परमाणु का क्वांटम यांत्रिकीय मॉडल: क्वांटम संख्याएँ और कक्षक
श्रोडिंगर समीकरण ने बोर की कक्षाओं की जगह प्रायिकता मेघ दिए — और इसके हलों से चार क्वांटम संख्याएँ निकलीं जो हर इलेक्ट्रॉन को पूरा “पता” देती हैं। आकृतियाँ, नोड, क्षमताएँ, आउफबाउ ऊर्जा-सीढ़ी, और एक लाइव वैलिडेटर जो आपके हर क्वांटम संख्या समुच्चय की जाँच करता है।
क्वांटम यांत्रिकीय मॉडल क्या है? — पूर्ण सिद्धांत
बोर मॉडल — हाइड्रोजन (§ 2.4) के लिए शानदार — § 2.5 के दो प्रहारों से ढह गया: दे ब्रॉग्ली ने दिखाया कि इलेक्ट्रॉन एक तरंग है, और हाइज़ेनबर्ग ने उसके सटीक पथ को जानना असंभव बताया। यदि पथ जाना ही नहीं जा सकता, तो उसे खींचा भी नहीं जा सकता। 1926 में अर्विन श्रोडिंगर ने वह समीकरण लिखा जिसका पालन तरंग-इलेक्ट्रॉन को करना चाहिए — Hψ = Eψ — और हाइड्रोजन परमाणु के लिए इसे हल करने से रसायन विज्ञान के प्रश्न ही बदल गए। अब प्रश्न यह नहीं कि “इलेक्ट्रॉन कहाँ है?” बल्कि यह कि “इलेक्ट्रॉन के यहाँ होने की प्रायिकता कितनी है?”
हल ψ (साई) तरंग फलन है — और अपने आप में इसका कोई प्रत्यक्ष भौतिक अर्थ नहीं है। इसका वर्ग, |ψ|², प्रायिकता घनत्व है: जहाँ इलेक्ट्रॉन के मिलने की संभावना अधिक है वहाँ बड़ा, जहाँ कम है वहाँ छोटा। उस क्षेत्र का चित्र बनाएँ जिसमें इस प्रायिकता का ~90–95% हो, तो आपको एक कक्षक मिलता है — एक धुँधला त्रिविमीय मेघ, कोई दौड़-पथ नहीं। जहाँ बोर के पास एक संख्या (n) थी, वहीं क्वांटम परमाणु को एक इलेक्ट्रॉन की सटीक पहचान के लिए चार क्वांटम संख्याएँ चाहिए — तीन श्रोडिंगर समीकरण से निकलती हैं, एक प्रयोग से जोड़ी गई:
| क्वांटम संख्या | प्रतीक | अनुमत मान | क्या तय करती है | स्रोत |
|---|---|---|---|---|
| मुख्य | n | 1, 2, 3, … | कोश — आकार और मुख्य ऊर्जा | श्रोडिंगर |
| दिगंशी (कोणीय संवेग) | l | 0 से (n − 1) | उपकोश — आकृति: s, p, d, f | श्रोडिंगर |
| चुंबकीय | m | −l … 0 … +l | अभिविन्यास — 2l + 1 कक्षक | श्रोडिंगर |
| चक्रण | s | +½, −½ | इलेक्ट्रॉन का आंतरिक चक्रण | प्रयोग (उहलेनबेक–गाउडस्मिट) |
l वाली पंक्ति ध्यान से पढ़ें — नामकरण की पद्धति इसी में है। l = 0, 1, 2, 3 को s, p, d, f लिखा जाता है (sharp, principal, diffuse, fundamental — पुरानी स्पेक्ट्रमिकी की शब्दावली से), और कक्षक का नाम n + अक्षर होता है: 1s, 2s, 2p, 3d, 4f। इससे तुरंत दो वैधता नियम निकलते हैं: l को l ≤ n − 1 का पालन करना चाहिए (इसलिए 1p, 2d, 3f का अस्तित्व नहीं है), और m को |m| ≤ l का पालन करना चाहिए (p उपकोश के अभिविन्यास m = −1, 0, +1 हैं — इसके बाहर कुछ नहीं)।
| उपकोश | l | m के मान | कक्षक (2l+1) | इलेक्ट्रॉन 2(2l+1) | कोणीय नोड (= l) |
|---|---|---|---|---|---|
| s | 0 | 1 (0) | 1 | 2 | 0 — गोलीय |
| p | 1 | 3 (−1, 0, +1) | 3 | 6 | 1 — डंबल |
