वाले नत तल पर विरामावस्था से नीचे लुढ़कता है:

त्वरण: a = (g sin θ) / [ 1 + (k² / R²) ]

तली पर वेग: v = √[ (2 g h) / (1 + (k² / R²)) ]

तली तक पहुंचने का समय: t = (1 / sin θ) √[ (2 h / g) (1 + k²/R²) ]

नत तल पर गति की तुलनात्मक तालिका

त्वरण [1 + (k²/R²)] के व्युत्क्रमानुपाती होता है। अतः जिस पिंड हेतु k²/R² का मान न्यूनतम होगा, उसका त्वरण अधिकतम होगा और वह सबसे पहले नीचे पहुंचेगा:

लोटन करता पिंड	k² / R² का मान	रैखिक त्वरण (a)	तली पर वेग (v)	पहुंचने का क्रम
ठोस गोला (Solid Sphere)	2 / 5 = 0.40	(5/7) g sin θ ≈ 0.714 g sin θ	√(10gh / 7) ≈ 1.195 √(gh)	प्रथम (सबसे तेज!)
ठोस चकती / ठोस बेलन	1 / 2 = 0.50	(2/3) g sin θ ≈ 0.667 g sin θ	√(4gh / 3) ≈ 1.155 √(gh)	द्वितीय
खोखला गोला (खोल)	2 / 3 ≈ 0.67	(3/5) g sin θ = 0.600 g sin θ	√(6gh / 5) ≈ 1.095 √(gh)	तृतीय
वलय / खोखला बेलन	1.00	(1/2) g sin θ = 0.500 g sin θ	√(gh) = 1.000 √(gh)	चतुर्थ (सबसे धीमा!)

आश्चर्यजनक परिणाम: नत तल पर त्वरण तथा रेस का परिणाम पिंड के द्रव्यमान M तथा त्रिज्या R से पूर्णतः स्वतंत्र होता है! 10 ग्राम का कंचा 100 किलोग्राम की विशालकाय चकती को सदैव हरा देगा, क्योंकि रेस केवल ज्यामितीय कारक (k²/R²) पर निर्भर करती है।

शुद्ध लोटन हेतु न्यूनतम घर्षण

नत तल पर बिना फिसले शुद्ध लोटन हेतु आवश्यक न्यूनतम स्थैतिक घर्षण गुणांक:

μ_s,min = (tan θ) / [ 1 + (R² / k²) ]

5. शुद्ध लोटनिक गति का सदिश संचित्र

चित्र 6.6 — शुद्ध लोटन में वेगों का सदिश योग

  [शुद्ध स्थानांतरण]          [शुद्ध घूर्णन]              [संयुक्त शुद्ध लोटन]
      v_cm                      +Rω                           v_शीर्ष = 2 v_cm
       -->                       -->                              ====>
    +-------+                 +-------+                         +-------+
    |   O-->| v_cm     +      |   O   |                =        |   O-->| v_cm
    +-------+                 +-------+                         +-------+
       -->                       <--                                o
      v_cm                      -Rω                           v_संपर्क = 0
                                                       (तात्क्षणिक विराम बिंदु!)
      

परीक्षा अवलोकन बिंदु: चूंकि संपर्क बिंदु पर v_{संपर्क} = 0 है, अतः संपर्क बिंदु सतह पर कभी नहीं फिसलता। फलस्वरूप स्थिर सतह पर स्थैतिक घर्षण द्वारा किया गया कार्य शून्य होता है और यांत्रिक ऊर्जा पूर्णतः संरक्षित रहती है!

चरण-दर-चरण हल किए गए संख्यात्मक उदाहरण

हल किया गया उदाहरण 1: लुढ़कते ठोस गोले की गतिज ऊर्जा का प्रभाजी वितरण

प्रश्न: M द्रव्यमान का एक ठोस गोला v चाल से क्षैतिज फर्श पर बिना फिसले लुढ़क रहा है। कुल गतिज ऊर्जा में घूर्णी गतिज ऊर्जा का प्रतिशत ज्ञात कीजिए।

K_rot / K_कुल = 2 / 7 ≈ 28.57%

चरण 1: व्यक्तिगत गतिज ऊर्जाएं:
स्थानांतरीय ऊर्जा: K_trans = ½ M v²।
घूर्णी ऊर्जा: K_rot = ½ I ω² = ½ [(2/5) M R²] (v/R)² = (1/5) M v²।

चरण 2: कुल गतिज ऊर्जा:
K_कुल = (½ + 1/5) M v² = (7/10) M v²।

चरण 3: घूर्णी प्रतिशत:
प्रतिशत = [(1/5) / (7/10)] × 100 = 2 / 7 ≈ 28.57%। (स्थानांतरीय भाग 71.43% होता है)।

