What are the postulates of Bohr's model of the hydrogen atom?

Bohr proposed that (1) the electron moves only in certain circular, stationary orbits without radiating energy; (2) only those orbits are allowed whose angular momentum is an integral multiple of h/2π (mvr = nh/2π); and (3) energy is emitted or absorbed only when the electron jumps between orbits, as a photon of energy hν = E₂ − E₁.

What is the Bohr radius?

The Bohr radius is the radius of the first orbit of the hydrogen atom, 0.529 Å (52.9 pm). In general, the radius of the nth orbit is rₙ = 0.529 × n²/Z Å, where Z is the atomic number — so orbits grow as n² and shrink as Z increases.

How do you calculate the wavelength of a spectral line using the Rydberg equation?

Use 1/λ (wave number) = R_H × Z² × (1/n₁² − 1/n₂²), with R_H = 109677 cm⁻¹ and n₁ the lower level. For the hydrogen 4 → 2 transition: 109677 × (1/4 − 1/16) = 20564 cm⁻¹, giving λ ≈ 486 nm — the second line of the Balmer series in the visible region.

Why is the energy of an electron in an atom negative?

The zero of energy is assigned to a free electron at infinite separation (n = ∞). A bound electron has less energy than a free one, so its energy is negative: Eₙ = −13.6 Z²/n² eV. The ionization energy is the positive amount needed to raise the electron from its level to zero — 13.6 eV for hydrogen's ground state.

§ 2.4NCERT Class 11 · Chemistry · Chapter 2

हाइड्रोजन परमाणु का बोर मॉडल: अभिधारणाएँ, सूत्र और संख्यात्मक प्रश्न

1913 में नील्स बोर ने अकल्पनीय किया: उन्होंने प्लांक के क्वांटा को रदरफोर्ड के ग्रह-जैसे परमाणु पर लागू किया — और हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम की हर रेखा समझ में आ गई। अभिधारणाएँ, त्रिज्या–वेग–ऊर्जा की तिकड़ी, रिडबर्ग समीकरण, और किसी भी संक्रमण के लिए एक लाइव सॉल्वर।

QCC Notes · Class 11 Chemistry NCERT & NTA aligned UPDATED 24 SEP 2026 13 MIN READ

−0.0eV

Ground-state energy of hydrogen
The zero sits at n = ∞ (a free electron)
Ionization energy = +13.6 eV — the sign flips, the number stays

बोर मॉडल क्या है? — पूर्ण सिद्धांत

रदरफोर्ड के नाभिकीय परमाणु (§ 2.2) में एक घातक दोष था: नाभिक के चारों ओर घूमता आवेशित इलेक्ट्रॉन लगातार ऊर्जा विकिरित करेगा और लगभग 10⁻¹¹ s में सर्पिल पथ से नाभिक में गिर जाएगा। परंतु परमाणु स्पष्ट रूप से स्थायी हैं। बोर का समाधान था रदरफोर्ड के चित्र को बनाए रखना, परंतु उसे क्वांटीकृत करना — प्लांक का यह विचार लेकर कि ऊर्जा पैकेटों में आती है। यह मॉडल हाइड्रोजन और हाइड्रोजन-सम आयनों (He⁺, Li²⁺, Be³⁺ — एक इलेक्ट्रॉन, कोई भी नाभिक) के लिए सटीक काम करता है, और इसकी तीन अभिधारणाएँ ही पूरा तंत्र हैं:

अभिधारणा 1 · स्थिर कक्षाएँ

इलेक्ट्रॉन बिना विकिरण किए घूमते हैं

इलेक्ट्रॉन कुछ निश्चित अनुमत वृत्ताकार कक्षाओं — स्थिर अवस्थाओं — में निश्चित ऊर्जा के साथ घूमता है, और किसी कक्षा में रहते हुए यह विकिरण नहीं करता। चिरसम्मत भौतिकी से यही एक विचलन परमाणु को ढहने से बचाता है।

अभिधारणा 2 · क्वांटीकृत कोणीय संवेग

केवल विशेष कक्षाएँ ही अनुमत हैं

कोई कक्षा तभी संभव है जब उसका कोणीय संवेग h/2π का पूर्णांक गुणज हो: mvr = nh/2π, n = 1, 2, 3… क्वांटम संख्याएँ यहीं भौतिकी में प्रवेश करती हैं — n पहली क्वांटम संख्या है।

अभिधारणा 3 · छलाँग की शर्त

ऊर्जा केवल छलाँगों में बदलती है

एक कक्षा से दूसरी में जाने पर एक फोटॉन अवशोषित या उत्सर्जित होता है, जिसकी आवृत्ति hν = E₂ − E₁ का पालन करती है। नीचे की छलाँग → उत्सर्जन (एक स्पेक्ट्रमी रेखा); ऊपर की छलाँग → अवशोषण। बीच की कोई कक्षा नहीं, कोई सतत स्पेक्ट्रम नहीं।

