§ 1.5NCERT कक्षा 11 · भौतिकी · अध्याय 1

विमीय सूत्र एवं विमीय समीकरण

QCC Notes · कक्षा 11 भौतिकी NCERT आधारित अद्यतन 26 सितंबर 2026 10 मिनट पठन

एक बार जब आप परिभाषात्मक सूत्रों से विमाएँ व्युत्पन्न करना सीख लेते हैं, तो अगला कौशल स्मरण गति (रिकॉल स्पीड) है: NTA अपेक्षा करता है कि लगभग तीस मानक भौतिक राशियों के विमीय सूत्र कुछ ही सेकंडों में याद आ जाएँ। यह पृष्ठ यांत्रिकी, घूर्णन, ऊष्मा और विद्युत चुंबकत्व की संपूर्ण मास्टर सूची प्रदान करता है — जिसे विभिन्न कुलों (families) में व्यवस्थित किया गया है ताकि यह सरलता से याद रहे। साथ ही इसमें NCERT द्वारा रेखांकित और परीक्षाओं में पूछे जाने वाले विमीय सूत्र तथा विमीय समीकरण के बीच औपचारिक अंतर को भी स्पष्ट किया गया है। नीचे दी गई प्रत्येक पंक्ति की उसके मूल परिभाषात्मक समीकरण से जाँच की गई है; जहाँ दो राशियों का विमीय सूत्र समान होता है, वहाँ ट्रैप कॉलम बताता है कि NTA इसका किस प्रकार परीक्षण करता है।

विमीय सूत्र एवं विमीय समीकरण क्या हैं? — संपूर्ण सिद्धांत

1. सूत्र बनाम समीकरण: NCERT का अंतर

विमीय सूत्र (Dimensional formula) किसी भौतिक राशि को मूल विमाओं की घातों के रूप में व्यक्त करने वाला व्यंजक है, जैसे बल के लिए [M L T⁻²]। विमीय समीकरण (Dimensional equation) वह सूत्र है जिसे भौतिक राशि के बराबर लिखा जाता है: [F] = [M L T⁻²]। यह अंतर "विमीय समीकरण की पहचान करें" वाले MCQs में अत्यंत महत्वपूर्ण है — समीकरण में बाईं ओर राशि का प्रतीक होता है; जबकि सूत्र केवल दायाँ पक्ष होता है। NCERT के शब्दों में: "विमीय सूत्र वह व्यंजक है जो यह दर्शाता है कि किसी भौतिक राशि में कौन-से मूल मात्रक की कितनी विमाएँ उपस्थित हैं; किसी भौतिक राशि को उसके विमीय सूत्र के बराबर रखने पर जो समीकरण प्राप्त होता है, उसे विमीय समीकरण कहते हैं।"

2. मास्टर तालिका — यांत्रिकी (केवल M, L, T)

राशि (परिभाषात्मक सूत्र)	विमीय सूत्र	SI मात्रक	मेमोरी हुक / ट्रैप
क्षेत्रफल (l × b)	[L²]	m²	T अनुपस्थित होता है
आयतन	[L³]	m³	घनत्व इससे विभाजित होता है
वेग (ds/dt)	[L T⁻¹]	m s⁻¹	चाल का भी यही सूत्र
त्वरण (dv/dt)	[L T⁻²]	m s⁻²	g इसी वर्ग में आता है
बल (ma)	[M L T⁻²]	N	1 N = 10⁵ dyne
संवेग / आवेग (mv / FΔt)	[M L T⁻¹]	kg m s⁻¹ / N s	बल × समय से एक T कम हो जाता है
कार्य / ऊर्जा / बल आघूर्ण (F·s)	[M L² T⁻²]	J / N m	अदिश कार्य बनाम सदिश बल आघूर्ण
शक्ति (W/t)	[M L² T⁻³]	W	ऊर्जा से एक T घट जाता है
दाब / प्रतिबल / यंग प्रत्यास्थता गुणांक / ऊर्जा घनत्व (F/A)	[M L⁻¹ T⁻²]	Pa	बल को क्षेत्रफल से विभाजित करने पर
पृष्ठ तनाव / कमानी नियतांक (F/l, F/x)	[M T⁻²]	N m⁻¹	L नहीं होता — प्रमुख ट्रैप युग्म
श्यानता (η = F·x/(A·v))	[M L⁻¹ T⁻¹]	Pa s	1 Pa s = 10 poise
आवृत्ति / कोणीय वेग (1/T, dθ/dt)	[T⁻¹]	Hz / rad s⁻¹	कोण विमाहीन होता है
गुरुत्वाकर्षण नियतांक G	[M⁻¹ L³ T⁻²]	N m² kg⁻²	यांत्रिकी में एकमात्र सामान्य M⁻¹
प्लांक नियतांक h / कोणीय संवेग (mvr)	[M L² T⁻¹]	J s	शक्ति में इससे एक T कम होता है
जड़त्व आघूर्ण (Σmr²)	[M L²]	kg m²	घूर्णन अक्ष का उल्लेख आवश्यक है
गुप्त ऊष्मा (Q/m)	[L² T⁻²]	J kg⁻¹	वास्तव में (वेग)² का रूप
विशिष्ट ऊष्मा (Q/(mΔT))	[L² T⁻² K⁻¹]	J kg⁻¹ K⁻¹	ऊष्मा पृष्ठ K⁻¹ जोड़ता है
दाब प्रवणता (ΔP/Δx)	[M L⁻² T⁻²]	Pa m⁻¹	दाब की तुलना में एक अतिरिक्त L⁻¹

