प्वासों अनुपात का भौतिक अर्थ क्या है तथा इसकी सैद्धांतिक व व्यावहारिक सीमाएं क्या हैं?

प्वासों अनुपात (ν या σ) पार्श्व विकृति तथा अनुदैर्ध्य विकृति का अनुपात होता है (ν = - (Δd/d) / (ΔL/L))। जब किसी वस्तु को अक्षीय रूप से खींचा जाता है, तो उसकी अनुप्रस्थ विमाएं संकुचित होती हैं। समदैशिक प्रत्यास्थ ठोसों हेतु इसका सैद्धांतिक मान -1.0 से +0.5 के मध्य होता है। व्यावहारिक ठोसों में तनन के साथ पार्श्व संकुचन निश्चित होता है, जिससे इसका मान 0.0 (जैसे कॉर्क) से 0.5 (पूर्णतः असंपीड्य पदार्थ जैसे रबर) के मध्य रहता है।

खिंचा हुआ धातु का तार यांत्रिक स्प्रिंग की भांति व्यवहार क्यों करता है?

यंग गुणांक के सूत्र Y = (F L) / (A ΔL) से तनाव बल F = (Y A / L) ΔL प्राप्त होता है। हुक के स्प्रिंग नियम F = k x से तुलना करने पर यह स्पष्ट होता है कि खिंचा हुआ तार k = (Y A) / L स्प्रिंग नियतांक (कड़ेपन) वाले एक आदर्श स्प्रिंग के समतुल्य व्यवहार करता है।

तरलों (द्रवों व गैसों) में केवल आयतन प्रत्यास्थता गुणांक क्यों होता है और अपरूपण गुणांक शून्य क्यों होता है?

तरल पदार्थ किसी भी स्थैतिक स्पर्शीय अथवा अपरूपण प्रतिबल को सहन नहीं कर सकते; उन पर स्पर्शीय बल लगाने से स्थिर प्रत्यानयन बल उत्पन्न हुए बिना सतत प्रवाह होने लगता है। अतः उनका अपरूपण गुणांक शून्य (G = 0) होता है। किंतु वे जलीय दाब के अधीन आयतन संकुचन का विरोध करते हैं, इसलिए उनका एक निश्चित आयतन प्रत्यास्थता गुणांक होता है।

तापीय प्रतिबल क्या है और दृढ़ता से बंधी छड़ गर्म या ठंडी होने पर आलंबों पर कितना बल लगाती है?

दो अनम्य दीवारों के मध्य कसी हुई छड़ का ताप जब ΔT परिवर्तित किया जाता है, तो वह स्वतंत्र रूप से प्रसारित या संकुचित नहीं हो पाती। रोके गए प्रसार ΔL = L α ΔT के कारण छड़ में तापीय विकृति ε = α ΔT उत्पन्न होती है, जिससे तापीय प्रतिबल σ = Y α ΔT उत्पन्न होता है। यह छड़ आलंबों पर F = Y A α ΔT का प्रचंड बल आरोपित करती है।

§ 8.3NCERT कक्षा 11 · भौतिकी · अध्याय 8

प्रत्यास्थता गुणांक एवं प्वासों अनुपात

QCC Notes · कक्षा 11 भौतिकी NCERT आधारित अद्यतन 26 सितंबर 2026 11 मिनट पठन

हुक के नियमानुसार आनुपातिकता सीमा के भीतर प्रतिबल और विकृति का अनुपात नियतांक होता है। चूंकि विरूपण लंबाई, आकृति अथवा आयतन में परिवर्तन के रूप में हो सकता है, इसलिए तीन अलग-अलग प्रत्यास्थता गुणांक पाए जाते हैं: यंग प्रत्यास्थता गुणांक (Y), अपरूपण गुणांक या दृढ़ता गुणांक (G या η), तथा आयतन प्रत्यास्थता गुणांक (B)। इसके अतिरिक्त अक्षीय खिंचाव के साथ होने वाले पार्श्व संकुचन को प्वासों अनुपात (ν) द्वारा मापा जाता है। इस मॉड्यूल में हम इनके सूत्रों, अनुप्रयोगों तथा परस्पर संबंधों का अध्ययन करेंगे।

1. यंग प्रत्यास्थता गुणांक (Young's Modulus, Y)

