गुरुत्व की अनुपस्थिति में छोटी द्रव बूंदें पूर्णतः गोलाकार क्यों हो जाती हैं?

पृष्ठ तनाव के कारण द्रव के पृष्ठ पर स्थित अणुओं में अतिरिक्त स्थितिज ऊर्जा (पृष्ठ ऊर्जा U = T * A) होती है। स्थायी साम्यावस्था प्राप्त करने के लिए द्रव अपनी पृष्ठ ऊर्जा को न्यूनतम करने हेतु दिए गए आयतन के लिए पृष्ठीय क्षेत्रफल को न्यूनतम करने का प्रयास करता है। निश्चित आयतन के लिए गोला ही वह ज्यामितीय आकृति है जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल न्यूनतम होता है, अतः बूंद गोलाकार हो जाती है।

साबुन के बुलबुले के भीतर आधिक्य दाब समान त्रिज्या की द्रव बूंद की तुलना में दोगुना क्यों होता है?

द्रव बूंद में केवल एक मुक्त पृष्ठ (द्रव-वायु अंतरापृष्ठ) होता है (Delta P = 2T / R)। इसके विपरीत, साबुन के खोखले बुलबुले में द्रव की अत्यंत पतली झिल्ली होती है जिसके दो मुक्त पृष्ठ होते हैं (एक आंतरिक वायु पृष्ठ तथा दूसरा बाह्य वायु पृष्ठ)। अतः पृष्ठ तनाव दोनों पृष्ठों पर कार्य करता है, जिससे आधिक्य दाब दोगुना Delta P = 4T / R प्राप्त होता है।

यदि अपर्याप्त ऊंचाई वाली केशिका नली को जल में डुबोया जाए, तो क्या जल बाहर छलक जाता है?

नहीं, जल कभी बाहर नहीं छलक सकता! यदि केशिका नली की ऊंचाई h' सैद्धांतिक उन्नयन ऊंचाई h से कम हो, तो जल नली के ऊपरी सिरे तक चढ़कर रुक जाता है। वहां उसका वक्र चंद्रतल (Meniscus) चपटा हो जाता है जिससे उसकी वक्रता त्रिज्या R' इस प्रकार बढ़ जाती है कि h' * R' = h * R = स्थिरांक रहता है। एक भी बूंद बाहर नहीं गिरती।

§ 9.5NCERT कक्षा 11 · भौतिकी · अध्याय 9

पृष्ठ तनाव, पृष्ठ ऊर्जा, आधिक्य दाब एवं केशिकत्व

QCC Notes · कक्षा 11 भौतिकी NCERT आधारित अद्यतन 26 सितंबर 2026 8 मिनट पठन

किसी द्रव का मुक्त पृष्ठ न्यूनतम पृष्ठीय क्षेत्रफल घेरने की विशिष्ट प्रवृत्ति दर्शाता है, और ऐसा व्यवहार करता है मानो वह तनी हुई प्रत्यास्थ झिल्ली हो। इस परिघटना को पृष्ठ तनाव (Surface Tension) कहते हैं। वर्षा की बूंदों का गोल होना, जल की सतह पर कीड़ों का चलना तथा केशिका नलियों में द्रव का ऊपर चढ़ना इसी पर आधारित है।

1. पृष्ठ तनाव का आणविक सिद्धांत

आणविक आकर्षण दो प्रकार का होता है: संसंजक बल (Cohesive Force) (समान द्रव अणुओं के बीच) तथा आसंजक बल (Adhesive Force) (भिन्न पदार्थों के अणुओं के बीच)। वह अधिकतम दूरी जिस तक अंतराण्विक आकर्षण प्रभावी रहता है, आणविक परास (c ≈ 10^-9 m) कहलाती है।

   मुक्त पृष्ठ: ~~~~~~~~~~~~~~ अणु B (पृष्ठ पर स्थित) ~~~~~~~~~~~~~~
                                    |
                               (   |  / )  आधा गोला वायु में:
                                ( --o-- )   परिणामी नीचे की ओर संसंजक खिंचाव!
                                 ( /| )    अतिरिक्त पृष्ठ ऊर्जा U = T * Delta A
                                    |
   आंतरिक भाग:                  (  | / )
                                ( --o-- )   अणु A (भीतर गहराई में)
                                ( / |  )   सभी दिशाओं से सममित खिंचाव:
                                            परिणामी बल = 0

