क्या किसी पिंड का द्रव्यमान केंद्र सदैव उसके पदार्थ के भीतर ही स्थित होना आवश्यक है?

नहीं। द्रव्यमान केंद्र एक गणितीय बिंदु है और यह वस्तु के पदार्थ के बाहर रिक्त स्थान में भी स्थित हो सकता है। उदाहरण के लिए, एक समान वलय (छल्ला), खोखले बेलन अथवा खोखले गोले का द्रव्यमान केंद्र उनके ज्यामितीय केंद्र पर होता है जहां कोई द्रव्यमान नहीं होता।

क्या आंतरिक बल द्रव्यमान केंद्र की गति अवस्था को परिवर्तित कर सकते हैं?

नहीं। न्यूटन के तृतीय नियम के अनुसार आंतरिक बल सदैव क्रिया-प्रतिक्रिया युग्मों में निरस्त हो जाते हैं (कुल F_int = 0)। केवल परिणामी बाह्य बल ही द्रव्यमान केंद्र में त्वरण उत्पन्न कर सकता है (A_cm = F_ext / M)। उदाहरणार्थ, हवा में प्रक्षेप्य के विस्फोट के बाद भी द्रव्यमान केंद्र का परवलयाकार पथ अपरिवर्तित रहता है।

अर्धवृत्ताकार तार और अर्धवृत्ताकार चकती के द्रव्यमान केंद्र की स्थिति क्या होती है?

R त्रिज्या के एकसमान अर्धवृत्ताकार तार (वलय) का द्रव्यमान केंद्र सममिति अक्ष पर y = 2R/pi पर होता है। R त्रिज्या की एकसमान अर्धवृत्ताकार चकती का द्रव्यमान केंद्र केंद्र से y = 4R/(3pi) की दूरी पर स्थित होता है।

§ 6.1NCERT कक्षा 11 · भौतिकी · अध्याय 6

द्रव्यमान केंद्र एवं द्रव्यमान केंद्र की गति

QCC Notes · कक्षा 11 भौतिकी NCERT आधारित अद्यतन 26 सितंबर 2026 11 मिनट पठन

वास्तविक भौतिक वस्तुएं केवल एक बिंदु कण नहीं होतीं, बल्कि वे परस्पर अंतःक्रिया करने वाले करोड़ों कणों का एक विस्तृत निकाय होती हैं। किसी निकाय का द्रव्यमान केंद्र (Centre of Mass - CM) वह अद्वितीय बिंदु होता है जहां निकाय का संपूर्ण द्रव्यमान केंद्रित माना जा सकता है तथा स्थानांतरीय गति के विश्लेषण हेतु सभी बाह्य बलों को उसी बिंदु पर आरोपित माना जा सकता है।

1. द्रव्यमान केंद्र का गणितीय निरूपण

A. द्विकण विविक्त निकाय (Two-Particle Discrete System)

माना m₁ तथा m₂ द्रव्यमान के दो बिंदु कण x-अक्ष पर क्रमशः x₁ तथा x₂ निर्देशांकों पर स्थित हैं। उनके द्रव्यमान केंद्र की स्थिति X_cm निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:

X_cm = (m₁x₁ + m₂x₂) / (m₁ + m₂)

यदि मूलबिंदु को कण m₁ पर मान लिया जाए (अर्थात x₁ = 0 और x₂ = d), तो m₁ से द्रव्यमान केंद्र की दूरी होगी:

r₁ = [m₂ / (m₁ + m₂)] d तथा r₂ = [m₁ / (m₁ + m₂)] d

यह मूलभूत व्युत्क्रमानुपाती द्रव्यमान नियम दर्शाता है: m₁r₁ = m₂r₂। द्रव्यमान केंद्र दोनों कणों को मिलाने वाली रेखा को उनके द्रव्यमानों के व्युत्क्रमानुपात में विभाजित करता है, अर्थात यह भारी कण के अधिक निकट होता है।

B. त्रिविमीय आकाश में N कणों का निकाय

n कणों के निकाय के लिए जिनके द्रव्यमान m₁, m₂, ..., m_n तथा स्थिति सदिश r₁, r₂, ..., r_n हैं:

R_cm = (∑ m_i r_i) / M = (1/M) ∑ m_i r_i जहां M = ∑ m_i

कार्तीजीय घटकों में:

X_cm = (m₁x₁ + m₂x₂ + ... + m_nx_n) / M
Y_cm = (m₁y₁ + m₂y₂ + ... + m_ny_n) / M
Z_cm = (m₁z₁ + m₂z₂ + ... + m_nz_n) / M

2. सतत द्रव्यमान वितरण एवं मानक ज्यामितियां

सतत द्रव्यमान वितरण वाले दृढ़ पिंडों के लिए योगफल (समेकन) को समाकलन द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है:

