§ 1.7NCERT कक्षा 11 · भौतिकी · अध्याय 1

मापन में त्रुटियाँ: यथार्थता और परिशुद्धता

QCC Notes · कक्षा 11 भौतिकी NCERT आधारित अद्यतन 26 सितंबर 2026 10 मिनट पठन

प्रत्येक मापन एक सीमा (मार्जिन) के साथ एक निश्चितता प्रस्तुत करता है: "आवर्तकाल 2.62 s धन या ऋण 0.11 s है"। यह विषय उसी सीमा को परिमाणित करता है — उपकरणों की यथार्थता (Accuracy) और परिशुद्धता (Precision), निरपेक्ष/आपेक्षित/प्रतिशत त्रुटि, तथा त्रुटि संचरण के नियम जो m और V की त्रुटियों को घनत्व की त्रुटि में बदल देते हैं। यह JEE Main पाठ्यक्रम (अल्पतमांक, यथार्थता और परिशुद्धता, मापन में त्रुटियाँ) तथा NEET पाठ्यक्रम दोनों में स्पष्ट रूप से शामिल है, भले ही युक्तिसंगत NCERT ने उपकरण-निर्माण से जुड़े इसके अंशों को संक्षिप्त कर दिया हो (देखें अध्याय हब के घोषित अपवर्जन)। JEE Main लगभग हर वर्ष प्रतिशत-त्रुटि के संख्यात्मक प्रश्न पूछता है; NEET यथार्थता बनाम परिशुद्धता के वैचारिक प्रश्नों को प्राथमिकता देता है। गणना का वह अनुशासन जो यह तय करता है कि परिणाम में कितने अंक होने चाहिए, सार्थक अंक पृष्ठ पर उपलब्ध है।

मापन में त्रुटियाँ क्या हैं? — संपूर्ण सिद्धांत

1. यथार्थता बनाम परिशुद्धता (NTA का पसंदीदा अंतर)

यथार्थता (Accuracy) किसी मापन की वास्तविक मान से निकटता है। परिशुद्धता (Precision) बार-बार लिए गए मापनों की आपसी निकटता है — अर्थात् कम बिखराव। ये दोनों परस्पर स्वतंत्र हैं: एक घिसा हुआ मीटर पैमाना अत्यधिक सुसंगत (परिशुद्ध) पाठ्यांक दे सकता है जो सभी 2 mm अधिक लंबे (अयथार्थ) हों। क्रमबद्ध त्रुटियाँ यथार्थता को प्रभावित करती हैं; यादृच्छिक त्रुटियाँ परिशुद्धता को प्रभावित करती हैं। परीक्षा की भाषा में: "छोटे अल्पतमांक वाला उपकरण परिशुद्ध पाठ्यांक देता है; किसी मानक के साथ अंशांकन (कैलिब्रेशन) उन्हें यथार्थ बनाता है।"

2. त्रुटियों का वर्गीकरण

क्रमबद्ध त्रुटियाँ (Systematic errors) एक ही दिशा में दोहराई जाती हैं और उनका कारण जानकर उन्हें ठीक किया जा सकता है: (i) उपकरण संबंधी (Instrumental) — स्क्रू गेज में शून्यांक त्रुटि, खिंचा हुआ फीता; (ii) तकनीक में अपूर्णता (Imperfection in technique) — थर्मामीटर के बल्ब को पात्र की दीवार से सटाकर रखना; (iii) व्यक्तिगत पूर्वाग्रह (Personal bias) — संकेतक को सदैव थोड़ा बाईं ओर से देखना, लंबन (पैरालैक्स); (iv) बाह्य परिस्थितियाँ (External conditions) — ताप बदलने से अंशांकित प्रतिरोध का बदलना। यादृच्छिक त्रुटियाँ (Random errors) चिह्न और परिमाण में अप्रत्याशित रूप से घटती-बढ़ती हैं (हाथों का कांपना, वोल्टेज में अस्थिरता) और इन्हें मापनों को दोहराने और उनका औसत लेने से कम किया जाता है — सांख्यिकी ही इसका समाधान है। स्थूल त्रुटियाँ (Gross errors) मानवीय असावधानी या भूलें हैं (जैसे 6 को 9 पढ़ लेना) और इन्हें सावधानी से हटाया जाता है, विश्लेषण से नहीं।

NTA जाल किसी मापन को दोहराने से केवल यादृच्छिक (random) त्रुटि कम होती है। यदि किसी अभिकथन/कारण (A/R) विकल्प में यह दावा किया जाए कि "औसत लेने से शून्यांक त्रुटि समाप्त हो जाती है", तो यह असत्य है — शून्यांक त्रुटि एक क्रमबद्ध त्रुटि है और इसे अंशांकन/समायोजन द्वारा घटाना पड़ता है।