चित्र 9.5A: द्रव के भीतर स्थित अणु तथा मुक्त पृष्ठ पर स्थित अणु पर कार्यरत संसंजक बलों की तुलना।

द्रव के भीतर स्थित अणु: चारों ओर से समान अणुओं द्वारा आकर्षित होता है, अतः परिणामी संसंजक बल शून्य होता है।
पृष्ठीय परत में स्थित अणु (मोटाई ≈ 10^-9 m): ऊपर कोई द्रव अणु न होने के कारण भीतर की ओर एक असंतुलित परिणामी खिंचाव बल अनुभव करता है।
पृष्ठ ऊर्जा: किसी अणु को भीतर से खींचकर पृष्ठ पर लाने में इस आंतरिक आकर्षण बल के विरुद्ध कार्य करना पड़ता है। यह कार्य पृष्ठ पर अणुओं में स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित होता है, जिसे पृष्ठ ऊर्जा कहते हैं। न्यूनतम स्थितिज ऊर्जा की स्थिति प्राप्त करने के लिए द्रव अपने पृष्ठ क्षेत्रफल को सिकोड़कर न्यूनतम करने का प्रयास करता है।

2. मात्रात्मक परिभाषा एवं पृष्ठ ऊर्जा संबंध

द्रव के मुक्त पृष्ठ पर खींची गई काल्पनिक रेखा की प्रति एकांक लंबाई पर पृष्ठ के स्पर्शरेखीय कार्य करने वाले बल को पृष्ठ तनाव (T अथवा S) कहते हैं:

T = F/L

SI मात्रक: N/m अथवा J/m²।
विमीय सूत्र: [T] = [M¹ L⁰ T^-2] (कमानी नियतांक k के समान)।

पृष्ठ तनाव एवं पृष्ठ ऊर्जा में संबंध

L चौड़ाई के U-आकार के तार के फ्रेम पर साबुन की झिल्ली पर विचार करें। चूंकि झिल्ली के दो मुक्त पृष्ठ (ऊपर व नीचे) होते हैं, अतः स्लाइडर पर भीतर की ओर कुल बल F = 2TL होता है। स्लाइडर को Δ x दूरी तक बाहर खींचने में किया गया कार्य:

W = F · Δ x = (2 T L)Δ x = T (2 L Δ x) = T · Δ A

पृष्ठ क्षेत्रफल वृद्धि में किया गया कार्य:

W = T · Δ A

अतः पृष्ठ तनाव संख्यात्मक एवं विमीय रूप से प्रति एकांक क्षेत्रफल वृद्धि में संचित पृष्ठ ऊर्जा के ठीक बराबर होता है (T = W / Δ A)।

बूंदों के विखंडन एवं संलयन में कार्य

R त्रिज्या की 1 बड़ी बूंद को n समान छोटी बूंदों (r त्रिज्या) में तोड़ना: आयतन संरक्षण से: r = R / n^1/3।
Δ A = n(4π r²) - 4π R² = 4π R² (n^1/3 - 1)

W = T · Δ A = 4π T R² (n^1/3 - 1)
चूंकि ऊर्जा अवशोषित होती है, अतः बूंदों का तापमान घट जाता है (शीतलन होता है): Δ θ = 3T/(ρ s)(1/r - 1/R)।
R₁ से R₂ त्रिज्या का साबुन का बुलबुला फुलाने में कार्य (2 पृष्ठ!):
W = T · Δ A_total = 8π T (R₂² - R₁²)

3. बूंदों एवं बुलबुलों के भीतर आधिक्य दाब

पृष्ठ तनाव के कारण मुड़ा हुआ वक्र पृष्ठ अवतल दिशा की ओर परिणामी संकुचन बल लगाता है। यांत्रिक संतुलन के लिए अवतल भाग का दाब उत्तल भाग के दाब से आधिक्य दाब (Δ P) अधिक होना चाहिए:

