बोर मॉडल की ओर विकास: क्वांटा, प्रकाश-विद्युत प्रभाव और स्पेक्ट्रम
बोर मॉडल अचानक नहीं आया — यह तीन प्रायोगिक “भूकंपों” पर बना: प्लांक के क्वांटा, आइंस्टीन का प्रकाश-विद्युत प्रभाव, और परमाणु स्पेक्ट्रम की पहचान-रेखाएँ। प्रमाणों को क्रम से समझें, समीकरण सीखें, और देहली प्रयोग खुद चलाकर देखें।
बोर मॉडल तक कैसे पहुँचे? — पूर्ण सिद्धांत
1900 तक प्रकाश को निश्चित रूप से एक तरंग माना जाता था। मैक्सवेल ने विद्युत-चुंबकीय विकिरण को परस्पर जुड़े दोलनशील विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों के रूप में वर्णित किया था, जो निर्वात में c = 3 × 10⁸ m/s से चलते हैं — किसी माध्यम की आवश्यकता नहीं। हर तरंग को इन्हीं चार राशियों से वर्णित किया जाता है, और इस खंड का हर संख्यात्मक प्रश्न इन्हीं पर चलता है:
| प्राचल | प्रतीक · मात्रक | अर्थ | उपयोगी संबंध |
|---|---|---|---|
| तरंगदैर्घ्य | λ · m, nm, Å | दो क्रमागत शिखरों के बीच की दूरी | 1 Å = 10⁻¹⁰ m · 1 nm = 10⁻⁹ m |
| आवृत्ति | ν · Hz (s⁻¹) | प्रति सेकंड चक्रों की संख्या | ν = c/λ |
| तरंग संख्या | ν̄ · cm⁻¹ | प्रति cm चक्र — स्पेक्ट्रमिकी में सबसे प्रचलित | ν̄ = 1/λ (λ cm में) |
| आयाम | a · — | तरंग की ऊँचाई | तीव्रता ∝ a² (प्रति फोटॉन ऊर्जा नहीं) |
पूरे स्पेक्ट्रम में तरंगदैर्घ्य घटने के साथ ऊर्जा बढ़ती है: रेडियो → माइक्रोवेव → IR → दृश्य → UV → X → γ। दृश्य क्षेत्र केवल एक पतली पट्टी है, ~400 nm (बैंगनी) से ~750 nm (लाल) तक — दिशा याद रखें: बैंगनी प्रकाश में लाल से अधिक ऊर्जा होती है।
भूकंप 1 — कृष्णिका (black body) की समस्या। किसी वस्तु को गर्म करें तो वह चमकने लगती है; उत्सर्जित रंग ताप के साथ ऐसे बदलते हैं जिन्हें चिरसम्मत तरंग सिद्धांत नहीं समझा सका — उसके समीकरण पराबैंगनी क्षेत्र में असंगत रूप से अनंत उत्सर्जन की भविष्यवाणी करते थे (“पराबैंगनी विपदा”)। 1900 में मैक्स प्लांक ने एक क्रांतिकारी धारणा से इसे सुलझाया: द्रव्य ऊर्जा का उत्सर्जन या अवशोषण केवल विविक्त पैकेटों — क्वांटा — में करता है, कभी सतत रूप से नहीं:
E = hν
कुल ऊर्जाE = nhν, n = 1, 2, 3…
फोटॉन ऊर्जा का शॉर्टकटE(eV) = 1240/λ(nm)
जहाँ h = 6.626 × 10⁻³⁴ J s — क्रिया का क्वांटम, और वही स्थिरांक जो इस पूरे अध्याय को चलाता है।
भूकंप 2 — प्रकाश-विद्युत प्रभाव। किसी धातु पर प्रकाश डालें; इलेक्ट्रॉन बाहर निकल आते हैं। चिरसम्मत तरंग चित्र ने तीन आत्मविश्वासी भविष्यवाणियाँ कीं — तीनों गलत निकलीं:
| प्रश्न | चिरसम्मत तरंग सिद्धांत | प्रयोग बताता है |
|---|---|---|
| कम आवृत्ति पर उत्सर्जन? | हाँ, यदि तीव्रता पर्याप्त हो | नहीं — देहली ν₀ से नीचे कभी कुछ नहीं |
| इलेक्ट्रॉनों की KE बनाम तीव्रता? | तीव्रता के साथ बढ़ती है | तीव्रता से स्वतंत्र; आवृत्ति पर निर्भर |
| इलेक्ट्रॉनों की संख्या बनाम तीव्रता? | — | तीव्रता के समानुपाती |
| मंद प्रकाश में समय-विलंब? | विलंब की भविष्यवाणी | तात्क्षणिक (< 10⁻⁹ s) |
