उत्प्लावन बल (Upthrust) की भौतिक उत्पत्ति का क्या कारण है?

उत्प्लावन बल की उत्पत्ति गुरुत्व के अधीन स्थिर द्रव में गहराई के साथ द्रवस्थैतिक दाब की प्रवणता के कारण होती है। चूंकि गहराई बढ़ने पर दाब बढ़ता है (P = P_0 + rho * g * h), अतः डूबी हुई वस्तु की निचली सतह पर ऊपर की ओर लगने वाला द्रवस्थैतिक प्रणोद उसकी ऊपरी सतह पर नीचे की ओर लगने वाले प्रणोद से अधिक होता है। इन दोनों बलों का परिणामी ऊर्ध्वाधर अंतर ही उत्प्लावन बल F_B उत्पन्न करता है।

आर्किमिडीज का सिद्धांत क्या कहता है?

आर्किमिडीज के सिद्धांत के अनुसार, जब कोई वस्तु किसी स्थिर तरल में पूर्णतः अथवा आंशिक रूप से डुबोई जाती है, तो उस पर ऊपर की ओर एक उत्प्लावन बल कार्य करता है जिसका परिमाण वस्तु द्वारा विस्थापित तरल के भार के बराबर होता है: F_B = V_submerged * rho_fluid * g।

किसी तैरती हुई वस्तु के साम्यावस्था की तीन स्थितियां क्या हैं?

द्रव्यमान m एवं आयतन V वाली वस्तु के लिए: (1) यदि rho_s > rho_f, तो वस्तु का भार अधिकतम उत्प्लावन बल से अधिक होता है और वस्तु डूब जाती है; (2) यदि rho_s = rho_f, तो भार और अधिकतम उत्प्लावन बल समान होते हैं और वस्तु पूर्णतः डूबकर उदासीन साम्यावस्था में तैरती है; (3) यदि rho_s < rho_f, तो वस्तु आंशिक रूप से डूबकर तैरती है जहाँ निमग्न आयतन अनुपात V_in / V = rho_s / rho_f होता है।

जल में तैरती हुई बर्फ के पिघलने पर क्या जल का स्तर बढ़ता है?

नहीं, जल का स्तर पूर्णतः अपरिवर्तित रहता है! तैरते समय बर्फ का टुकड़ा अपने द्रव्यमान के बराबर जल विस्थापित करता है। जब बर्फ पूर्णतः पिघलती है, तो वह ठीक उसी द्रव्यमान के द्रव जल में बदल जाती है जिसका आयतन V_melt = m_ice / rho_water पहले से विस्थापित जल के आयतन V_in के बिल्कुल बराबर होता है।

§ 9.2NCERT कक्षा 11 · भौतिकी · अध्याय 9

आर्किमिडीज का सिद्धांत, उत्प्लावकता एवं प्लवन के नियम

Q: जल में तैरती हुई बर्फ के पिघलने पर क्या जल का स्तर बढ़ता है?

नहीं, जल का स्तर पूर्णतः अपरिवर्तित रहता है! तैरते समय बर्फ का टुकड़ा अपने द्रव्यमान के बराबर जल विस्थापित करता है। जब बर्फ पूर्णतः पिघलती है, तो वह ठीक उसी द्रव्यमान के द्रव जल में बदल जाती है जिसका आयतन V_melt = m_ice / rho_water पहले से विस्थापित जल के आयतन V_in के बिल्कुल बराबर होता है।

QCC Notes · कक्षा 11 भौतिकी NCERT आधारित अद्यतन 26 सितंबर 2026 9 मिनट पठन

जब किसी वस्तु को किसी द्रव में डुबोया जाता है, तो वह वायु की तुलना में हल्की प्रतीत होती है। दैनिक जीवन का यह अनुभव उत्प्लावकता (Buoyancy) का परिणाम है: अर्थात किसी स्थिर तरल द्वारा उसमें डूबी वस्तु पर ऊपर की ओर लगाया जाने वाला परिणामी बल। इसका मात्रात्मक अध्ययन ईसा पूर्व तीसरी शताब्दी में सिराक्यूज के ग्रीक वैज्ञानिक आर्किमिडीज ने किया था।