अंतरापृष्ठ	मुक्त पृष्ठों की संख्या	आधिक्य दाब (Δ P = P_in - P_out)	उदाहरण
गोलीय द्रव बूंद	1 पृष्ठ (द्रव-वायु)	Δ P = 2T/R	वर्षा की बूंद, पारे की बूंद
द्रव के भीतर वायु का बुलबुला	1 पृष्ठ (वायु-द्रव)	Δ P = 2T/R	जल में उठने वाला वायु बुलबुला
खोखला साबुन का बुलबुला	2 पृष्ठ (भीतरी व बाहरी)	Δ P = 4T/R	साबुन के घोल का बुलबुला
बेलनाकार द्रव जेट	1 बेलनाकार पृष्ठ	Δ P = T/R	नोजल से निकलती द्रव धारा

4. स्पर्श कोण एवं केशिकीय उन्नयन (ज्यूरिन का नियम)

स्पर्श कोण (θ_c)

ठोस व द्रव के संपर्क बिंदु पर द्रव के पृष्ठ पर खींची गई स्पर्श रेखा तथा ठोस के पृष्ठ के मध्य (द्रव के अंदर की ओर मापा गया) कोण स्पर्श कोण कहलाता है:

न्यूनकोण (θ_c < 90^°): आसंजक बल संसंजक बलों से प्रबल होते हैं। द्रव ठोस को भिगोता है, चंद्रतल अवतल होता है, और द्रव केशिका नली में ऊपर चढ़ता है (जैसे कांच पर शुद्ध जल, θ_c ≈ 0^°)।
अधिककोण (θ_c > 90^°): संसंजक बल प्रभावी होते हैं। द्रव ठोस को नहीं भिगोता, चंद्रतल उत्तल होता है, और द्रव केशिका नली में नीचे गिरता है (जैसे कांच पर पारा, θ_c ≈ 135^°)।

केशिकीय उन्नयन सूत्र की व्युत्पत्ति

त्रिज्या r की कांच की केशिका नली को ρ घनत्व तथा T पृष्ठ तनाव वाले द्रव में डुबोने पर:

                                 |  |
                                 |  |  केशिका नली की आंतरिक त्रिज्या r
                                 |  |  चंद्रतल की वक्रता त्रिज्या R = r / cos(theta)
                                 |()|  अवतल चंद्रतल
                                 |  |  
                                 |  |  ऊपर की ओर पृष्ठ तनाव बल:
                                 |  |  F_up = T * (2 * pi * r) * cos(theta)
                                 |  |  
                                 |  |  स्तंभ के भार से संतुलन:
                                 |  |  W = m * g = (pi * r² * h) * rho * g
                          ~~~~~~~+--+~~~~~~~ मुक्त द्रव तल

चित्र 9.5B: परिधि के अनुदिश पृष्ठ तनाव के ऊर्ध्वाधर घटक तथा उठे हुए द्रव स्तंभ के भार के बीच साम्यावस्था।

परिधि के अनुदिश ऊपर की ओर कुल खिंचाव बल: F_up = (2π r) T cos θ_c।

ऊपर चढ़े द्रव स्तंभ का भार: W = (π r² h)ρ g।

संतुलन में (F_up = W):

2π r T cos θ_c = π r² h ρ g

केशिकीय उन्नयन सूत्र:

h = (2T cos θ_c)/(r ρ g) = 2T/(R ρ g)

जहाँ R = r / cos θ_c द्रव चंद्रतल की वक्रता त्रिज्या है।

ज्यूरिन का नियम एवं अपर्याप्त नली की लंबाई

ज्यूरिन का नियम (Jurin's Law): दिए गए द्रव-ठोस युग्म के लिए, h · r = स्थिरांक। संकीर्ण नली में द्रव अधिक ऊंचाई तक चढ़ता है।
अपर्याप्त लंबाई वाली नली (l < h): यदि l < h लंबाई की नली जल में रखी जाए, तो जल ऊपरी किनारे तक चढ़कर रुक जाता है। जल कभी बाहर नहीं छलक सकता! चंद्रतल चपटा होकर अपनी वक्रता त्रिज्या R से बढ़ाकर R' कर लेता है:
l · R' = h · R ⇒ R' = R (h/l)