1905 में आइंस्टीन ने प्लांक के क्वांटा को प्रकाश के वास्तविक कण — फोटॉन, प्रत्येक hν ऊर्जा वाला — मानकर सब कुछ समझा दिया। एक फोटॉन एक इलेक्ट्रॉन से अन्योन्यक्रिया करता है; या तो उसमें इलेक्ट्रॉन को मुक्त करने लायक ऊर्जा होती है, या इलेक्ट्रॉन पर उसका कोई असर नहीं होता:
hν = hν₀ + ½mv²
कार्यफलनφ = hν₀ = 1240/λ₀ (eV)
अधिकतम KEKEmax = hν − φ
यहाँ φ (कार्यफलन) धातु का अपना “निकास शुल्क” है — वह न्यूनतम फोटॉन ऊर्जा जो सबसे कमज़ोर बँधे इलेक्ट्रॉन को मुक्त कर दे, और ν₀ (देहली आवृत्ति) = φ/h उसी का आवृत्ति रूप है। ν₀ से नीचे: किसी भी तीव्रता पर उत्सर्जन नहीं। उससे ऊपर: हर अतिरिक्त जूल इलेक्ट्रॉन की गति में जाता है।
भूकंप 3 — परमाणु स्पेक्ट्रम। किसी तत्व के उत्सर्जन को प्रिज़्म से गुज़ारें: इंद्रधनुष नहीं, बल्कि विविक्त रंगीन रेखाएँ मिलती हैं — उत्सर्जन स्पेक्ट्रम। श्वेत प्रकाश को ठंडी वाष्प से गुज़ारें: वही तरंगदैर्घ्य गायब हो जाते हैं — सतत पृष्ठभूमि पर काली रेखाएँ, यानी अवशोषण स्पेक्ट्रम, ठीक उत्सर्जन वाले तरंगदैर्घ्यों पर। हर तत्व की एक अद्वितीय रेखा-पहचान होती है (इसी से हीलियम पृथ्वी पर मिलने से पहले सूर्य में खोजा गया)। हाइड्रोजन की दृश्य रेखाएँ एक आश्चर्यजनक रूप से सरल सूत्र में फिट होती हैं — बामर श्रेणी:
ν̄ = RH(1/2² − 1/n²)
रेखाएँ656, 486, 434, 410 nm (n = 3,4,5,6)
विविक्त क्यों?← बोर का काम (§ 2.4)
विविक्त रेखाओं का अर्थ था विविक्त ऊर्जा परिवर्तन, और उसका अर्थ था परमाणु के अंदर विविक्त ऊर्जा स्तर। रदरफोर्ड मॉडल में इसकी कोई व्यवस्था नहीं थी। बोर ने प्लांक + आइंस्टीन + बामर को एक साथ पढ़ा और कक्षा को ही क्वांटीकृत कर दिया — यही § 2.4 की कहानी है। और विकिरण की द्वैत प्रकृति सिद्ध होने के बाद वह प्रश्न उठा जिसका उत्तर § 2.5 देता है: यदि तरंगें कण हो सकती हैं, तो क्या कण तरंगें हो सकते हैं?
निरोधी विभव (Stopping potential)। प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की गतिज ऊर्जा धातु और संग्राहक के बीच एक विपरीत (मंदक) विभव लगाकर मापी जाती है। वह न्यूनतम विपरीत विभव जो सबसे तेज़ इलेक्ट्रॉनों को भी रोक दे, निरोधी विभव V₀ कहलाता है; उस स्थिति में अधिकतम गतिज ऊर्जा क्षेत्र के विरुद्ध खर्च हो जाती है: eV₀ = KEmax = hν − φ। अतः V₀ आवृत्ति के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है — V₀ और ν का ग्राफ़ h/e ढाल वाली सरल रेखा है, जो ν-अक्ष को देहली आवृत्ति ν₀ पर काटती है — और यह तीव्रता से नहीं बदलता। उपयोगी रूप: वोल्ट में V₀ का मान eV में KEmax के बराबर होता है। 500 nm प्रकाश से प्रदीप्त सोडियम के लिए KEmax = 0.12 eV, अतः V₀ = 0.12 V।
स्पेक्ट्रम को देखें और प्रकाश-विद्युत प्रयोग चलाएँ
एक सीढ़ी, एक प्रयोग — पहले विद्युत-चुंबकीय स्पेक्ट्रम की सीढ़ी, फिर एक धातु प्लेट जिस पर आप कोई भी तरंगदैर्घ्य, किसी भी तीव्रता से डाल सकते हैं।
Photoelectric Lab
Intensity slider ka khel: jab emission ho rahi hai, dots badhte-ghatate hain lekin har electron ka KE same rehta hai. Threshold se neeche intensity 100% kar ke dekho — kuch nahi hota. Wahi NTA trap, live.