1. उत्प्लावकता की भौतिक उत्पत्ति एवं व्युत्पत्ति

घनत्व ρ_f वाले द्रव में डूबे हुए ऊंचाई h और अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल A वाले एक ठोस गुटके पर विचार करें:

       मुक्त पृष्ठ (द्रव तल)        ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
                                    |                     |
                                    |         h₁         |
                                    |                     |
                     ऊपरी फलक:      +---------------------+  नीचे की ओर प्रणोद:
                                    |                     |  F₁ = P₁ * A
                                    |      ठोस पिंड       |  P₁ = P₀ + rho_f * g * h₁
                                    |      ऊंचाई h        |
                                    |      आयतन V         |
                     निचला फलक:     +---------------------+  ऊपर की ओर प्रणोद:
                                                             F₂ = P₂ * A
                                                             P₂ = P₀ + rho_f * g * h₂
             
         परिणामी ऊर्ध्वाधर बल (उत्प्लावन बल):
         F_B = F₂ - F₁ = (P₂ - P₁) * A = rho_f * g * (h₂ - h₁) * A = rho_f * V * g

चित्र 9.2A: ऊर्ध्वाधर द्रवस्थैतिक दाबांतर (P₂ > P₁) से उत्प्लावन बल की व्युत्पत्ति।

ऊपरी फलक पर द्रवस्थैतिक दाब: P₁ = P₀ + ρ_f g h₁ ⇒ नीचे की ओर बल F₁ = P₁ A।
निचले फलक पर द्रवस्थैतिक दाब: P₂ = P₀ + ρ_f g h₂ ⇒ ऊपर की ओर बल F₂ = P₂ A।
पार्श्व बल सममित रूप से एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
परिणामी ऊपर की ओर बल (उत्प्लावन बल / उत्क्षेप F_B):
F_B = F₂ - F₁ = (P₂ - P₁)A = ρ_f g (h₂ - h₁)A
चूंकि (h₂ - h₁)A = V_submerged:
F_B = V_sub ρ_f g = m_disp g = विस्थापित तरल का भार

2. आर्किमिडीज का सिद्धांत एवं आभासी भार

आर्किमिडीज का सिद्धांत (Archimedes' Principle): जब कोई वस्तु किसी स्थिर तरल में पूर्णतः अथवा आंशिक रूप से डुबोई जाती है, तो उस पर ऊपर की दिशा में एक उत्प्लावन बल कार्य करता है जिसका परिमाण वस्तु द्वारा विस्थापित तरल के भार के ठीक बराबर होता है। यह उत्प्लावन बल विस्थापित तरल के गुरुत्व केंद्र से होकर गुजरता है, जिसे उत्प्लावकता केंद्र (Center of Buoyancy) कहते हैं।

डूबी वस्तु का आभासी भार (Apparent Weight)

जब वास्तविक द्रव्यमान m, आयतन V तथा घनत्व ρ_s वाले किसी ठोस को घनत्व ρ_f वाले द्रव (ρ_s > ρ_f) में कमानीदार तुला से लटकाया जाता है:

वायु/निर्वात में वास्तविक भार: W = mg = V ρ_s g।
ऊपर की ओर उत्प्लावन बल: F_B = V ρ_f g।
आभासी भार (W_app):
W_app = W - F_B = V ρ_s g - V ρ_f g = V ρ_s g (1 - ρ_f/ρ_s)

W_app = W ( 1 - ρ_f/ρ_s )
भार में भिन्नात्मक कमी:
(Δ W)/W = (W - W_app)/W = ρ_f/ρ_s
ठोस का आपेक्षिक घनत्व (विशिष्ट गुरुत्व):
RD_s = ρ_s/ρ_w = (वायु में भार)/(जल में भार में कमी) = W_air/(W_air - W_water)

3. प्लवन का नियम (Law of Floatation)