इन्हीं तीन पंक्तियों के बीजगणित से वे चार सूत्र निकलते हैं जो इस खंड के हर संख्यात्मक प्रश्न को चलाते हैं। परमाणु क्रमांक Z वाली एक-इलेक्ट्रॉन स्पीशीज़ की nवीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन के लिए:

त्रिज्याrₙ = 0.529 n²/Z Å वेगvₙ = 2.18×10⁶ Z/n m/s ऊर्जाEₙ = −13.6 Z²/n² eV छलाँगν̄ = R_HZ²(1/n₁²−1/n₂²)

तालिका 1 — हाइड्रोजन की सीढ़ी, स्तर-दर-स्तर (eV वाला कॉलम याद करें)
स्तर	त्रिज्या rₙ	वेग vₙ	ऊर्जा Eₙ (J)	ऊर्जा (eV)
n = 1	0.529 Å	2.18 × 10⁶ m/s	−2.18 × 10⁻¹⁸	−13.6
n = 2	2.12 Å	1.09 × 10⁶ m/s	−5.45 × 10⁻¹⁹	−3.40
n = 3	4.76 Å	7.27 × 10⁵ m/s	−2.42 × 10⁻¹⁹	−1.51
n = 4	8.47 Å	5.45 × 10⁵ m/s	−1.36 × 10⁻¹⁹	−0.85
n = 5	13.2 Å	4.36 × 10⁵ m/s	−8.72 × 10⁻²⁰	−0.54
n = ∞	∞	0	0	0 — आयनन सीमा

NTA ट्रैप · तीन निर्भरताएँ, तीन दिशाएँ

सूत्र जान-बूझकर अलग-अलग दिशा में चलते हैं: r ∝ n² (बढ़ता है), v ∝ 1/n (घटता है), E ∝ −1/n² (शून्य की ओर बढ़ता है)। “इलेक्ट्रॉन सबसे बाहरी कक्षा में सबसे तेज़ चलता है” गलत है — वेग n = 1 पर अधिकतम (2.18 × 10⁶ m/s) होता है और बाहर की ओर घटता जाता है। अभिकथन-कारण प्रश्न गलत राशि को गलत प्रवृत्ति से जोड़ते हैं; तीनों को एक समूह के रूप में याद करें, कभी अलग-अलग नहीं।

NTA ट्रैप · ऋण चिह्न और उत्तेजित अवस्था से आयनन

ऊर्जा ऋणात्मक होती है क्योंकि शून्य ऊर्जा एक मुक्त इलेक्ट्रॉन (n = ∞) की है। इसलिए “H की आयनन ऊर्जा −13.6 eV है” गलत कथन है — IE +13.6 eV है, वह ऊर्जा जो आपको देनी पड़ती है। और उत्तेजित स्तर से आयनन में n² से भाग होता है: n = 2 से यह 3.4 eV है, n = 3 से 1.51 eV — कभी 13.6 नहीं। परीक्षा He⁺ के लिए भी ऐसे प्रश्न पूछती है: Z² से गुणा करें।

अब छलाँग की शर्त अपने सबसे प्रचलित रूप में — रिडबर्ग समीकरण। किसी H-सम स्पीशीज़ में n₂ से n₁ तक नीचे के संक्रमण के लिए:

तरंग संख्याν̄ = R_H × Z² × (1/n₁² − 1/n₂²) फोटॉन ऊर्जाE = hν = hc/λ रेखाओं की संख्याn(n−1)/2

जहाँ R_H = 109677 cm⁻¹। निचले स्तर n₁ का हर चुनाव एक श्रेणी बनाता है — हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम के पाँच नामित परिवार। हर श्रेणी के ऊपरी सदस्य (n₂ → ∞) “श्रेणी सीमा” पर पास-पास सिमट जाते हैं।

तालिका 2 — हाइड्रोजन की पाँच स्पेक्ट्रमी श्रेणियाँ
श्रेणी	निचला स्तर n₁	ऊपरी स्तर n₂	क्षेत्र	पहली रेखा (n₂ = n₁+1)
लाइमन	1	2, 3, 4 …	पराबैंगनी	121.6 nm (2→1)
बामर	2	3, 4, 5 …	दृश्य	656.3 nm (3→2)
पाशन	3	4, 5, 6 …	अवरक्त	1875 nm (4→3)
ब्रैकेट	4	5, 6, 7 …	अवरक्त	4051 nm (5→4)
फुंड	5	6, 7, 8 …	अवरक्त	7458 nm (6→5)