हल किए गए उदाहरण (चरण-दर-चरण)
दिया गया → सूत्र → मान रखें → निष्कर्ष। जो क्रम यहाँ चलता है, वही लैब में लाइव चलता है।
600 nm प्रकाश की ऊर्जा, दो तरीकों से
600 nm तरंगदैर्घ्य वाले पीले-नारंगी प्रकाश के एक फोटॉन की ऊर्जा जूल और eV में ज्ञात कीजिए। (h = 6.626 × 10⁻³⁴ J s, c = 3 × 10⁸ m/s)
- सूत्र
E = hc/λ - मान रखें
E = (6.626×10⁻³⁴ × 3×10⁸) ÷ (600×10⁻⁹) - परिणाम (J)
E = 3.31 × 10⁻¹⁹ J - शॉर्टकट से जाँच
E = 1240/600 = 2.07 eVऔर 2.07 × 1.602×10⁻¹⁹ ≈ 3.31×10⁻¹⁹ J ✓
प्रति फोटॉन 3.31 × 10⁻¹⁹ J = 2.07 eV
सोडियम पर 500 nm प्रकाश
सोडियम का कार्यफलन 2.36 eV है। इस पर 500 nm तरंगदैर्घ्य का प्रकाश पड़ता है। ज्ञात कीजिए (a) देहली तरंगदैर्घ्य, (b) उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम KE, (c) तीव्रता दोगुनी करने पर क्या होगा।
- देहली
λ₀ = 1240/φ = 1240/2.36 = 525 nm - तुलना500 nm < 525 nm → फोटॉन ऊर्जा φ से अधिक → उत्सर्जन होगा।
- KE
KEmax = 1240/500 − 2.36 = 2.48 − 2.36 = 0.12 eV= 1.92 × 10⁻²⁰ J - तीव्रता दोगुनीइलेक्ट्रॉन दोगुने, प्रत्येक की ऊर्जा वही 0.12 eV — KE आवृत्ति पर निर्भर है, तीव्रता पर नहीं।
λ₀ = 525 nm · KE = 0.12 eV · तीव्रता केवल संख्या दोगुनी करती है
480 nm प्रकाश की आवृत्ति और तरंग संख्या
480 nm तरंगदैर्घ्य (नीला) वाले प्रकाश की आवृत्ति (ν) और cm⁻¹ में तरंग संख्या (ν̄) ज्ञात कीजिए।
- आवृत्ति
ν = c/λ = 3×10⁸ ÷ 480×10⁻⁹ = 6.25 × 10¹⁴ Hz - तरंग संख्या
ν̄ = 1/λ = 1/(480×10⁻⁷ cm) = 2.083 × 10⁴ cm⁻¹ - ऊर्जा
E = hν = 6.626×10⁻³⁴ × 6.25×10¹⁴ = 4.14 × 10⁻¹⁹ J= 2.58 eV ✓ (1240/480) - मात्रक सावधानीν̄ के लिए λ cm में (स्पेक्ट्रमिकी परिपाटी), ν के लिए m में — दोनों को मिलाना सामान्य भूल है।
ν = 6.25 × 10¹⁴ Hz · ν̄ = 2.08 × 10⁴ cm⁻¹
मुख्य सूत्र और सार बिंदु
आठ पंक्तियाँ जो यह विषय हल कर देती हैं
स्थिरांक: h = 6.626 × 10⁻³⁴ J s · c = 3 × 10⁸ m/s · 1 eV = 1.602 × 10⁻¹⁹ J · फोटॉन शॉर्टकट 1240 nm·eV · कार्यफलन: Cs 1.90 · K 2.26 · Na 2.36 · Zn 4.31 eV
- तीन भूकंपों ने बोर मॉडल बनाया — प्लांक के क्वांटा (कृष्णिका), आइंस्टीन के फोटॉन (प्रकाश-विद्युत) और बामर की विविक्त रेखाएँ (स्पेक्ट्रम)।
- तीव्रता गिनती है, आवृत्ति ऊर्जा देती है — देहली से नीचे किसी भी तीव्रता पर कुछ नहीं होता; उससे ऊपर, चमक कुछ भी हो, KE = hν − φ।
- 1240/λ ही कामकाजी स्थिरांक है — तरंगदैर्घ्य डालें, इलेक्ट्रॉन-वोल्ट पाएँ; हर प्रकाश-विद्युत प्रश्न यहीं से शुरू होता है।
- रेखीय स्पेक्ट्रम ऊर्जा स्तरों का प्रमाण है — विविक्त रेखाओं ने विविक्त स्तरों को अनिवार्य बनाया, वही कमी जिसे § 2.4 में बोर की क्वांटीकृत कक्षाओं ने भरा।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
प्रकाश-विद्युत प्रभाव क्या है और इसके लिए आइंस्टीन का समीकरण क्या है?