यंग प्रत्यास्थता गुणांक किसी ठोस पदार्थ के अनुदैर्ध्य (तनन अथवा संपीडन) विरूपण के विरोध को मापता है। आनुपातिक सीमा के भीतर अनुदैर्ध्य प्रतिबल तथा अनुदैर्ध्य विकृति के अनुपात को यंग प्रत्यास्थता गुणांक कहते हैं।

Y = अनुदैर्ध्य प्रतिबल / अनुदैर्ध्य विकृति = (F / A) / (ΔL / L) = (F × L) / (A × ΔL)

यदि प्रारंभिक लंबाई L तथा त्रिज्या r वाले किसी ऊर्ध्वाधर लटके तार पर M द्रव्यमान का भार लटकाया जाए:

Y = (M × g × L) / (π × r² × ΔL) ⇒ ΔL = (M × g × L) / (π × r² × Y)

यंग गुणांक के प्रमुख सैद्धांतिक परिणाम:

खिंचे हुए तार का प्रभावी स्प्रिंग नियतांक:
हुक के सूत्र को F = (Y A / L) ΔL के रूप में लिखकर आदर्श स्प्रिंग सूत्र F = k x से तुलना करने पर तार का प्रभावी स्प्रिंग नियतांक प्राप्त होता है:

k_eff = (Y × A) / L
स्वयं के भार के कारण भारी छड़ की लंबाई में वृद्धि:
छत से लटकी M द्रव्यमान, L लंबाई, ρ घनत्व तथा A अनुप्रस्थ काट वाली छड़ में तनाव नीचे शून्य से ऊपर Mg तक रैखिक रूप से बढ़ता है। अवयव dy के खिंचाव का समाकलन करने पर:

ΔL_self = (M × g × L) / (2 × A × Y) = (ρ × g × L²) / (2 × Y)
महत्वपूर्ण निष्कर्ष: स्वयं के भार से उत्पन्न खिंचाव, निचले सिरे पर संपूर्ण भार Mg लटकाने से उत्पन्न खिंचाव का ठीक आधा होता है।
दृढ़ता से बंधी छड़ों में तापीय प्रतिबल:
जब दो अविचल आलंबों के मध्य बंधी छड़ का ताप ΔT बढ़ाया जाता है, तो उसका स्वतंत्र प्रसार ΔL = L α ΔT रुक जाता है। इसके फलस्वरूप संपीडन विकृति ε = α ΔT तथा तापीय प्रतिबल उत्पन्न होता है:

तापीय प्रतिबल (σ_th) = Y × α × ΔT

आलंबों पर तापीय प्रणोद बल (F_th) = Y × A × α × ΔT

2. अपरूपण गुणांक अथवा दृढ़ता गुणांक (Shear Modulus, G या η)

दृढ़ता गुणांक किसी पदार्थ द्वारा बिना आयतन बदले केवल आकृति परिवर्तन का विरोध करने की क्षमता को दर्शाता है। प्रत्यास्थ सीमा के भीतर अपरूपण प्रतिबल तथा अपरूपण विकृति के अनुपात को दृढ़ता गुणांक कहते हैं।

G = अपरूपण प्रतिबल / अपरूपण विकृति = (F_parallel / A) / θ = (F × L) / (A × Δx)

अधिकांश संरचनात्मक धातुओं के लिए दृढ़ता गुणांक का मान यंग गुणांक से काफी कम होता है, प्रायः G ≈ Y / 3। इसका तात्पर्य यह है कि ठोसों को मोड़ना या मरोड़ना, उन्हें खींचने या संपीडित करने की तुलना में अधिक आसान होता है।

3. आयतन प्रत्यास्थता गुणांक (Bulk Modulus, B) एवं संपीड्यता (K)

आयतन प्रत्यास्थता गुणांक किसी पदार्थ के जलीय दाब के अधीन आयतन संकुचन के विरोध को मापता है। जलीय प्रतिबल तथा आयतन विकृति के अनुपात को आयतन प्रत्यास्थता गुणांक कहते हैं।

B = - ΔP / (ΔV / V) = - V × (dP / dV)

ऋणात्मक चिह्न यह सुनिश्चित करता है कि Bulk Modulus सदैव धनात्मक रहे, क्योंकि दाब बढ़ाने (ΔP > 0) पर आयतन घटता है (ΔV < 0)।