NTA ट्रैप · Z² हर तरंगदैर्घ्य को छोटा करता है

H-सम आयनों के लिए पूरा स्पेक्ट्रम Z² से खिसक जाता है: He⁺ की हर रेखा हाइड्रोजन की संगत रेखा (वही n) के 1/4 तरंगदैर्घ्य पर होती है। इसी कारण He⁺ (Z = 2) की कुछ रेखाएँ दृश्य-UV सीमा पर आती हैं, जबकि हाइड्रोजन की संगत रेखाएँ गहरे IR में होती हैं, और इसी से प्रसिद्ध मिलान वाला प्रश्न बनता है: He⁺ 4→2 का λ ठीक H 2→1 के बराबर है, क्योंकि 4 × (1/4 − 1/16) = (1/1 − 1/4)। रिडबर्ग समीकरण में Z² भूल जाना इस अध्याय के संख्यात्मक प्रश्नों की सबसे आम गलती है।

दो गिनती वाले तथ्य सिद्धांत को पूरा करते हैं। जब कोई इलेक्ट्रॉन स्तर n से निम्नतम अवस्था तक क्रमशः नीचे आता है, तो उत्पन्न हो सकने वाली स्पेक्ट्रमी रेखाओं की अधिकतम संख्या n(n−1)/2 है — स्तरों का हर जोड़ा एक रेखा देता है (n = 5 से: दस रेखाएँ)। और कक्षा n में कोणीय संवेग n·h/2π है: दूसरी कक्षा में यह h/π है, एक प्रिय एक-पंक्ति प्रश्न। मॉडल की सीमाएँ — सूक्ष्म संरचना नहीं समझा पाना, ज़ीमान विपाटन नहीं समझा पाना, बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणुओं पर मौन रहना, और दे ब्रॉग्ली व हाइज़ेनबर्ग से टकराव — ठीक वहीं से § 2.5 कहानी आगे बढ़ाता है।

ऊर्जा स्तरों और हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम को देखें

एक सीधी-सादी सीढ़ी — स्तरों की सीढ़ी, पाँच श्रेणियाँ, और एक लाइव सॉल्वर जो हर संक्रमण का λ निकाल देता है।

FIG. 1 — The ladder: each rung is a stationary state with energy −13.6/n² eV, and the rungs crowd together as n grows (that compression is the −1/n² scaling made visible). Each downward arrow is one emitted photon — one spectral line. Arrows landing on the same level (n₁) belong to the same series.

Try it live

Bohr Transition Solver

Species (Z)

From n₂

To n₁

Constants: R_H = 109677 cm⁻¹ · h = 6.626 × 10⁻³⁴ J s · c = 3.0 × 10⁸ m/s · 1 eV = 1.602 × 10⁻¹⁹ J. Diagram energy labels show hydrogen values — multiply by Z² for H-like ions.

हल किए गए उदाहरण (चरण-दर-चरण)

सूत्र → मान रखें → मात्रक जाँचें। जो चरण यहाँ दिखते हैं, वही रफ़ शीट पर लिखने से पूरे अंक मिलते हैं।

उदाहरण 01आधारभूत · NEET

n = 2 की तिकड़ी: त्रिज्या, वेग, ऊर्जा

हाइड्रोजन की दूसरी कक्षा में इलेक्ट्रॉन की त्रिज्या, वेग और ऊर्जा ज्ञात कीजिए।

त्रिज्याr₂ = 0.529 × 2²/1 = 0.529 × 4 = 2.12 Å — बोर त्रिज्या का चार गुना (n² निर्भरता)।
वेगv₂ = 2.18×10⁶ × 1/2 = 1.09 × 10⁶ m/s — n = 1 का आधा (1/n निर्भरता)।
ऊर्जाE₂ = −13.6 × 1/2² = −13.6/4 = −3.40 eV = −5.45 × 10⁻¹⁹ J (1/n² निर्भरता)।
जाँचतीन सूत्र, तीन अलग निर्भरताएँ — तालिका 1 से मिलान करें ✓

2.12 Å · 1.09 × 10⁶ m/s · −3.40 eV

उदाहरण 02JEE Main · रिडबर्ग

4 → 2 रेखा: तरंगदैर्घ्य और क्षेत्र

हाइड्रोजन में इलेक्ट्रॉन के n = 4 से n = 2 पर आने पर उत्सर्जित प्रकाश का तरंगदैर्घ्य ज्ञात कीजिए। श्रेणी और स्पेक्ट्रमी क्षेत्र का नाम बताइए। (R_H = 109677 cm⁻¹)