| d | 2 | 5 | 5 | 10 | 2 — द्वि-डंबल (तिपतिया-जैसा) |
| f | 3 | 7 | 7 | 14 | 3 — जटिल |
इसे पूरे कोश तक बढ़ाएँ: कोश n में n² कक्षक होते हैं (n = 3 → एक 3s + तीन 3p + पाँच 3d = 9) और यह 2n² इलेक्ट्रॉन (18) रख सकता है। और हर कक्षक की एक आंतरिक संरचना होती है — नोड, शून्य प्रायिकता वाले पृष्ठ: त्रिज्य (गोलीय) नोड = n − l − 1, कोणीय (समतलीय) नोड = l, और इनका योग हमेशा n − 1 होता है। एक ही कोश के उपकोशों में यह बँटवारा बदलता है; कुल योग कभी नहीं बदलता — परीक्षा का प्रिय गणना-नियम।
अब ऊर्जा का प्रश्न — और यहाँ क्वांटम मॉडल दो अलग “संसारों” के बीच रेखा खींचता है। हाइड्रोजन (एक इलेक्ट्रॉन): ऊर्जा केवल n पर निर्भर करती है। n = 3 के सभी नौ कक्षक — 3s, 3p, 3d — अपभ्रष्ट (समान ऊर्जा वाले) हैं, ठीक बोर के Eₙ = −13.6/n² eV की तरह। बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणु: ऊर्जा n + l पर निर्भर करती है। इलेक्ट्रॉन एक-दूसरे का परिरक्षण करते हैं, इसलिए एक कोश के अंदर कम l वाला उपकोश नीचे रहता है: 3s < 3p < 3d। यही एक अंतर आउफबाउ सिद्धांत को चलाता है — कक्षकों को बढ़ते n + l के क्रम में भरें (बराबरी होने पर कम n पहले): 1s → 2s → 2p → 3s → 3p → 4s → 3d → …, वही क्रम जो आपके हर इलेक्ट्रॉनिक विन्यास के पीछे है।
भरने के दो नियम इस तंत्र को पूरा करते हैं। पाउली का अपवर्जन नियम: किसी परमाणु में दो इलेक्ट्रॉनों की चारों क्वांटम संख्याएँ समान नहीं हो सकतीं — एक कक्षक (निश्चित n, l, m) में अधिकतम दो इलेक्ट्रॉन रह सकते हैं, और उनके चक्रण विपरीत होने चाहिए। हुंड का नियम: अपभ्रष्ट कक्षकों में इलेक्ट्रॉन युग्मित होने से पहले अलग-अलग कक्षकों में एक-एक करके समांतर चक्रण के साथ भरते हैं — इसी कारण नाइट्रोजन का 2p³ तीन अर्ध-पूरित कक्षक है, एक पूरा और एक खाली नहीं। (याद रखें, चक्रण क्वांटम संख्या वही है जिसे श्रोडिंगर समीकरण ने कभी नहीं दिया — यह स्पेक्ट्रमिकी से आई और अर्ध-पूरित तथा पूर्ण-पूरित उपकोशों को अतिरिक्त स्थायित्व देती है।)
प्रायिकता घनत्व बनाम त्रिज्य प्रायिकता। ψ² प्रायिकता घनत्व है — किसी बिंदु पर प्रति एकांक आयतन इलेक्ट्रॉन के मिलने की प्रायिकता। 1s इलेक्ट्रॉन के लिए ψ² स्वयं नाभिक पर सबसे अधिक होता है। परंतु नाभिक से r दूरी पर इलेक्ट्रॉन के मिलने की संभावना उस दूरी पर स्थित पूरे पतले गोलीय कोश पर निर्भर करती है, जिसका आयतन 4πr²dr के अनुसार बढ़ता है। इसलिए त्रिज्य प्रायिकता P(r) = 4πr²ψ²dr है। 1s के लिए यह नाभिक पर शून्य होती है, r = 0.529 Å पर अधिकतम होती है — बोर की पहली त्रिज्या, जो अब निश्चित कक्षा के बजाय सबसे संभावित दूरी है — और फिर घटती जाती है। हर त्रिज्य नोड वक्र में एक शून्य के रूप में दिखता है: 2s (एक त्रिज्य नोड) में दो शिखर, 3s (दो नोड) में तीन शिखर। सामान्यतः त्रिज्य प्रायिकता वक्र में (n − l) शिखर होते हैं, और सबसे बाहरी शिखर सबसे ऊँचा होता है।