X_cm = (1/M) ∫ x dm, Y_cm = (1/M) ∫ y dm, Z_cm = (1/M) ∫ z dm

मानक सममित पिंड	द्रव्यमान वितरण / अल्पांश	द्रव्यमान केंद्र की स्थिति (आधार अथवा केंद्र से)
एकसमान सीधी छड़ (लंबाई L)	रैखिक घनत्व λ = M/L	x_cm = L / 2 (मध्य बिंदु)
अर्धवृत्ताकार तार (वलय, त्रिज्या R)	ऊपरी अर्धभाग में रैखिक तार	y_cm = 2R / π ≈ 0.637 R
अर्धवृत्ताकार चकती (त्रिज्या R)	पृष्ठीय घनत्व σ = 2M/(πR²)	y_cm = 4R / (3π) ≈ 0.424 R
खोखला अर्धगोला (त्रिज्या R)	खोखला पृष्ठ	y_cm = R / 2 = 0.5 R
ठोस अर्धगोला (त्रिज्या R)	एकसमान आयतन घनत्व	y_cm = 3R / 8 = 0.375 R
ठोस लंबवृत्तीय शंकु (ऊंचाई h)	आधार से आयतन समाकलन	y_cm = h / 4 (समतल आधार से)
खोखला लंबवृत्तीय शंकु (ऊंचाई h)	आधार से पृष्ठीय समाकलन	y_cm = h / 3 (समतल आधार से)

गुहिका समस्याओं हेतु ऋणात्मक द्रव्यमान विधि

जब M_कुल द्रव्यमान वाले मूल सममित पिंड से m_{हटाया} द्रव्यमान का भाग काटकर अलग कर दिया जाता है:

X_शेष = (M_कुल X_मूल − m_{हटाया} x_{गुहिका}) / (M_कुल − m_{हटाया})

यह सुरुचिपूर्ण घटाव विधि असममित गुहा वाली संरचनाओं को ऋणात्मक द्रव्यमान वाले मानक दो-पिंड निकाय में रूपांतरित कर देती है।

3. द्रव्यमान केंद्र की शुद्धगतिकी एवं गतिकी

A. द्रव्यमान केंद्र का वेग एवं त्वरण

स्थिति सदिश R_cm का समय के सापेक्ष अवकलन करने पर:

V_cm = dR_cm/dt = (∑ m_i v_i) / M = P_कुल / M
A_cm = dV_cm/dt = (∑ m_i a_i) / M = (∑ F_i) / M

B. कणों के निकाय हेतु न्यूटन का द्वितीय नियम

कणों पर लगने वाले बल आंतरिक बलों (परस्पर अंतःक्रिया) तथा बाह्य बलों (पर्यावरण द्वारा) का योग होते हैं:

∑ F_i = ∑ F_ext + ∑ F_int

क्योंकि आंतरिक बल न्यूटन के तीसरे नियम का पालन करते हैं (समान, विपरीत एवं संरेखीय युग्म, F_ij = −F_ji), अतः सभी आंतरिक बलों का सदिश योग शून्य होता है: ∑ F_int = 0।

F_ext = M A_cm = dP_कुल / dt

किसी निकाय का द्रव्यमान केंद्र इस प्रकार गति करता है मानो निकाय का संपूर्ण द्रव्यमान उसी बिंदु पर केंद्रित हो तथा सभी बाह्य बल सीधे उसी बिंदु पर आरोपित हों।

JEE जाल (TRAP): आंतरिक बल (गुटकों के बीच स्प्रिंग, रासायनिक विस्फोट, पेशीय संकुचन, युग्मतारा तंत्र का गुरुत्वाकर्षण) पृथक कणों के वेग एवं गतिज ऊर्जा को बदल सकते हैं, परंतु वे द्रव्यमान केंद्र को कभी त्वरित या विचलित नहीं कर सकते!

C. निकाय का रैखिक संवेग संरक्षण

जब किसी निकाय पर कुल बाह्य बल शून्य हो (F_ext = 0):

A_cm = 0 ⇒ V_cm = नियतांक ⇒ P_कुल = नियतांक

यदि द्रव्यमान केंद्र प्रारंभ में स्थिर था (V_cm = 0), तो वह सदैव स्थिर रहेगा:

ΔR_cm = (∑ m_i Δr_i) / M = 0 ⇒ ∑ m_i Δr_i = 0

यह प्रसिद्ध विस्थापन संबंध प्रदान करता है: m₁ Δx₁ + m₂ Δx₂ = 0 (जैसे घर्षणरहित जल में नाव पर चलता व्यक्ति)।