3. मास्टर तालिका — ऊष्मा एवं ऊष्मागतिकी (+K)

राशि (परिभाषात्मक सूत्र)	विमीय सूत्र	SI मात्रक	मेमोरी हुक / ट्रैप
ऊष्मा / ऊर्जा	[M L² T⁻²]	J	कार्य के समान
विशिष्ट ऊष्मा धारिता	[L² T⁻² K⁻¹]	J kg⁻¹ K⁻¹	M नहीं होता (m से विभाजित)
मोलर ऊष्मा धारिता	[M L² T⁻² K⁻¹ mol⁻¹]	J mol⁻¹ K⁻¹	M रहता है, mol⁻¹ जुड़ता है
गैस नियतांक R / बोल्ट्ज़मान k_B / एंट्रॉपी	[M L² T⁻² K⁻¹] (R में mol⁻¹ जुड़ता है)	J mol⁻¹ K⁻¹ / J K⁻¹	k_B = R/N_A
ऊष्मा चालकता (Q·d/(A·ΔT·t))	[M L T⁻³ K⁻¹]	W m⁻¹ K⁻¹	शक्ति × लंबाई/(क्षेत्रफल × ΔT)
स्टीफन नियतांक σ (शक्ति/(क्षेत्रफल·T⁴))	[M T⁻³ K⁻⁴]	W m⁻² K⁻⁴	अंश के रास्ते में L नहीं आता

4. मास्टर तालिका — विद्युत एवं चुंबकत्व (+A)

राशि (परिभाषात्मक सूत्र)	विमीय सूत्र	SI मात्रक	मेमोरी हुक / ट्रैप
वैद्युत आवेश (It)	[A T]	C	विद्युत धारा मूल राशि है
धारा घनत्व (I/A)	[A L⁻²]	A m⁻²	—
विभव / विद्युत वाहक बल (EMF) (W/q)	[M L² T⁻³ A⁻¹]	V	शक्ति प्रति एकांक धारा
प्रतिरोध (V/I)	[M L² T⁻³ A⁻²]	Ω	विभव से एक A कम होता है
प्रतिरोधकता (RA/l)	[M L³ T⁻³ A⁻²]	Ω m	प्रतिरोध + एक L
धारिता (q/V)	[M⁻¹ L⁻² T⁴ A²]	F	कंठस्थ रखें — ज्यों का त्यों पूछा जाता है
चुंबकीय क्षेत्र B (F/(qv))	[M T⁻² A⁻¹]	T	L अनुपस्थित — क्लासिक ट्रैप
चुंबकीय फ्लक्स (BA)	[M L² T⁻² A⁻¹]	Wb	B में L² जुड़ता है
प्रेरकत्व (ε/(dI/dt))	[M L² T⁻² A⁻²]	H	फ्लक्स प्रति एकांक धारा
वैद्युत क्षेत्र E (F/q)	[M L T⁻³ A⁻¹]	V m⁻¹ / N C⁻¹	बल प्रति एकांक आवेश

NTA जाल समान विमीय सूत्र वाले तीन प्रमुख टकराव अंक दिलाते हैं: कार्य बनाम बल आघूर्ण ([M L² T⁻²], अदिश बनाम सदिश), h बनाम कोणीय संवेग ([M L² T⁻¹]), और पृष्ठ तनाव बनाम कमानी नियतांक ([M T⁻²])। चौथा: प्लांक नियतांक और "क्रिया (action)" दोनों की विमाएँ [M L² T⁻¹] होती हैं — "h की विमाएँ" वाले प्रश्न में "बल आघूर्ण" युक्त विकल्प भ्रमित करने के लिए दिए जाते हैं।

चित्र 1.5 — विमीय कुल (डायमेंशन फैमिलीज़) एक नज़र में

प्रत्येक फैमिली बार अपनी सदस्य भौतिक राशियों को उनके साझा विमीय सूत्र के साथ सूचीबद्ध करता है; अपनी लक्षित राशि खोजें, फिर बैज से सीधे सूत्र पढ़ें।