अपवादी विन्यास: क्रोमियम और कॉपर। आउफबाउ क्रम के अनुसार Cr (Z = 24) का विन्यास [Ar] 3d⁴ 4s² और Cu (Z = 29) का [Ar] 3d⁹ 4s² होना चाहिए। प्रेक्षित विन्यास Cr: [Ar] 3d⁵ 4s¹ और Cu: [Ar] 3d¹⁰ 4s¹ हैं — एक 4s इलेक्ट्रॉन 3d में चला जाता है ताकि d उपकोश ठीक अर्ध-पूरित (d⁵) या पूर्ण-पूरित (d¹⁰) हो जाए। 3d और 4s की ऊर्जाएँ पास-पास हैं, इसलिए इस छोटे विस्थापन की भरपाई अतिरिक्त स्थायित्व से हो जाती है, जिसके दो स्रोत हैं।
(1) सममिति। अर्ध-पूरित और पूर्ण-पूरित उपकोशों में इलेक्ट्रॉनों का वितरण सममित होता है। एक ही उपकोश के इलेक्ट्रॉन एक-दूसरे का परिरक्षण अपेक्षाकृत कम करते हैं, इसलिए नाभिक उन्हें अधिक मज़बूती से बाँधता है। (2) विनिमय ऊर्जा। अपभ्रष्ट कक्षकों में समांतर चक्रण वाले इलेक्ट्रॉन अपनी स्थितियाँ बदल (विनिमय कर) सकते हैं, और हर संभावित विनिमय ऊर्जा (विनिमय ऊर्जा) मुक्त करता है जो व्यवस्था को स्थायी बनाती है। विनिमयों की संख्या तब अधिकतम होती है जब उपकोश अर्ध-पूरित या पूर्ण-पूरित हो: पाँच समांतर चक्रण वाला d⁵ 10 विनिमय (5 × 4 / 2) देता है, जबकि d⁴ केवल 6। हुंड के नियम का कारण भी यही है।
कक्षकों को देखें और क्वांटम संख्याओं की जाँच करें
चार आकृतियाँ, चार संख्याएँ — गैलरी दिखाती है कि अनुप्रस्थ काट में कक्षक कैसे दिखते हैं, और नीचे का वैलिडेटर आपके n-l-m-s समुच्चयों की जाँच वैसे ही करता है जैसे NTA करता है।
Quantum Number Validator
Chaar numbers chuno — legal set par poora orbital profile milega; illegal par exact rule break pakda jayega. Try 2d ya m = 3 with l = 1 — validator nahi bachega.
Legality rules enforced: l ≤ n − 1 and |m| ≤ l. Designations like 2d, 3f, 1p get caught instantly; m outside ±l gets caught too. Shape previews are stylised cross-sections — f shown with 3 lobes-pairs as a hint, real shapes are more intricate.
हल किए गए उदाहरण (चरण-दर-चरण)
संख्याएँ → वैधता → गणना। जो क्रम यहाँ चलता है, वही वैलिडेटर में लाइव चलता है।
n = 4, l = 2 का पूरा विवरण
n = 4 और l = 2 वाले इलेक्ट्रॉन के लिए कक्षक का नाम, उपकोश में कक्षकों की संख्या, उसमें रह सकने वाले इलेक्ट्रॉन, और उसके त्रिज्य व कोणीय नोड लिखिए।
- वैधता
l = 2 ≤ n − 1 = 3✓ — कक्षक का अस्तित्व है। - नामl = 2 → d → 4d (वैलिडेटर पर जाँचें)।
- क्षमता
कक्षक = 2l + 1 = 5·इलेक्ट्रॉन = 2(2l + 1) = 10 - नोड
त्रिज्य = n − l − 1 = 1·कोणीय = l = 2· कुल = 3 = n − 1 ✓
4d · 5 कक्षक · 10 इलेक्ट्रॉन · 1 त्रिज्य + 2 कोणीय नोड
3s, 3p, 3d — अलग बँटवारा, समान योग
3s, 3p और 3d के त्रिज्य और कोणीय नोडों की तुलना कीजिए। क्या स्थिर रहता है, और क्यों?