कोई वस्तु किसी द्रव में तभी तैरती है जब ऊपर की ओर लगने वाला उत्प्लावन बल वस्तु के नीचे की ओर लगने वाले गुरुत्वीय भार को संतुलित कर ले (F_B = W):

स्थिति	घनत्व संबंध	बल संबंध	साम्यावस्था प्रकृति
स्थिति 1: डूबना (Sinking)	ρ_s > ρ_f	W > F_B,max	पिंड a = g(1 - ρ_f/ρ_s)के त्वरण से नीचे गिरकर तली पर बैठ जाता है। तली की अभिलंब प्रतिक्रिया N = W - F_B।
स्थिति 2: उदासीन प्लवन	ρ_s = ρ_f	W = F_B,max	पिंड द्रव के भीतर किसी भी गहराई पर पूर्णतः डूबकर उदासीन साम्यावस्था में तैरता रहता है।
स्थिति 3: आंशिक प्लवन	ρ_s < ρ_f	W = F_B (V_in < V)	पिंड का कुछ भाग बाहर रहता है तथा निमग्न आयतन अनुपात V_in/V = ρ_s/ρ_f के साथ तैरता है।

निमग्न आयतन सूत्र (Submerged Fraction)

कुल आयतन V तथा निमग्न आयतन V_in वाली तैरती वस्तु के लिए:

W = F_B ⇒ V ρ_s g = V_in ρ_f g ⇒ V_in/V = ρ_s/ρ_f

द्रव के बाहर रहने वाले आयतन का अंश:

V_out/V = 1 - V_in/V = 1 - ρ_s/ρ_f = (ρ_f - ρ_s)/ρ_f

बर्फ जल पर क्यों तैरती है: 0^°C पर शुद्ध बर्फ का घनत्व ρ_ice ≈ 917 kg/m³ होता है, जबकि0^°C पर द्रव जल का घनत्व ρ_w ≈ 1000 kg/m³ होता है।

V_in/V = 917/1000 ≈ 91.7%

अतः हिमशैल (iceberg) का लगभग 92% भाग जल के नीचे डूबा रहता है, और केवल ≈ 8% भाग ही समुद्र की सतह के ऊपर दिखाई देता है!

4. उन्नत प्लवन: स्तरित द्रव एवं पिघलती बर्फ

दो अमिश्रणीय द्रवों के अंतरापृष्ठ पर प्लवन

अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल A और लंबाई L का ठोस बेलन घनत्व ρ₁ और ρ₂(ρ₁ < ρ_s < ρ₂) वाले दो अमिश्रणीय द्रवों की सीमा पर ऊर्ध्वाधर तैर रहा है, जहाँ लंबाई L₁ ऊपरी द्रव में और L₂ निचले द्रव में है (L = L₁ + L₂):

W = F_B1 + F_B2 ⇒ A L ρ_s g = A L₁ ρ₁ g + A L₂ ρ₂ g

L ρ_s = L₁ ρ₁ + L₂ ρ₂

तैरती हुई बर्फ के पिघलने पर जल स्तर में परिवर्तन

स्थिति A: शुद्ध जल में शुद्ध बर्फ: जल का स्तर अपरिवर्तित रहता है। m द्रव्यमान का तैरता बर्फ का टुकड़ा V_disp = m / ρ_w आयतन का जल विस्थापित करता है। पिघलने पर बना जल भी m द्रव्यमान और V_melt = m / ρ_w = V_disp आयतन का होता है। पिघला जल ठीक उसी आयतन को भर देता है जो पहले विस्थापित था।
स्थिति B: बर्फ में वायु का बुलबुला समाहित हो: जल का स्तर अपरिवर्तित रहता है, क्योंकि वायु का द्रव्यमान नगण्य होता है।
स्थिति C: बर्फ में सीसे की गोली या पत्थर धंसा हो (ρ_lead > ρ_w): जल का स्तर गिर जाता है (नीचे आता है)! प्रारंभ में भारी पत्थर बर्फ के साथ तैरते हुए अपने भार के तुल्य जल विस्थापित करता है: V₁ = m_lead / ρ_w। पिघलने पर पत्थर तली में बैठ जाता है और केवल अपने आयतन के बराबर जल विस्थापित करता है: V₂ = m_lead / ρ_lead। चूंकि ρ_lead > ρ_w है, अतः V₂ < V₁, इसलिए जल स्तर गिर जाता है।
स्थिति D: बर्फ में कॉर्क का टुकड़ा धंसा हो (ρ_cork < ρ_w): जल स्तर अपरिवर्तित रहता है, क्योंकि बर्फ पिघलने के बाद भी कॉर्क तैरता रहता है।