3. अल्पतमांक — अंतर्निहित सीमा

अल्पतमांक (Least Count - LC) वह न्यूनतम मान है जिसे कोई उपकरण माप सकता है: LC = (मुख्य पैमाने के एक भाग का मान) ÷ (संपाती उप-पैमाने पर भागों की संख्या)। वर्नियर कैलिपर्स: LC = 1 mm ÷ 10 = 0.1 mm। 50 वृत्तीय भागों और 0.5 mm चूड़ी अंतराल (पिच) वाला स्क्रू गेज: LC = 0.5/50 = 0.01 mm = 10 μm। प्रत्येक एकल पाठ्यांक अल्पतमांक के लगभग आधे (±) तक अनिश्चित होता है, यही कारण है कि किसी पाठ्यांक का अंतिम अंक सार्थक अंक सिद्धांत का "अनिश्चित" सार्थक अंक होता है।

4. निरपेक्ष, माध्य निरपेक्ष, आपेक्षित और प्रतिशत त्रुटि

माना कि भौतिक राशि a के n मापे गए मान a₁, a₂, …, aₙ हैं। परिभाषित करें:

a_mean = (a₁ + … + aₙ)/n — सर्वोत्तम अनुमान (औसत लेने से यादृच्छिक त्रुटि कम होती है)।
प्रत्येक पाठ्यांक की निरपेक्ष त्रुटि: Δaᵢ = |aᵢ − a_mean| — सदैव धनात्मक, सदैव एक परिमाण।
माध्य निरपेक्ष त्रुटि: Δa_mean = (Δa₁ + … + Δaₙ)/n। परिणाम को a = a_mean ± Δa_mean के रूप में व्यक्त किया जाता है।
आपेक्षित (भिन्नात्मक) त्रुटि: Δa_mean/a_mean — विमाहीन, इसी कारण यह प्रत्येक व्युत्पन्न राशि में संचरित होती है।
प्रतिशत त्रुटि: (Δa_mean/a_mean) × 100%।

5. त्रुटियों का संयोजन (संचरण) — तीन नियम

संयोजन	नियम	उदाहरण
योग या अंतर: Z = A ± B	निरपेक्ष त्रुटियाँ जुड़ती हैं: ΔZ = ΔA + ΔB (हाँ, घटाने के लिए भी — त्रुटियाँ घटाने से कभी निरस्त नहीं होतीं)	Δ(A − B) = ΔA + ΔB
गुणनफल या भागफल: Z = AB या A/B	भिन्नात्मक त्रुटियाँ जुड़ती हैं: ΔZ/Z = ΔA/A + ΔB/B	ρ = m/V → Δρ/ρ = Δm/m + ΔV/V
घात: Z = Aᵖ (सामान्य: Z = AᵖB^q/Cʳ)	भिन्नात्मक त्रुटि × घातांक: ΔZ/Z = p·ΔA/A (+ q·ΔB/B + r·ΔC/C)	Z = A² → 2ΔA/A; T = 2π√(l/g) से g → Δg/g = Δl/l + 2ΔT/T

NTA जाल दो भ्रामक बिंदु: (i) Δ(A − B) = ΔA + ΔB — घटाव में भी त्रुटियाँ जुड़ती हैं; (ii) Z = A² के लिए त्रुटि दोगुनी हो जाती है — T में 2% की त्रुटि T² में 4% त्रुटि बनती है, न कि T में 4%। लोलक वाला उदाहरण (Δg/g = Δl/l + 2ΔT/T) त्रुटि संचरण पर NTA का पसंदीदा NVT प्रश्न है।

चित्र 1.8 — यथार्थता बनाम परिशुद्धता: चार लक्ष्य

प्रत्येक लक्ष्य बार-बार लगाए गए निशानों के पैटर्न को दर्शाता है; रिंग का केंद्र वास्तविक मान है। बिखराव (परिशुद्धता) की तुलना विचलन (यथार्थता) से करें।

यथार्थ + परिशुद्ध

सघन व केंद्र पर

परिशुद्ध, यथार्थ नहीं

सघन किंतु विस्थापित → क्रमबद्ध त्रुटि

औसत रूप से यथार्थ

केंद्रित किंतु बिखरे हुए → यादृच्छिक त्रुटि

दोनों नहीं

विस्थापित + बिखरे हुए

परीक्षा विश्लेषण: NEET ने बार-बार इन चार लक्ष्यों में से एक को दिखाकर पूछा है कि कौन-सी त्रुटि प्रभावी है — विस्थापन (offset) ⇒ क्रमबद्ध (यथार्थता की समस्या); बिखराव (scatter) ⇒ यादृच्छिक (परिशुद्धता की समस्या)।