हल किया गया उदाहरण 2: नत तल पर वेग की तुलना (चकती बनाम वलय)

प्रश्न: समान द्रव्यमान तथा त्रिज्या की एक ठोस चकती एवं एक पतला वलय h = 3 m ऊंचे नत तल से विरामावस्था से छोड़े जाते हैं। तली पर पहुंचने पर उनके वेग क्या होंगे? (g = 9.8 m/s² लें)।

v_चकती = 6.26 m/s · v_वलय = 5.42 m/s

चरण 1: सूत्र v = √[ (2 g h) / (1 + k²/R²) ]:
ठोस चकती (k²/R² = 0.5):
v_चकती = √[ (2 × 9.8 × 3) / (1 + 0.5) ] = √[ 58.8 / 1.5 ] = √39.2 ≈ 6.26 m/s।

चरण 2: पतला वलय (k²/R² = 1.0):
v_वलय = √[ (2 × 9.8 × 3) / (1 + 1.0) ] = √[ 58.8 / 2.0 ] = √29.4 ≈ 5.42 m/s।
चकती का वेग अधिक होगा और वह पहले पहुंचेगी।

6. हल किए गए NEET एवं JEE अभ्यास प्रश्न

प्रश्न 1. M द्रव्यमान तथा R त्रिज्या का ठोस बेलन θ कोण के नत तल पर बिना फिसले नीचे लुढ़कता है। इसका रैखिक त्वरण होगा:

A. g sin θ
B. (2/3) g sin θ
C. (1/2) g sin θ
D. (5/7) g sin θ

उत्तर: B

व्याख्या: ठोस बेलन हेतु k²/R² = 1/2।
a = (g sin θ) / [1 + 1/2] = (2/3) g sin θ।

प्रश्न 2. क्षैतिज सड़क पर बिना फिसले शुद्ध लोटन में घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य होता है:

A. धनात्मक
B. ऋणात्मक
C. शून्य
D. अनंत

उत्तर: C

व्याख्या: शुद्ध लोटन में संपर्क बिंदु का तात्क्षणिक वेग शून्य होता है (v_{संपर्क} = 0)। संपर्क बिंदु का कोई विस्थापन न होने के कारण स्थैतिक घर्षण द्वारा किया गया कार्य शून्य होता है।

प्रश्न 3. समान द्रव्यमान के ठोस गोले, खोखले गोले, ठोस बेलन तथा वलय को एक साथ नत तल से लुढ़काया जाता है। तली पर सबसे अंत में कौन पहुंचेगा?

A. ठोस गोला
B. खोखला गोला
C. ठोस बेलन
D. वृत्ताकार वलय

उत्तर: D

व्याख्या: समय t ∝ √(1 + k²/R²)। वलय के लिए k²/R² का मान सर्वाधिक (1.0) है, अतः इसका त्वरण न्यूनतम होगा और यह सबसे अंत में पहुंचेगा।

प्रश्न 4. विराम से प्रारंभ होकर 3 rad/s² के नियत कोणीय त्वरण से घूमते पहिए का प्रथम 4 सेकंड में कुल कोणीय विस्थापन होगा:

A. 12 rad
B. 24 rad
C. 36 rad
D. 48 rad

उत्तर: B

व्याख्या: θ = ω₀t + ½ α t² = 0 + ½ (3)(4)² = ½ (3)(16) = 24 rad।

7. अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQs)

नत तल पर नीचे लुढ़कते पिंड पर घर्षण बल ऊपर की ओर क्यों कार्य करता है?

गुरुत्वाकर्षण का घटक (Mg sin θ) पिंड को नीचे की ओर खिसकाने का प्रयास करता है। संपर्क बिंदु पर इस फिसलन का विरोध करने हेतु स्थैतिक घर्षण ऊपर की ओर लगता है। यह घर्षण बल द्रव्यमान केंद्र के परितः आघूर्ण (τ = f · R) उत्पन्न करता है जो लोटन की शुद्ध शर्त a = Rα को बनाए रखने हेतु आवश्यक कोणीय त्वरण प्रदान करता है।

यदि नत तल पूर्णतः घर्षणरहित (μ = 0) हो तो क्या होगा?

घर्षण के अभाव में द्रव्यमान केंद्र के परितः कोई बल आघूर्ण नहीं होगा (τ = 0), अतः कोणीय त्वरण शून्य होगा (α = 0)। पिंड बिल्कुल नहीं घूमेगा, बल्कि एक घर्षणरहित गुटके की भांति सीधे a = g sin θ त्वरण से फिसलता हुआ नीचे आ जाएगा।

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