JEE एवं NEET हल किए गए अभ्यास प्रश्न

प्रश्न 1: धातु के एक टुकड़े का वायु में भार 210 g, जल में भार 180 g तथा एक अज्ञात द्रव में भार 120 g है। गणना कीजिए: (a) धातु का आपेक्षिक घनत्व, तथा (b) अज्ञात द्रव का घनत्व।

हल:
(a) जल में भार में कमी:

Δ W_w = W_air - W_water = 210 - 180 = 30 g-wt

चूंकि Δ W_w = V ρ_w g = 30 g-wt, अतः धातु का आयतन V = 30 cm³ है।
धातु का आपेक्षिक घनत्व:

RD_metal = W_air/(Δ W_w) = 210/30 = 7.0

(b) अज्ञात द्रव में भार में कमी:

Δ W_L = W_air - W_L = 210 - 120 = 90 g-wt

चूंकि Δ W_L = V ρ_L g:

ρ_L = (Δ W_L)/V = (90 g)/(30 cm³) = 3.0 g/cm³ = 3000 kg/m³

प्रश्न 2: घनत्व 900 kg/m³ तथा लंबाई 1 m का लकड़ी का एक बेलन जल (ρ_w = 1000 kg/m³) तथा तेल (ρ_oil = 800 kg/m³) वाले पात्र में ऊर्ध्वाधर तैरता है। यदि तेल की परत पर्याप्त गहरी हो, तो जल में डूबी बेलन की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल:
माना L = 1 m, जल में डूबी लंबाई L_w तथा तेल में डूबी लंबाई (1 − L_w)। प्लवन की शर्त (W = F_B,जल + F_B,तेल) से, A g से भाग देने पर:

(1)(900) = L_w(1000) + (1 − L_w)(800)

900 = 200 L_w + 800 ⇒ L_w = 0.5 m

अतः बेलन का आधा भाग (0.5 m) जल में तथा 0.5 m तेल में रहता है। जाँच: लकड़ी (900 kg/m³) तेल से भारी परंतु जल से हल्की है, इसलिए वह दोनों द्रवों की सीमा पर टिकती है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQs)

Q1. उत्प्लावन बल का भौतिक कारण क्या है?

गुरुत्व के कारण द्रव में गहराई के साथ दाब बढ़ता है। डूबी वस्तु के निचले तल पर ऊपर की ओर प्रणोद ऊपरी तल के नीचे की ओर प्रणोद से अधिक होता है, जिससे परिणामी उत्प्लावन बल F_B = V * rho_f * g उत्पन्न होता है।

Q2. आर्किमिडीज का सिद्धांत क्या है?

तरल में डूबी वस्तु पर लगने वाला उत्प्लावन बल वस्तु द्वारा विस्थापित तरल के भार के ठीक बराबर होता है।

Q3. प्लवन की साम्यावस्था की शर्तें क्या हैं?

यदि ठोस का घनत्व द्रव से कम हो, तो वह आंशिक रूप से डूबकर तैरता है (V_in / V = rho_s / rho_f); यदि घनत्व समान हो, तो वह पूर्णतः निमग्न होकर तैरता है; यदि घनत्व अधिक हो, तो वह डूब जाता है।

Q4. तैरती बर्फ के पिघलने पर जल का स्तर क्यों नहीं बदलता?

तैरती बर्फ अपने द्रव्यमान के बराबर जल विस्थापित करती है। पिघलने पर बनी जल की मात्रा ठीक उसी विस्थापित आयतन को भर देती है, इसलिए स्तर अपरिवर्तित रहता है।

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