पर्याप्त उच्च आवृत्ति का प्रकाश पड़ने पर धातु की सतह से इलेक्ट्रॉनों का निकलना प्रकाश-विद्युत प्रभाव कहलाता है। आइंस्टीन का समीकरण hν = hν₀ + ½mv² है, जहाँ hν फोटॉन की ऊर्जा, hν₀ कार्यफलन (इलेक्ट्रॉन को निकालने की न्यूनतम ऊर्जा) और ½mv² निकले इलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा है।
चिरसम्मत तरंग सिद्धांत प्रकाश-विद्युत प्रभाव को क्यों नहीं समझा सका?
तरंग सिद्धांत के अनुसार पर्याप्त तीव्रता होने पर किसी भी आवृत्ति पर इलेक्ट्रॉन निकलने चाहिए, गतिज ऊर्जा तीव्रता के साथ बढ़नी चाहिए, और मंद प्रकाश में विलंब होना चाहिए। प्रयोगों ने इसका उल्टा दिखाया: देहली आवृत्ति से नीचे किसी भी तीव्रता पर उत्सर्जन नहीं, गतिज ऊर्जा केवल आवृत्ति पर निर्भर, और बिना किसी समय-विलंब के उत्सर्जन। केवल प्रकाश का फोटॉन चित्र ही इसे समझाता है।
प्लांक की क्वांटम परिकल्पना क्या है?
प्लांक ने प्रस्तावित किया कि परमाणु और अणु ऊर्जा का उत्सर्जन या अवशोषण केवल विविक्त मात्राओं में कर सकते हैं, सतत रूप से नहीं। ऊर्जा का सबसे छोटा पैकेट क्वांटम है, E = hν, जहाँ h प्लांक स्थिरांक (6.626 × 10⁻³⁴ J s) और ν आवृत्ति है; कुल ऊर्जा इसका पूर्णांक गुणज होती है, E = nhν। इसी एक विचार ने कृष्णिका विकिरण वक्र को समझाया और क्वांटम सिद्धांत की नींव रखी।
उत्सर्जन और अवशोषण स्पेक्ट्रम में क्या अंतर है?
उत्सर्जन स्पेक्ट्रम में काली पृष्ठभूमि पर चमकीली रंगीन रेखाएँ होती हैं — उत्तेजित परमाणुओं द्वारा उत्सर्जित विकिरण, जब इलेक्ट्रॉन निचले स्तरों पर आते हैं। अवशोषण स्पेक्ट्रम में सतत पृष्ठभूमि पर काली रेखाएँ होती हैं — वे तरंगदैर्घ्य जिन्हें प्रकाश गुज़रते समय निम्नतम अवस्था के परमाणु अवशोषित करते हैं। किसी तत्व के अवशोषण स्पेक्ट्रम की काली रेखाएँ ठीक उन्हीं तरंगदैर्घ्यों पर होती हैं जिन पर उसकी चमकीली उत्सर्जन रेखाएँ होती हैं, इसलिए स्पेक्ट्रम तत्वों की पहचान का आधार हैं।
Practice Questions (With Solutions)
पहले सभी प्रश्न खुद हल करें, फिर सबमिट दबाकर अपना स्कोर और हर प्रश्न का पूरा हल देखें, चाहे उत्तर सही हो या गलत। प्रश्नों की भाषा बदलने के लिए ऊपर दिए भाषा टॉगल का उपयोग करें।
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