ऊंचाई और गहराई के साथ गुरुत्वीय त्वरण में क्या परिवर्तन होता है?

पृथ्वी की सतह से h ऊंचाई पर: g_h = g / (1 + h/R)^2 ≈ g(1 - 2h/R) (जहाँ h << R)। सतह से d गहराई पर: g_d = g(1 - d/R)। कम दूरियों (h = d << R) के लिए ऊंचाई के साथ g के घटने की दर गहराई के साथ घटने की दर की दोगुनी होती है (Δg_h ≈ 2 Δg_d)। पृथ्वी के केंद्र पर (d = R) गुरुत्वीय त्वरण शून्य हो जाता है।

ध्रुवों पर g का मान अधिकतम तथा विषुवत रेखा पर न्यूनतम क्यों होता है?

इसके दो प्रमुख कारण हैं: 1. पृथ्वी की आकृति: पृथ्वी पूर्ण गोला न होकर ध्रुवों पर चपटी है (विषुवतीय त्रिज्या R_e ध्रुवीय त्रिज्या R_p से लगभग 21 किमी अधिक है)। g = GM/R^2 के अनुसार त्रिज्या कम होने से ध्रुवों पर g अधिक होता है। 2. पृथ्वी का घूर्णन: अक्षांश λ पर प्रभावी गुरुत्व g' = g - ω^2 R cos^2 λ होता है। विषुवत रेखा पर (λ = 0°) अपकेंद्री कमी अधिकतम होती है (g_eq = g - ω^2 R), जबकि ध्रुवों पर (λ = 90°) घूर्णन का कोई प्रभाव नहीं पड़ता (g_p = g)।

§ 7.2NCERT कक्षा 11 · भौतिकी · अध्याय 7

गुरुत्वीय त्वरण (g) एवं इसके विभिन्न परिवर्तन

Q: ध्रुवों पर g का मान अधिकतम तथा विषुवत रेखा पर न्यूनतम क्यों होता है?

इसके दो प्रमुख कारण हैं: 1. पृथ्वी की आकृति: पृथ्वी पूर्ण गोला न होकर ध्रुवों पर चपटी है (विषुवतीय त्रिज्या R_e ध्रुवीय त्रिज्या R_p से लगभग 21 किमी अधिक है)। g = GM/R^2 के अनुसार त्रिज्या कम होने से ध्रुवों पर g अधिक होता है। 2. पृथ्वी का घूर्णन: अक्षांश λ पर प्रभावी गुरुत्व g' = g - ω^2 R cos^2 λ होता है। विषुवत रेखा पर (λ = 0°) अपकेंद्री कमी अधिकतम होती है (g_eq = g - ω^2 R), जबकि ध्रुवों पर (λ = 90°) घूर्णन का कोई प्रभाव नहीं पड़ता (g_p = g)।

QCC Notes · कक्षा 11 भौतिकी NCERT आधारित अद्यतन 26 सितंबर 2026 7 मिनट पठन

पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण खिंचाव के अधीन मुक्त रूप से गिरती हुई किसी वस्तु में उत्पन्न त्वरण को गुरुत्वीय त्वरण कहते हैं, जिसे g द्वारा दर्शाया जाता है। पृथ्वी की सतह पर इसका मानक मान लगभग 9.8 m/s² होता है। किंतु g कोई सार्वत्रिक स्थिरांक नहीं है; यह ऊंचाई, गहराई, अक्षांश तथा पृथ्वी की ज्यामितीय आकृति के अनुसार निरंतर बदलता रहता है।

1. गुरुत्वीय त्वरण g तथा सार्वत्रिक स्थिरांक G में संबंध

माना M द्रव्यमान तथा R त्रिज्या की पृथ्वी की सतह पर m द्रव्यमान का कोई पिंड रखा है। न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण नियम से उस पर कार्यरत गुरुत्वाकर्षण बल है:

F = G M m / R²

न्यूटन के द्वितीय नियम से F = m g। दोनों समीकरणों की तुलना करने पर मौलिक सूत्र प्राप्त होता है:

g = G M / R²

पृथ्वी के औसत घनत्व ρ के पदों में (आयतन V = 4/3 π R³ मानने पर):

g = G [4/3 π R³ ρ] / R² = 4/3 π G ρ R

गुरुत्वीय त्वरण के परिवर्तनों का तुलनात्मक आरेख

ऊंचाई h, गहराई d तथा घूर्णन अक्षांश λ पर g के सूत्र एवं व्यवहार

ऊंचाई पर परिवर्तन (ALTITUDE h):                 गहराई पर परिवर्तन (DEPTH d):
------------------------------                 ----------------------------
gh = g [R / (R + h)]²                          gd = g [1 - (d / R)]
यदि h << R:                                    गहराई के साथ रैखिक कमी:
gh ≈ g [1 - (2h / R)]                          पृथ्वी के केंद्र पर (d = R):
प्रतिशत कमी: (2h / R) * 100%                   gd = 0 (केंद्र पर भारहीनता)

पृथ्वी का घूर्णन (अक्षांश λ):                   पृथ्वी की आकृति (दीर्घवृत्तज):
---------------------------                    ----------------------------
g' = g - ω² R cos² λ                          Re > Rp (विषुवत रेखा पर 21 किमी उभार)
विषुवत रेखा पर (λ = 0°):                        g = GM / R²
geq = g - ω² R  (न्यूनतम g)                     gp > geq
ध्रुवों पर (λ = 90°):                           ध्रुवों पर g अधिकतम,
gp = g          (अधिकतम g)                     विषुवत रेखा पर न्यूनतम

JEE परिवर्तन दर नियम: कम दूरियों (h = d ≪ R) के लिए पृथ्वी की सतह से ऊंचाई पर जाने पर g के घटने की दर गहराई में जाने की तुलना में ठीक दोगुनी होती है (Δg_h = 2 Δg_d)।

2. गुरुत्वीय त्वरण में परिवर्तनों का गणितीय विश्लेषण

1. पृथ्वी की सतह से ऊंचाई (h) के साथ परिवर्तन

सतह से h ऊंचाई पर स्थित बिंदु की केंद्र से दूरी r = R + h होती है:

g_h = G M / (R + h)² = [G M / R²] [1 + h/R]⁻² = g (1 + h/R)⁻²

यदि h ≪ R हो, तो द्विपद प्रमेय (Binomial expansion) से:

g_h ≈ g (1 − 2h/R) (यह सन्निकटन केवल तभी मान्य है जब h < 5% of R, अर्थात् h < 320 किमी)

2. पृथ्वी की सतह से गहराई (d) के साथ परिवर्तन

सतह से d गहराई पर केंद्र से दूरी r = R − d होती है। गोलीय कोश प्रमेय के अनुसार d मोटाई का बाहरी कोश कोई बल नहीं लगाता। केवल (R − d) त्रिज्या का आंतरिक ठोस गोला ही आकर्षण बल लगाता है:

g_d = g (1 − d/R)

विशेष तथ्य: ऊंचाई के सन्निकट सूत्र के विपरीत, गहराई का यह सूत्र सतह से केंद्र तक प्रत्येक गहराई के लिए पूर्णतः यथार्थ (exact) है। केंद्र पर d = R रखने पर g = 0 प्राप्त होता है।

3. पृथ्वी के घूर्णन (अक्षांश λ) के कारण परिवर्तन

पृथ्वी अपनी धुरी के परितः ω कोणीय वेग से घूर्णन करती है। λ अक्षांश पर स्थित वस्तु पर बाहर की ओर अपकेंद्री त्वरण कार्य करता है, जिससे आभासी गुरुत्वीय त्वरण घट जाता है:

g' = g − ω² R cos² λ

विषुवत रेखा पर (λ = 0°): cos 0° = 1 ⇒ g_eq = g − ω² R (न्यूनतम मान)।
ध्रुवों पर (λ = 90°): cos 90° = 0 ⇒ g_p = g (घूर्णन का कोई प्रभाव नहीं)।

3. गुरुत्वीय परिवर्तनों की तुलनात्मक सारणी

कारक	गणितीय सूत्र	ग्राफ की प्रकृति	चरम मान
ऊंचाई (h)	g_h = g / (1 + h/R)²	व्युत्क्रम वर्ग क्षय (1/r²)	h → ∞ पर g → 0
गहराई (d)	g_d = g (1 − d/R)	सरल रेखीय ह्रास	पृथ्वी के केंद्र पर g = 0
अक्षांश (λ)	g' = g − ω² R cos² λ	त्रिकोणमितीय (cos² λ)	ध्रुवों पर अधिकतम, विषुवत पर न्यूनतम
आकृति (चपटापन)	R_e − R_p ≈ 21 किमी	त्रिज्या के व्युत्क्रमानुपाती	g_p − g_e ≈ 0.02 m/s²