संपीड्यता (Compressibility, K):

आयतन प्रत्यास्थता गुणांक के व्युत्क्रम को संपीड्यता कहते हैं:

संपीड्यता (K) = 1 / B = - (1 / V) × (dV / dP)

मात्रक: m²/N अथवा Pa⁻¹। ठोसों की संपीड्यता अत्यंत नगण्य (उच्च B ∼ 10¹¹ Pa), द्रवों की अल्प (जल B ∼ 2.2 × 10⁹ Pa) तथा गैसों की संपीड्यता अत्यधिक उच्च होती है।

4. प्वासों अनुपात (Poisson's Ratio, ν या σ)

जब किसी बेलनाकार छड़ या तार को लंबाई के अनुदिश खींचा जाता है, तो उसकी लंबाई में वृद्धि (अनुदैर्ध्य विकृति) के साथ-साथ उसके व्यास या मोटाई में कमी (पार्श्व विकृति) होती है।

+-----------------------------------------------------------------------------------+ | पार्श्व संकुचन एवं प्वासों अनुपात की ज्यामिति | +-----------------------------------------------------------------------------------+ तनन भार F <--- ---> तनन भार F +---------------------------------------------------------+ | d (प्रारंभिक व्यास) | +---------------------------------------------------------+ <--------------------------- L ---------------------------> खींचने के उपरांत: +---------------+-----------------------------------------+---------------+ | (d - Δd) | | | +---------------+-----------------------------------------+---------------+ <-- ΔL/2 --><-------------------- L --------------------><-- ΔL/2 --> अनुदैर्ध्य विकृति (ε_long) = + ΔL / L (लंबाई विस्तार) पार्श्व विकृति (ε_lat) = - Δd / d (व्यास संकुचन) प्वासों अनुपात (ν) = - (ε_lat / ε_long) = (Δd / d) / (ΔL / L) +-----------------------------------------------------------------------------------+

चित्र 8.5: अक्षीय तनन के कारण लंबाई में विस्तार तथा अनुप्रस्थ व्यास में संकुचन।

प्वासों अनुपात की अनुमेय सीमाएं:

सैद्धांतिक सीमा: समदैशिक प्रत्यास्थ ठोसों के चिरसम्मत सिद्धांत के अनुसार: -1.0 ≤ ν ≤ +0.5।
व्यावहारिक सीमा: सभी ज्ञात इंजीनियरिंग पदार्थों में खींचने पर पार्श्व संकुचन होता है, जिससे व्यावहारिक मान 0.0 ≤ ν ≤ +0.5 होता है।
विशेष स्थितियां: कॉर्क का प्वासों अनुपात ν ≈ 0 होता है (बोतल में ठूंसने पर पार्श्व में नहीं फूलता)। वल्कनीकृत रबर का ν ≈ 0.5 होता है (पूर्णतः असंपीड्य, खींचने पर कुल आयतन अपरिवर्तित रहता है: ΔV = 0)।

5. प्रत्यास्थता गुणांकों के मध्य मूलभूत बीजगणितीय संबंध

किसी समांगी एवं समदैशिक प्रत्यास्थ माध्यम के लिए चारों प्रत्यास्थ स्थिरांक (Y, G, B, ν) परस्पर दृढ़ गणितीय संबंधों द्वारा जुड़े होते हैं। किन्हीं दो के ज्ञात होने पर शेष दो ज्ञात किए जा सकते हैं:

चार मूलभूत संबंध:

Y = 3 B (1 − 2 ν)
Y = 2 G (1 + ν)
9 / Y = 1 / B + 3 / G
ν = (3 B − 2 G) / (6 B + 2 G)

एनसीईआरटी व्युत्पत्ति अंतर्दृष्टि:

संबंध 1 से: चूंकि Y तथा B धनात्मक होने चाहिए, अतः 1 − 2ν > 0 ⇒ ν < 0.5।

संबंध 2 से: चूंकि Y तथा G धनात्मक होने चाहिए, अतः 1 + ν > 0 ⇒ ν > −1.0।

दोनों असमिकाओं को मिलाने पर सार्वत्रिक सैद्धांतिक सीमा सिद्ध होती है: −1.0 < ν < +0.5।