मापन में त्रुटियों का चित्रात्मक बोध

प्रत्येक मापन को वास्तविक मान पर दागे गए तीर के रूप में समझें। चार लक्ष्यों वाला चित्र संपूर्ण सिद्धांत को एक ही छवि में समेटता है: सघन (tight) समूह का अर्थ है न्यूनतम यादृच्छिक त्रुटि (परिशुद्धता), केंद्र पर (on-centre) समूह का अर्थ है न्यूनतम क्रमबद्ध त्रुटि (यथार्थता)। त्रुटि संचरण के नियम फिर एक कीप (फनल) की तरह कार्य करते हैं: प्रत्येक गुणन एक अन्य भिन्नात्मक-त्रुटि धारा जोड़ता है, और घातें इन धाराओं को गुणा कर देती हैं। जब आप Δm/m = 2% और ΔV/V = 3% के साथ ρ = m/V की गणना करते हैं, तो कल्पना करें कि 2% और 3% एक फनल में मिलकर 5% बनाते हैं — कभी 1% नहीं, और कभी (2% + 3%)/2 नहीं।

मापन में त्रुटियों पर हल किए गए उदाहरण (चरण-दर-चरण)

हल किया गया उदाहरण 1 — माध्य, निरपेक्ष और प्रतिशत त्रुटि (NCERT-शैली के आँकड़े)

Q. एक सरल लोलक का आवर्तकाल पाँच बार मापा जाता है: 2.63 s, 2.56 s, 2.42 s, 2.71 s, 2.80 s। T को उसकी त्रुटि और प्रतिशत त्रुटि के साथ व्यक्त कीजिए।

चरण 1 (माध्य मान). योग = 2.63 + 2.56 + 2.42 + 2.71 + 2.80 = 13.12 s। माध्य = 13.12/5 = 2.624 s → पाठ्यांकों की परिशुद्धता तक पूर्णांकित करने पर: 2.62 s।

चरण 2 (निरपेक्ष त्रुटियाँ). |2.62 − 2.63| = 0.01; |2.62 − 2.56| = 0.06; |2.62 − 2.42| = 0.20; |2.62 − 2.71| = 0.09; |2.62 − 2.80| = 0.18। योग = 0.54 s।

चरण 3 (माध्य निरपेक्ष त्रुटि). ΔT = 0.54/5 = 0.108 s → 0.11 s (त्रुटि की अपनी परिशुद्धता तक पूर्णांकन)।

चरण 4 (प्रतिशत त्रुटि). (0.11/2.62) × 100 ≈ 4.2% → लगभग ≈ 4% लिखा जाता है।

उत्तर: T = (2.62 ± 0.11) s; प्रतिशत त्रुटि ≈ 4.2% (≈ 4%)

हल किया गया उदाहरण 2 — किसी व्युत्पन्न राशि में त्रुटि संचरण

Q. किसी पिंड के द्रव्यमान और आयतन के मापन में प्रतिशत त्रुटियाँ क्रमशः 2% और 3% हैं। घनत्व ρ = m/V में प्रतिशत त्रुटि ज्ञात कीजिए।

चरण 1. ρ = mV⁻¹ — −1 घात वाला एक गुणनफल।

चरण 2. Δρ/ρ = Δm/m + ΔV/V = 2% + 3% = 5%।

चरण 3. ध्यान दें कि V की घात "−1" V² जैसी राशि के लिए महत्व रखती (त्रुटि × 2), किंतु स्वयं V के लिए भिन्नात्मक त्रुटि यथावत जुड़ती है।

उत्तर: 5%

मापन में त्रुटियों पर अभ्यास प्रश्न (हलों सहित)

अभ्यास प्रश्न 1 (संख्यात्मक-मान प्रकार - NVT)

Q. संबंध T = 2π√(l/g) में, l और T में प्रतिशत त्रुटियाँ क्रमशः 2% और 3% हैं। g में प्रतिशत त्रुटि ज्ञात कीजिए।

हल. g = 4π²l/T² → Δg/g = Δl/l + 2·ΔT/T = 2% + 2 × 3% = 8%। यहाँ 4π² एक यथार्थ नियतांक है और इसका कोई योगदान नहीं होता।

उत्तर: 8%

अभ्यास प्रश्न 2 (एकल-विकल्प सही MCQ)