JEE एवं NEET हल किए गए अभ्यास प्रश्न

प्रश्न 1: पृष्ठ तनाव T = 0.03 N/m वाले साबुन के घोल से 5 cm त्रिज्या का साबुन का बुलबुला फुलाने में किए गए कार्य की गणना कीजिए। (π = 3.142 लें)।

हल:
साबुन के बुलबुले में दो मुक्त पृष्ठ (भीतरी व बाहरी) होते हैं।
प्रारंभिक त्रिज्या R₁ = 0, अंतिम त्रिज्या R₂ = 0.05 m।
कुल क्षेत्रफल वृद्धि:

Δ A = 2 × [4π R₂² - 0] = 8π R₂²

किया गया कार्य:

W = T · Δ A = 8π T R₂² = 8 × 3.142 × 0.03 × (0.05)²

W = 8 × 3.142 × 0.03 × 0.0025 = 1.885 × 10^-3 J = 1.885 mJ

प्रश्न 2: आंतरिक व्यास 0.4 mm की एक स्वच्छ कांच की केशिका नली को जल (T = 0.07 N/m, ρ = 1000 kg/m³, θ_c = 0^°) में ऊर्ध्वाधर डुबोया जाता है। (a) नली में जल कितनी ऊंचाई तक चढ़ेगा? (b) यदि नली को नीचे दबा दिया जाए ताकि जल की सतह से केवल3 cm नली बाहर रहे, तो चंद्रतल की नई वक्रता त्रिज्या क्या होगी? (g = 9.8 m/s² लें)।

हल:
(a) आंतरिक त्रिज्या r = d/2 = 0.2 mm = 2 × 10^-4 m।
सैद्धांतिक केशिकीय उन्नयन:

h = (2T cos θ_c)/(r ρ g) = (2 × 0.07 × cos 0^°)/((2 × 10^-4) × 1000 × 9.8) = 0.14/1.96 = 0.0714 m = 7.14 cm

(b) उपलब्ध लंबाई l = 3 cm = 0.03 m < h होने पर, जल शीर्ष तक चढ़कर बिना छलके चपटा हो जाता है।
चूंकि h R = l R', तथा प्रारंभ में R = r / cos 0^° = 0.2 mm:

R' = R (h/l) = 0.2 mm × (7.14/3.0) ≈ 0.476 mm

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQs)

Q1. छोटी बूंदें गोलाकार क्यों होती हैं?

पृष्ठ तनाव के कारण द्रव अपनी पृष्ठ ऊर्जा और पृष्ठीय क्षेत्रफल को न्यूनतम रखने का प्रयास करता है। निश्चित आयतन के लिए गोले का क्षेत्रफल न्यूनतम होता है।

Q2. साबुन के बुलबुले में आधिक्य दाब कितना होता है?

साबुन के बुलबुले में दो मुक्त पृष्ठ होने के कारण आधिक्य दाब Delta P = 4T / R होता है।

Q3. अपर्याप्त लंबाई की केशिका नली में क्या होता है?

जल शीर्ष तक चढ़ जाता है परंतु बाहर नहीं छलक सकता। चंद्रतल चपटा होकर अपनी वक्रता त्रिज्या बढ़ा लेता है (h' * R' = h * R)।

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1. पृष्ठ तनाव का आणविक सिद्धांत

2. मात्रात्मक परिभाषा एवं पृष्ठ ऊर्जा संबंध

पृष्ठ तनाव एवं पृष्ठ ऊर्जा में संबंध

बूंदों के विखंडन एवं संलयन में कार्य

3. बूंदों एवं बुलबुलों के भीतर आधिक्य दाब

4. स्पर्श कोण एवं केशिकीय उन्नयन (ज्यूरिन का नियम)

स्पर्श कोण (θc)

केशिकीय उन्नयन सूत्र की व्युत्पत्ति

ज्यूरिन का नियम एवं अपर्याप्त नली की लंबाई

JEE एवं NEET हल किए गए अभ्यास प्रश्न

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQs)

स्पर्श कोण (θ_c)