JEE उच्च-प्राथमिकता प्रश्न: "पृथ्वी का कोणीय वेग कितना होना चाहिए ताकि विषुवत रेखा पर स्थित वस्तुएं भारहीन प्रतीत हों?"
विषुवत रेखा पर भारहीनता का अर्थ है g_eq = 0 ⇒ g − ω² R = 0 ⇒ ω = √(g / R)। गणना करने पर ω ≈ 1.24 × 10⁻³ rad/s आता है, जो वर्तमान घूर्णन चाल का लगभग 17 गुना है (दिन केवल 1.4 घंटे का रह जाएगा)!

4. हल सहित JEE / NEET उच्च-प्राथमिकता अभ्यास प्रश्न

प्रश्न 1: पृथ्वी की सतह से कितनी ऊंचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का मान सतह के मान का 1/4 रह जाएगा? (पृथ्वी की त्रिज्या = R)

(A) R / 4

(B) R / 2

(D) 2R

उत्तर देखें

सही उत्तर: (C) R

चरणबद्ध हल:
1. यथार्थ सूत्र का प्रयोग करें (चूँकि 1/4 एक बड़ा परिवर्तन है, अतः सन्निकट सूत्र का प्रयोग नहीं कर सकते):
g_h = g / (1 + h/R)².
2. g_h = g / 4 रखने पर:
g / 4 = g / (1 + h/R)² ⇒ (1 + h/R)² = 4.
3. वर्गमूल लेने पर:
1 + h/R = 2 ⇒ h/R = 1 ⇒ h = R.
अतः 6,400 किमी की ऊंचाई पर गुरुत्वीय त्वरण सतह का 25% रह जाता है।

प्रश्न 2: यदि पृथ्वी की सतह से h ऊंचाई पर g में होने वाला परिवर्तन सतह से d गहराई पर होने वाले परिवर्तन के बराबर हो (h << R), तो:

(A) d = h

(B) d = 2h

(D) d = h² / R

उत्तर देखें

सही उत्तर: (B) d = 2h

चरणबद्ध हल:
1. h ऊंचाई पर परिवर्तन: Δg_h = 2g h / R.
2. d गहराई पर परिवर्तन: Δg_d = g d / R.
3. दोनों को बराबर रखने पर: 2g h / R = g d / R ⇒ d = 2h.

प्रश्न 3: यदि पृथ्वी अपनी अक्ष पर घूमना अचानक बंद कर दे, तो विषुवत रेखा पर किसी वस्तु के गुरुत्वीय त्वरण में क्या परिवर्तन होगा?

(A) ω² R की वृद्धि होगी

(B) ω² R की कमी होगी

(D) शून्य हो जाएगा

उत्तर देखें

सही उत्तर: (A) ω² R की वृद्धि होगी

चरणबद्ध हल:
1. घूर्णन करते समय विषुवत रेखा पर प्रभावी त्वरण: g_eq = g − ω² R.
2. यदि घूर्णन बंद हो जाए (ω = 0), तो नया मान g होगा।
3. अतः मान में ω² R की वृद्धि होगी। ध्रुवों पर कोई परिवर्तन नहीं होगा।

5. अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQs)

1. सन्निकट सूत्र g_h ≈ g(1 − 2h/R) का प्रयोग कब करना चाहिए?

इस सूत्र का उपयोग केवल तभी करना चाहिए जब ऊंचाई h पृथ्वी की त्रिज्या R की तुलना में नगण्य हो (प्रायः h < 320 किमी या h/R < 5%)। बड़ी ऊंचाइयों (जैसे h = R या 2R) के लिए सदैव यथार्थ सूत्र g_h = g / (1 + h/R)² का प्रयोग करें।

2. पृथ्वी के केंद्र से दूरी r के साथ g का आरेख कैसा दिखाई देगा?

केंद्र से सतह तक (r = 0 से R) g दूरी के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है (मूलबिंदु से गुजरने वाली सरल रेखा: g ∝ r)। सतह पर (r = R) यह अधिकतम होता है। सतह के बाहर (r > R) यह व्युत्क्रम वर्ग नियम (g ∝ 1/r²) के अनुसार घटता है।

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