4. द्रव्यमान केंद्र विस्थापन एवं संवेग संरक्षण का रेखाचित्र

चित्र 6.1 — हवा में प्रक्षेप्य का विस्फोट बनाम द्रव्यमान केंद्र का प्रक्षेप पथ

                 ऊंचाई
                    ^              [यहां विस्फोट होता है!]
                    |                     * (टुकड़े सभी दिशाओं में बिखरते हैं)
                    |                    /                     |                   /                       |                  /     \  <-- वास्तविक टुकड़े बिखर जाते हैं
                    |                 /   .                       |                /  .   .                      |               / .       .                     |              /.           .\  <-- CM का परवलयाकार पथ अपरिवर्तित रहता है!
                    +-------------+---------------+-------------------------> दूरी (x)
                                प्रक्षेपण बिंदु    अखंडित परवलय का अवतरण बिंदु
      

परीक्षा अवलोकन बिंदु: विस्फोट से पहले और बाद में केवल गुरुत्वाकर्षण ही एकमात्र बाह्य बल है। चूंकि आंतरिक विस्फोट बलों का कुल योग शून्य होता है, अतः द्रव्यमान केंद्र ठीक उसी परवलयाकार पथ पर आगे बढ़ता रहता है जैसे कि कोई विस्फोट हुआ ही न हो।

चरण-दर-चरण हल किए गए संख्यात्मक उदाहरण

हल किया गया उदाहरण 1: वृत्ताकार चकती में छिद्र (गुहिका समस्या)

प्रश्न: R त्रिज्या तथा मूलबिंदु (0,0) पर केंद्र वाली एकसमान चकती में से r = R/2 त्रिज्या की एक छोटी वृत्ताकार चकती काटी जाती है जिसका केंद्र (R/2, 0) पर है। शेष भाग के द्रव्यमान केंद्र के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

द्रव्यमान केंद्र: (−R/6, 0)

चरण 1: द्रव्यमान अनुपात ज्ञात करना:
माना पृष्ठीय द्रव्यमान घनत्व σ है।
संपूर्ण मूल चकती का द्रव्यमान: M₁ = σ · πR²
हटाए गए भाग का द्रव्यमान: M₂ = σ · π(R/2)² = M₁ / 4
शेष भाग का द्रव्यमान: M_शेष = M₁ − M₂ = 3M₁ / 4।

चरण 2: ऋणात्मक द्रव्यमान सूत्र का प्रयोग:
मूल चकती का केंद्र: x₁ = 0
हटाए गए छिद्र का केंद्र: x₂ = R/2
X_cm = (M₁x₁ − M₂x₂) / (M₁ − M₂)
X_cm = [M₁(0) − (M₁/4)(R/2)] / [3M₁/4] = [−M₁ R / 8] / [3M₁/4] = −R/6।
x-अक्ष के परितः सममिति के कारण Y_cm = 0। अतः नया द्रव्यमान केंद्र (−R/6, 0) पर स्थित है।

हल किया गया उदाहरण 2: घर्षणरहित जल में नाव पर चलता व्यक्ति

प्रश्न: 50 kg द्रव्यमान का एक व्यक्ति 150 kg द्रव्यमान तथा 4 m लंबाई की स्थिर नाव के एक सिरे पर खड़ा है। नाव शांत घर्षणरहित जल पर तैर रही है। यदि व्यक्ति नाव के दूसरे सिरे पर चल कर जाता है, तो शांत जल के सापेक्ष नाव का विस्थापन ज्ञात कीजिए।

नाव का विस्थापन: 1.0 m (विपरीत दिशा में)

चरण 1: बाह्य बलों का परीक्षण:
क्षैतिज दिशा में बाह्य बल शून्य है (जल घर्षणरहित है)। अतः निकाय के द्रव्यमान केंद्र का क्षैतिज विस्थापन शून्य होगा: ΔX_cm = 0।

चरण 2: सापेक्ष विस्थापन मानना:
माना नाव जल के सापेक्ष x दूरी पीछे खिसकती है।
जल के सापेक्ष नाव का विस्थापन: Δx_नाव = −x
नाव के सापेक्ष व्यक्ति का विस्थापन: +L = +4 m
जल के सापेक्ष व्यक्ति का विस्थापन: Δx_{व्यक्ति} = 4 − x

चरण 3: द्रव्यमान केंद्र संरक्षण समीकरण:
m · Δx_{व्यक्ति} + M · Δx_नाव = 0
50(4 − x) + 150(−x) = 0
200 − 50x − 150x = 0 ⇒ 200x = 200 ⇒ x = 1.0 m।
नाव शांत जल के सापेक्ष 1.0 m पीछे की ओर खिसक जाएगी।

5. हल किए गए NEET एवं JEE अभ्यास प्रश्न

प्रश्न 1. 1 m भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज के शीर्षों पर 1 kg, 2 kg तथा 3 kg के तीन बिंदु द्रव्यमान रखे हैं। यदि 1 kg द्रव्यमान मूलबिंदु (0,0) पर तथा 2 kg द्रव्यमान (1, 0) पर स्थित हो, तो द्रव्यमान केंद्र के निर्देशांक होंगे:

A. (7/12, √3/4)
B. (5/12, √3/2)
C. (1/2, √3/6)
D. (7/6, √3/2)

उत्तर: A

व्याख्या: शीर्षों के निर्देशांक: 1 kg हेतु (0,0), 2 kg हेतु (1,0) तथा 3 kg हेतु (0.5, √3/2)।
कुल द्रव्यमान M = 1 + 2 + 3 = 6 kg।
X_cm = [1(0) + 2(1) + 3(0.5)] / 6 = 3.5 / 6 = 7/12 m।
Y_cm = [1(0) + 2(0) + 3(√3/2)] / 6 = (1.5√3) / 6 = √3/4 m।

प्रश्न 2. विराम में रखा एक बम 1 : 1 : 2 के द्रव्यमान अनुपात में तीन टुकड़ों में विस्फोटित हो जाता है। समान द्रव्यमान वाले दो टुकड़े परस्पर लंबवत दिशाओं में 30 m/s की चाल से उड़ते हैं। तीसरे भारी टुकड़े का वेग क्या होगा?

A. 15 m/s
B. 15√2 m/s
C. 30√2 m/s
D. 45 m/s

उत्तर: B

व्याख्या: माना द्रव्यमान m, m तथा 2m हैं। प्रारंभिक संवेग शून्य था।
दो लंबवत टुकड़ों का परिणामी संवेग = √(p₁² + p₂²) = √[(30m)² + (30m)²] = 30√2 m।
संवेग संरक्षण से: तीसरे टुकड़े का संवेग इसके बराबर तथा विपरीत होना चाहिए:
(2m) v₃ = 30√2 m ⇒ v₃ = 15√2 m/s।

प्रश्न 3. R त्रिज्या के एकसमान ठोस अर्धगोले के द्रव्यमान केंद्र की उसके समतल आधार से दूरी होती है:

A. R / 2
B. 2R / π
C. 3R / 8
D. 4R / (3π)

उत्तर: C

व्याख्या: आयतन समाकलन विधि द्वारा एकसमान ठोस अर्धगोले का द्रव्यमान केंद्र समतल आधार से सममिति अक्ष के अनुदिश y_cm = 3R / 8 की दूरी पर होता है। (खोखले अर्धगोलीय खोल हेतु यह R/2 होता है)।

प्रश्न 4. तोप से दागा गया एक गोला परवलयाकार पथ पर गति कर रहा है। उड़ान के दौरान वह टुकड़ों में फट जाता है। सभी टुकड़ों का संयुक्त द्रव्यमान केंद्र:

A. ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर गिरेगा
B. पूर्ववत परवलयाकार पथ पर आगे बढ़ता रहेगा
C. क्षैतिज दिशा में गति करेगा
D. तुरंत विराम में आ जाएगा

उत्तर: B

व्याख्या: विस्फोट के बल पूर्णतः आंतरिक बल हैं। निकाय पर लगने वाला एकमात्र बाह्य बल गुरुत्वाकर्षण (Mg नीचे की ओर) है। बाह्य बल अपरिवर्तित रहने के कारण द्रव्यमान केंद्र का त्वरण g बना रहता है और वह अपने मूल परवलयाकार पथ पर ही गति करता रहेगा।

6. अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQs)

द्रव्यमान केंद्र केवल द्रव्यमान वितरण पर क्यों निर्भर करता है, निर्देशांक अक्षों के चयन पर क्यों नहीं?

द्रव्यमान केंद्र वस्तु की भौतिक ज्यामिति से बंधा एक वास्तविक भौतिक बिंदु है। जब हम मूलबिंदु या अक्ष बदलते हैं तो केवल उसके निर्देशांक (x, y, z) के संख्यात्मक मान बदलते हैं, परंतु आकाश में उस बिंदु की वास्तविक स्थिति वस्तु के कणों के सापेक्ष सदैव अपरिवर्तित रहती है।

द्रव्यमान केंद्र (CM) तथा गुरुत्व केंद्र (CG) में कब अंतर होता है?

द्रव्यमान केंद्र वह बिंदु है जहां द्रव्यमान संतुलित होता है, जबकि गुरुत्व केंद्र वह बिंदु है जहां कुल गुरुत्वीय बल आघूर्ण शून्य होता है। जब गुरुत्वीय क्षेत्र g एकसमान होता है, तो CM और CG संपाती होते हैं। परंतु अत्यधिक विशाल संरचनाओं (जैसे पर्वत या उपग्रह) में जहां ऊंचाई के साथ g बदलता है, CG द्रव्यमान केंद्र से थोड़ा नीचे स्थित होता है।

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