6. हल किए गए उदाहरण एवं संख्यात्मक अनुप्रयोग

उदाहरण 1: 3.0 मीटर लंबे, 4.0 mm² अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल तथा 7.8 × 10³ kg/m³ घनत्व वाले इस्पात के एक ऊर्ध्वाधर तार का यंग गुणांक 2.0 × 10¹¹ N/m² है। (क) केवल स्वयं के भार के कारण तार की लंबाई में वृद्धि ज्ञात कीजिए। (ख) यदि इसके निचले सिरे पर 20 किग्रा का अतिरिक्त भार लटका दिया जाए तो अतिरिक्त खिंचाव ज्ञात कीजिए। (g = 9.8 मी/से² लें)।

हल:

चरण 1: तार का द्रव्यमान एवं आयतन:

A = 4.0 × 10⁻⁶ m², L = 3.0 m।

आयतन V = A × L = 4.0 × 10⁻⁶ × 3.0 = 1.2 × 10⁻⁵ m³।

द्रव्यमान M = ρ × V = (7.8 × 10³) × (1.2 × 10⁻⁵) = 0.0936 किग्रा।

चरण 2: स्वयं के भार से खिंचाव (ΔL_self):

ΔL_self = (M g L) / (2 A Y) = (0.0936 × 9.8 × 3.0) / (2 × 4.0 × 10⁻⁶ × 2.0 × 10¹¹)

ΔL_self = 2.752 / (1.6 × 10⁶) = 1.72 × 10⁻⁶ m (1.72 μm)।

चरण 3: 20 किग्रा भार से अतिरिक्त खिंचाव (ΔL_load):

ΔL_load = (m g L) / (A Y) = (20 × 9.8 × 3.0) / (4.0 × 10⁻⁶ × 2.0 × 10¹¹)

ΔL_load = 588 / (8.0 × 10⁵) = 7.35 × 10⁻⁴ m = 0.735 मिमी।

उदाहरण 2: 15 °C पर 20 मीटर लंबी इस्पात की रेल पटरियों को बिना कोई रिक्त स्थान छोड़े दोनों सिरों पर दृढ़ता से कस दिया गया है। जब परिवेश का तापमान बढ़कर 45 °C हो जाता है, तो पटरियों में उत्पन्न संपीडन तापीय प्रतिबल तथा आलंबों पर प्रणोद बल ज्ञात कीजिए। (इस्पात हेतु: α = 1.2 × 10⁻⁵ K⁻¹, Y = 2.0 × 10¹¹ N/m², पटरी का अनुप्रस्थ क्षेत्रफल A = 50 cm²)।

हल:

चरण 1: तापांतर एवं तापीय विकृति:

ΔT = 45 °C − 15 °C = 30 K।

तापीय विकृति ε_th = α ΔT = (1.2 × 10⁻⁵ K⁻¹) × 30 K = 3.6 × 10⁻⁴।

चरण 2: संपीडन तापीय प्रतिबल:

σ_th = Y × ε_th = (2.0 × 10¹¹) × (3.6 × 10⁻⁴) = 7.2 × 10⁷ N/m² (72 MPa)।

चरण 3: आलंबों पर तापीय प्रणोद बल:

क्षेत्रफल A = 50 cm² = 5.0 × 10⁻³ m²।

F_th = σ_th × A = (7.2 × 10⁷) × (5.0 × 10⁻³) = 3.6 × 10⁵ N (360 kN)।

(यह विशाल बल पटरियों को मोड़ सकता है, इसलिए पटरियों के बीच विस्तार जोड़ छोड़े जाते हैं)।

उदाहरण 3: एक संरचनात्मक मिश्रधातु के लिए यंग गुणांक 1.2 × 10¹¹ N/m² तथा दृढ़ता गुणांक 4.8 × 10¹⁰ N/m² मापा गया है। इस पदार्थ का: (क) प्वासों अनुपात (ν), तथा (ख) आयतन प्रत्यास्थता गुणांक (B) परिकलित कीजिए।

हल:

चरण 1: संबंध Y = 2G(1 + ν) से प्वासों अनुपात:

1 + ν = Y / (2 G) = (1.2 × 10¹¹) / (2 × 4.8 × 10¹⁰) = 1.2 / 0.96 = 1.25।

ν = 1.25 − 1 = 0.25।

चरण 2: संबंध Y = 3B(1 − 2ν) से आयतन गुणांक:

B = Y / [3 (1 − 2 ν)] = (1.2 × 10¹¹) / [3 × (1 − 2 × 0.25)]

B = (1.2 × 10¹¹) / [3 × 0.50] = (1.2 × 10¹¹) / 1.5 = 8.0 × 10¹⁰ N/m² (80 GPa)।

उदाहरण 4: प्रारंभिक लंबाई L तथा त्रिज्या r वाली रबर की एक डोरी को अक्षीय बल द्वारा खींचा जाता है जिससे उसकी लंबाई में ΔL की वृद्धि होती है। यदि रबर का प्वासों अनुपात 0.5 हो, तो सिद्ध कीजिए कि इसके आयतन में भिन्नात्मक परिवर्तन शून्य होता है (ΔV / V = 0)।

हल:

चरण 1: बेलन का आयतन एवं लघु परिवर्तन:

V = π r² L।

दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: ln V = ln π + 2 ln r + ln L।

अवकलन करने पर भिन्नात्मक परिवर्तन का सूत्र:

ΔV / V = 2 (Δr / r) + (ΔL / L)।

चरण 2: प्वासों अनुपात की परिभाषा का उपयोग:

ν = − (Δr / r) / (ΔL / L) ⇒ Δr / r = − ν (ΔL / L)।

मान प्रतिस्थापित करने पर:

ΔV / V = 2 (− ν ΔL / L) + (ΔL / L) = (1 − 2 ν) (ΔL / L)।

चरण 3: ν = 0.5 हेतु मान:

ΔV / V = (1 − 2 × 0.5) (ΔL / L) = (1 − 1) (ΔL / L) = 0।

अतः 0.5 प्वासों अनुपात वाले पदार्थ का विरूपण के दौरान कुल आयतन पूर्णतः नियत रहता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQs)

Q1. पुलों तथा बहुमंजिला भवनों के ढांचे तांबे या एल्युमिनियम के स्थान पर इस्पात से क्यों बनाए जाते हैं?

इस्पात का यंग गुणांक (Y ≈ 2.0 × 10¹¹ N/m²) तांबे (1.1 × 10¹¹) तथा एल्युमिनियम (0.7 × 10¹¹) से काफी अधिक होता है। भारी यातायात भार या आंधी के दबाव में इस्पात में न्यूनतम प्रत्यास्थ विकृति और न्यूनतम अवनमन होता है, जिससे संरचना अत्यधिक स्थिर रहती है।

Q2. आदर्श गैस का समतापी बनाम रुद्धोष्म आयतन प्रत्यास्थता गुणांक क्या होता है?

आदर्श गैस के समतापी प्रक्रम (PV = नियतांक) हेतु समतापी आयतन गुणांक B_iso = P (प्रारंभिक दाब) होता है। रुद्धोष्म प्रक्रम (PV^γ = नियतांक) हेतु रुद्धोष्म आयतन गुणांक B_ad = γ P होता है। अतः B_ad / B_iso = γ = C_p / C_v।

Q3. क्या वास्तविक पदार्थों के लिए प्वासों अनुपात ऋणात्मक हो सकता है?

हां, विशेष रूप से निर्मित माइक्रो-आर्किटेक्चर्ड पदार्थों जिन्हें ऑक्सेटिक पदार्थ (Auxetic Materials) कहा जाता है (जैसे कुछ विशेष छिद्रयुक्त बहुलक व फोम), का प्वासों अनुपात ऋणात्मक होता है। इन्हें अक्षीय रूप से खींचने पर इनकी आंतरिक संरचना खुलती है और वे पार्श्व में पतले होने के बजाय मोटे हो जाते हैं।

Q4. प्रत्यास्थ श्रांति (Elastic Fatigue) और प्रत्यास्थ उत्तर-प्रभाव (Elastic After-effect) में क्या अंतर है?

विरूपक बल हटाने के बाद प्रारंभिक अवस्था पुनः प्राप्त करने में लगने वाले सूक्ष्म समय अंतराल को प्रत्यास्थ उत्तर-प्रभाव कहते हैं। किसी पदार्थ पर लंबे समय तक बार-बार चक्रीय प्रतिबल लगाने पर उसके यांत्रिक सामर्थ्य में आने वाली कमी तथा अंततः टूट जाने को प्रत्यास्थ श्रांति कहते हैं।

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