यांत्रिकी (M, L, T)

बल [M L T⁻²]संवेग [M L T⁻¹]ऊर्जा [M L² T⁻²]शक्ति [M L² T⁻³]दाब [M L⁻¹ T⁻²]श्यानता [M L⁻¹ T⁻¹]G [M⁻¹ L³ T⁻²]

ऊष्मा (K जोड़ता है)

विशिष्ट ऊष्मा [L² T⁻² K⁻¹]R, k_B, S [M L² T⁻² K⁻¹]ऊष्मा चालकता [M L T⁻³ K⁻¹]स्टीफन σ [M T⁻³ K⁻⁴]

विद्युत एवं चुंबकत्व (A जोड़ता है)

आवेश [A T]विभव [M L² T⁻³ A⁻¹]प्रतिरोध [M L² T⁻³ A⁻²]धारिता [M⁻¹ L⁻² T⁴ A²]B क्षेत्र [M T⁻² A⁻¹]फ्लक्स [M L² T⁻² A⁻¹]

परीक्षा संकेत (Exam read-out): प्रत्येक विद्युत सूत्र अपने यांत्रिकी पूर्वज जैसा ही है जहाँ T-घातों को A-घातों से बदला गया है; प्रत्येक ऊष्मा सूत्र अपने पूर्वज पर K बैज लगाता है। यांत्रिकी स्तंभ को भली-भाँति याद कर लें, अन्य दोनों कुल स्वतः सरल हो जाएँगे।

विमीय सूत्रों और समीकरणों का दृश्यीकरण

प्रत्येक विमीय सूत्र को तीन-पंक्तियों वाले बिल (invoice) की तरह समझें: कितना द्रव्यमान, कितनी लंबाई, कितना समय। विमीय कुल आरेख दर्शाता है कि ये बिल समूहों में आते हैं: "ऊर्जा बिल" [M L² T⁻²] यांत्रिकी (कार्य), ऊष्मा (स्वयं ऊष्मा) और विद्युत (विभव × आवेश) में दिखाई देता है। जब NTA आपसे राशियों को सूत्रों से सुमेलित करने के लिए कहे, तो नामों के बजाय इनवॉइस (घातों के समूह) का मिलान करें — जैसे ही आप [M L² T⁻³ A⁻¹] देखें, तुरंत सोचें "शक्ति प्रति एम्पीयर = वोल्ट", और पूरा विकल्प स्तंभ तुरंत हल हो जाएगा।

विमीय सूत्रों और समीकरणों पर हल किए गए उदाहरण (चरण-दर-चरण)

हल किया गया उदाहरण 1 — मूल सिद्धांतों से धारिता

प्र. धारिता C = q/V का विमीय सूत्र व्युत्पन्न कीजिए।

चरण 1. [q] = [A T] (आवेश = धारा × समय)। [V] = [W/q] = [M L² T⁻²]/[A T] = [M L² T⁻³ A⁻¹]।

चरण 2. [C] = [A T]/[M L² T⁻³ A⁻¹] = [A T] × [M⁻¹ L⁻² T³ A¹]।

चरण 3. घातों को सरल करें: M⁻¹, L⁻², T: T¹ × T³ = T⁴, A: 1 + 1 = 2। अतः [C] = [M⁻¹ L⁻² T⁴ A²], SI मात्रक फैराड (farad)। ✔

उत्तर: [C] = [M⁻¹ L⁻² T⁴ A²]

हल किया गया उदाहरण 2 — वैद्युत क्षेत्र का ऊर्जा घनत्व (JEE स्तर)

प्र. सिद्ध कीजिए कि (1/2)ε₀E² की विमाएँ ऊर्जा घनत्व के समान होती हैं।

चरण 1. कूलॉम के नियम F = q₁q₂/(4πε₀r²) से: [ε₀] = [q²]/[F·r²] = [A²T²]/([M L T⁻²][L²]) = [M⁻¹ L⁻³ T⁴ A²]।

चरण 2. [E] = [F/q] = [M L T⁻²]/[A T] = [M L T⁻³ A⁻¹], इसलिए [E²] = [M² L² T⁻⁶ A⁻²]।

चरण 3. [ε₀E²] = [M⁻¹ L⁻³ T⁴ A²][M² L² T⁻⁶ A⁻²] = [M¹ L⁻¹ T⁻² A⁰] = [M L⁻¹ T⁻²]। गुणक ½ एक शुद्ध संख्या है और विमाओं को प्रभावित नहीं करता है। ✔ ऊर्जा घनत्व [ऊर्जा/आयतन] = [M L² T⁻²]/[L³] = [M L⁻¹ T⁻²]। विमाएँ समान सिद्ध हुईं।

उत्तर: [ε₀E²] = [M L⁻¹ T⁻²] = ऊर्जा घनत्व ✔ (गुणक ½ विमाहीन है)

विमीय सूत्रों और समीकरणों पर अभ्यास प्रश्न (हल सहित)

अभ्यास प्रश्न 1 (संख्यात्मक मान प्रकार)

प्र. प्लांक नियतांक h के विमीय सूत्र [Mᵃ L² T⁻¹] के लिए, योगफल a + 2 + (−1) का मान क्या होगा?