- 3s
त्रिज्य = 3 − 0 − 1 = 2· कोणीय = 0 → 2 - 3p
त्रिज्य = 3 − 1 − 1 = 1· कोणीय = 1 → 2 - 3d
त्रिज्य = 3 − 2 − 1 = 0· कोणीय = 2 → 2 - क्योंकुल = n − 1 कोश से तय होता है; l केवल इसे गोलीय और समतलीय पृष्ठों में बाँटता है। JEE का प्रिय नियम ✓
सभी में कुल 2 नोड — बँटवारा बदलता है, योग नहीं
नाइट्रोजन का सातवाँ इलेक्ट्रॉन
नाइट्रोजन (Z = 7) के सातवें (अंतिम) इलेक्ट्रॉन की चारों क्वांटम संख्याएँ लिखिए, और बताइए कि कौन-सा नियम उन्हें तय करता है।
- विन्यासN:
1s² 2s² 2p³— 7वाँ इलेक्ट्रॉन 2p में जाता है। - हुंड का नियमतीन अपभ्रष्ट 2p कक्षक पहले एक-एक करके समांतर चक्रण के साथ भरते हैं — m = −1, 0, +1 प्रत्येक में एक इलेक्ट्रॉन।
- निर्धारणअंतिम इलेक्ट्रॉन (परिपाटी: m को −1 → 0 → +1 क्रम में भरें):
n = 2, l = 1, m = +1, s = +½— तीनों 2p इलेक्ट्रॉन क्रम से m = −1, 0, +1 लेते हैं, इसलिए तीसरा m = +1 में जाता है - जाँचl = 1 ≤ n − 1 ✓ · |m| = 1 ≤ 1 ✓ · पाउली: पहले के दो p इलेक्ट्रॉनों से कोई टकराव नहीं (m अलग) ✓
(2, 1, +1, +½) — हुंड का नियम
मुख्य सूत्र और सार बिंदु
आठ पंक्तियाँ जो यह विषय हल कर देती हैं
अक्षर: l = 0, 1, 2, 3 → s, p, d, f · चक्रण: s = ±½ (प्रायोगिक) · कक्षक का आकार: ~90–95% प्रायिकता का क्षेत्र · आउफबाउ में बराबरी: समान n + l → कम n पहले भरता है (3d, 4p से पहले)
- कक्षक ≠ कक्षा — |ψ|² से बने प्रायिकता मेघ ने बोर के वर्जित सटीक पथ की जगह ली; यही वैचारिक बदलाव मॉडल का मूल है।
- चार संख्याएँ, एक पता — n (कोश), l (आकृति, ≤ n−1), m (अभिविन्यास, |m| ≤ l), s (चक्रण ±½, प्रायोगिक)।
- गणना सूत्रों से, रटकर नहीं — प्रति कोश n² कक्षक और 2n² इलेक्ट्रॉन; प्रति उपकोश 2l+1 कक्षक और 2(2l+1) इलेक्ट्रॉन; नोड n − l − 1 + l = n − 1।
- दो ऊर्जा संसार — हाइड्रोजन में n के अंदर अपभ्रष्टता; बहु-इलेक्ट्रॉन में क्रम n + l से, और भराई आउफबाउ, पाउली व हुंड के नियमों से।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
चार क्वांटम संख्याएँ कौन-सी हैं और हर एक क्या बताती है?
मुख्य क्वांटम संख्या n (1, 2, 3, …) कोश — उसका आकार और ऊर्जा — तय करती है। दिगंशी क्वांटम संख्या l (0 से n−1) उपकोश की आकृति तय करती है: 0 = s, 1 = p, 2 = d, 3 = f। चुंबकीय क्वांटम संख्या m (−l से +l) कक्षक का अभिविन्यास तय करती है, जिसके 2l+1 मान होते हैं। चक्रण क्वांटम संख्या s (+½ या −½) इलेक्ट्रॉन का आंतरिक चक्रण बताती है। पहली तीन श्रोडिंगर समीकरण के हल से निकलती हैं; चक्रण प्रयोग के आधार पर जोड़ा गया।
एक कोश और एक उपकोश में कितने कक्षक होते हैं?
मुख्य क्वांटम संख्या n वाले कोश में n² कक्षक होते हैं और वह 2n² इलेक्ट्रॉन रख सकता है। दिगंशी क्वांटम संख्या l वाले उपकोश में 2l+1 कक्षक होते हैं और वह 2(2l+1) इलेक्ट्रॉन रखता है — अतः s में 2, p में 6, d में 10 और f में 14 इलेक्ट्रॉन आते हैं।
किसी कक्षक के त्रिज्य और कोणीय नोड कैसे गिनें?
त्रिज्य (गोलीय) नोड = n − l − 1, कोणीय (समतलीय) नोड = l, और कुल हमेशा n − 1 होता है। उदाहरण के लिए, 3p में 1 त्रिज्य और 1 कोणीय नोड (कुल 2) होते हैं, जबकि 4f में 0 त्रिज्य और 3 कोणीय नोड (कुल 3) होते हैं।
कक्षा और कक्षक में क्या अंतर है?
कक्षा बोर का निश्चित वृत्ताकार पथ है जिसमें इलेक्ट्रॉन की स्थिति और वेग सटीक होते हैं — ऐसा चित्र जिसकी अनिश्चितता सिद्धांत अनुमति नहीं देता। कक्षक नाभिक के चारों ओर वह त्रिविमीय क्षेत्र है जहाँ इलेक्ट्रॉन के मिलने की प्रायिकता अधिकतम (लगभग 90–95%) होती है, जो |ψ|² से प्राप्त होता है। कक्षा द्विविमीय और निश्चित है; कक्षक एक प्रायिकता मेघ है और कक्षा का क्वांटम यांत्रिकीय विकल्प है।
Practice Questions (With Solutions)
पहले सभी प्रश्न खुद हल करें, फिर सबमिट दबाकर अपना स्कोर और हर प्रश्न का पूरा हल देखें, चाहे उत्तर सही हो या गलत। प्रश्नों की भाषा बदलने के लिए ऊपर दिए भाषा टॉगल का उपयोग करें।
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