Q. यदि Z = A − B है जहाँ ΔA = 0.2 cm और ΔB = 0.1 cm है, तो ΔZ = (a) 0.1 cm (b) 0.3 cm (c) 0.2 cm (d) ज्ञात नहीं किया जा सकता

हल. योग और अंतर दोनों के लिए निरपेक्ष त्रुटियाँ जुड़ती हैं: ΔZ = 0.2 + 0.1 = 0.3 cm। B को घटाने से उसकी अनिश्चितता "निरस्त" नहीं हो सकती — त्रुटियाँ परिमाण होती हैं।

उत्तर: (b) 0.3 cm

अभ्यास प्रश्न 3 (अभिकथन–कारण / Assertion–Reason)

Q. अभिकथन (A): एक उपकरण अत्यधिक परिशुद्ध पाठ्यांक दे सकता है जो क्रमबद्ध रूप से अयथार्थ हों। कारण (R): परिशुद्धता का संबंध बार-बार लिए गए पाठ्यांकों के बिखराव से है, न कि उनके वास्तविक मान से निकटता से।

हल. A और R दोनों सत्य हैं: शून्यांक त्रुटि वाला स्क्रू गेज अत्यंत सुसंगत पाठ्यांक दोहराता है फिर भी हर बार अधिक मान पढ़ता है। R ठीक वही वैचारिक कारण है जिससे A संभव है — R, A का सही स्पष्टीकरण है।

उत्तर: (a) A और R दोनों सत्य हैं; R, A का सही स्पष्टीकरण है

प्रमुख सूत्र एवं स्मरणीय बिंदु

विषय / मद	कथन / सूत्र	परीक्षा में उपयोग
अभिव्यक्ति प्रारूप	a = a_mean ± Δa_mean	संपूर्ण त्रुटि-विश्लेषण NVT
आपेक्षित / प्रतिशत त्रुटि	Δa/a; प्रतिशत के लिए ×100	सार्थक अंकों से संबंध
योग/अंतर	ΔZ = ΔA + ΔB (दोनों स्थितियों में योग)	"घटाव जाल" MCQ
गुणनफल/भागफल	ΔZ/Z = ΔA/A + ΔB/B	घनत्व प्रकार के NVT प्रश्न
घातें	Z = Aᵖ → p·ΔA/A	सरल लोलक Δg/g = Δl/l + 2ΔT/T
अल्पतमांक	LC = MSD ÷ उप-भाग; स्क्रू गेज 0.5/50 = 0.01 mm	उपकरण आधारित NVT प्रश्न
वर्गीकरण	क्रमबद्ध (अंशांकनीय) बनाम यादृच्छिक (औसत द्वारा) बनाम स्थूल (सावधानी)	यथार्थता बनाम परिशुद्धता A/R प्रश्न

मापन में त्रुटियों पर अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQs)

यथार्थता और परिशुद्धता में क्या अंतर है?

यथार्थता किसी मापन की वास्तविक मान के निकटता की माप है; परिशुद्धता बार-बार किए गए मापनों के परस्पर निकट होने की माप है (कम यादृच्छिक बिखराव)। एक परिशुद्ध उपकरण भी क्रमबद्ध त्रुटि उपस्थित होने पर अयथार्थ हो सकता है।

Z = A + B और Z = AB में त्रुटियाँ कैसे संयोजित होती हैं?

योग या अंतर के लिए निरपेक्ष त्रुटियाँ जुड़ती हैं: ΔZ = ΔA + ΔB। गुणन या भाग के लिए भिन्नात्मक त्रुटियाँ जुड़ती हैं: ΔZ/Z = ΔA/A + ΔB/B — और घातों के लिए भिन्नात्मक त्रुटि को घातांक से गुणा किया जाता है।

प्रतिशत त्रुटि क्या है?

माध्य निरपेक्ष त्रुटि को माध्य मान के भिन्न के रूप में व्यक्त कर 100 से गुणा करने पर प्रतिशत त्रुटि प्राप्त होती है — (Δa_mean/a_mean) × 100%।

क्रमबद्ध त्रुटि क्या है? एक उदाहरण दीजिए।

ऐसी त्रुटि जो प्रत्येक पाठ्यांक में एक ही दिशा में दोहराई जाती है — उदाहरणार्थ स्क्रू गेज में शून्यांक त्रुटि, घिसा हुआ पैमाना, या संकेतक को पढ़ने में व्यक्तिगत पूर्वाग्रह; इसे अंशांकन (कैलिब्रेशन) द्वारा कम किया जाता है, पाठ्यांकों को दोहराने से नहीं।

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