हल. [h] = E/ν = [M L² T⁻²]/[T⁻¹] = [M L² T⁻¹] → a = 1। योगफल = 1 + 2 − 1 = 2।

उत्तर: 2

अभ्यास प्रश्न 2 (एकल-सही बहुविकल्पीय प्रश्न / MCQ)

प्र. पृष्ठ तनाव का विमीय सूत्र है: (a) [M L⁻¹ T⁻²] (b) [M T⁻²] (c) [M L T⁻²] (d) [M L² T⁻²]

हल. पृष्ठ तनाव = बल प्रति एकांक लंबाई = [M L T⁻²]/[L] = [M T⁻²]। विकल्प (a) दाब का सूत्र है — जो भ्रमित करने वाला विकल्प है।

उत्तर: (b) [M T⁻²]

अभ्यास प्रश्न 3 (अभिकथन–कारण / Assertion–Reason)

प्र. अभिकथन (A): प्लांक नियतांक और कोणीय संवेग का विमीय सूत्र समान होता है। कारण (R): दोनों ऊर्जा को आवृत्ति से विभाजित करने के बराबर होते हैं।

हल. A सही है: [h] = [L] = [M L² T⁻¹]। R गलत है: कोणीय संवेग mvr (या Iω) होता है, न कि ऊर्जा/आवृत्ति; दोनों की केवल विमाएँ समान हैं। अतः A सही है, परंतु R गलत है।

उत्तर: (c) A सही है परंतु R गलत है

मुख्य सूत्र एवं मुख्य बिंदु (Key Takeaways)

मद	कथन	परीक्षा में उपयोग
विमीय सूत्र	मूल विमाओं की घातों के रूप में व्यंजक	स्तंभ मिलान (मैच-द-कॉलम) वाले उत्तर
विमीय समीकरण	[राशि] = सूत्र, बाईं ओर प्रतीक के साथ	"समीकरण की पहचान करें" MCQ
कंठस्थ करने योग्य त्रयी	[C] = [M⁻¹L⁻²T⁴A²] · [ε₀] = [M⁻¹L⁻³T⁴A²] · [B] = [M T⁻²A⁻¹]	JEE स्तर के विमीय प्रश्न
कुल नियम (फैमिली रूल)	ऊष्मा = यांत्रिकी + K; विद्युत चुंबकत्व = यांत्रिकी में T के स्थान पर A	30 सूत्रों का तीव्र स्मरण
समान विमा सूची	कार्य/बल आघूर्ण · h/L · पृष्ठ तनाव/कमानी नियतांक · गुप्त ऊष्मा/v²	समान विमाओं वाले MCQs
सत्यापन की आदत	किसी भी संदेहास्पद सूत्र को उसकी परिभाषा से पुनः व्युत्पन्न करें	शून्य-त्रुटि की गारंटी

विमीय सूत्रों और समीकरणों पर अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQs)

विमीय सूत्र क्या होता है?

वह व्यंजक जो किसी भौतिक राशि को मूल विमाओं की घातों के रूप में दर्शाता है, उदाहरणार्थ [दाब] = [M L⁻¹ T⁻²]; जब इसे राशि के प्रतीक के बराबर रखा जाता है, जैसे [P] = [M L⁻¹ T⁻²], तो इसे विमीय समीकरण कहते हैं।

किसी अपरिचित भौतिक राशि का विमीय सूत्र कैसे ज्ञात करें?

ज्ञात भौतिक राशियों वाला एक परिभाषात्मक सूत्र लिखें, प्रत्येक को उसकी विमाओं से प्रतिस्थापित करें और घातों को सरल करें — जैसे धारिता C = q/V से [M⁻¹ L⁻² T⁴ A²] प्राप्त होता है।

किन भौतिक राशियों की विमा [M L² T⁻¹] होती है?

प्लांक नियतांक (E = hν) और कोणीय संवेग (L = mvr); दोनों का विमीय सूत्र [M L² T⁻¹] होता है, जो NTA का एक प्रमुख सुमेलन (match-the-dimension) युग्म है।

क्या किसी भौतिक राशि का विमीय सूत्र अद्वितीय होता है?

नहीं — कई भौतिक राशियों का विमीय सूत्र समान होता है (कार्य, बल आघूर्ण और ऊर्जा सभी का [M L² T⁻²]); विमीय सूत्र राशि के 'कुल' (फैमिली) की पहचान करता है, स्वयं राशि की नहीं।

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