सूत्रν̄ = R_H(1/n₁² − 1/n₂²) = 109677 × (1/4 − 1/16)
मान रखें= 109677 × 3/16 = 20564 cm⁻¹
व्युत्क्रमλ = 1/20564 = 4.863 × 10⁻⁵ cm = 486.3 nm
वर्गीकरणn₁ = 2 पर आता है → बामर श्रेणी, दृश्य क्षेत्र (नीला-हरा) — ऊपर के सॉल्वर पर जाँचें।

λ = 486.3 nm · बामर · दृश्य

उदाहरण 03JEE Main · Z² का जाल

H-सम परिवार की आयनन ऊर्जाएँ

He⁺ और Li²⁺ (दोनों निम्नतम अवस्था से) की आयनन ऊर्जा ज्ञात कीजिए और हाइड्रोजन के 13.6 eV से तुलना कीजिए।

सूत्रIE = 13.6 × Z²/n² eV — निम्नतम अवस्था n = 1, अतः IE = 13.6 Z²।
He⁺IE = 13.6 × 2² = 54.4 eV — हाइड्रोजन का चार गुना।
Li²⁺IE = 13.6 × 3² = 122.4 eV — हाइड्रोजन का नौ गुना।
क्योंनाभिकीय आवेश अकेले इलेक्ट्रॉन को अधिक मज़बूती से बाँधता है — वही Z² जो कक्षा की त्रिज्या घटाता है, ऊर्जा-कूप को गहरा करता है। E का पैमाना ×Z², λ का पैमाना ÷Z²।

He⁺: 54.4 eV · Li²⁺: 122.4 eV — Z² का प्रभाव

मुख्य सूत्र और सार बिंदु

सूत्र कार्ड

आठ पंक्तियाँ जो यह विषय हल कर देती हैं

mvr = nh/2πक्वांटीकरण अभिधारणा — केवल इसका पालन करने वाली कक्षाएँ ही संभव हैं।

rₙ = 0.529 × n²/Z ÅH के लिए n = 1 पर बोर त्रिज्या 0.529 Å; n² के साथ बढ़ती, Z के साथ घटती है।

vₙ = 2.18 × 10⁶ × Z/n m/sn = 1 में सबसे तेज़; 1/n के अनुसार घटता है — कक्षा के साथ कभी नहीं बढ़ता।

Eₙ = −13.6 × Z²/n² eV= −2.18 × 10⁻¹⁸ Z²/n² J; n = ∞ पर शून्य, बद्ध होने पर ऋणात्मक।

hν = E₂ − E₁छलाँग की शर्त — नीचे उत्सर्जन, ऊपर अवशोषण।

ν̄ = R_HZ²(1/n₁² − 1/n₂²)रिडबर्ग समीकरण; R_H = 109677 cm⁻¹; n₁ श्रेणी का नाम तय करता है।

स्तर n से IE = 13.6 Z²/n² eVउत्तेजित अवस्थाओं से आयनन — H के n = 2 से 3.4 eV।

स्तर n से रेखाएँ = n(n−1)/2निम्नतम अवस्था तक क्रमिक पतन में अधिकतम रेखाएँ।

स्थिरांक: R_H = 109677 cm⁻¹ · a₀ = 0.529 Å · v₁ = 2.18 × 10⁶ m/s · E₁(H) = −13.6 eV = −2.18 × 10⁻¹⁸ J · h = 6.626 × 10⁻³⁴ J s · c = 3.0 × 10⁸ m/s

तीन अभिधारणाएँ, चार सूत्र — क्वांटीकृत कक्षाएँ, mvr = nh/2π और छलाँग की शर्त इस खंड का हर संख्यात्मक प्रश्न बनाती हैं।
तीन निर्भरताएँ, कभी न मिलाएँ — r ∝ n²/Z, v ∝ Z/n, E ∝ −Z²/n²; हर राशि केवल अपनी प्रवृत्ति का पालन करती है।
रिडबर्ग समीकरण में Z² होता है — सभी H-सम स्पेक्ट्रम हाइड्रोजन के स्पेक्ट्रम हैं जो Z² से खिसके हुए हैं; श्रेणियों के नाम निचले स्तर n₁ से आते हैं।
बोर की सफलताएँ ही उसकी सीमाएँ हैं — H-सम परमाणुओं के लिए सटीक, बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणुओं, सूक्ष्म संरचना और ज़ीमान विस्थापन पर मौन; यही सीमाएँ § 2.5 का द्वार खोलती हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

हाइड्रोजन परमाणु के बोर मॉडल की अभिधारणाएँ क्या हैं?

बोर ने प्रस्तावित किया कि (1) इलेक्ट्रॉन केवल कुछ निश्चित वृत्ताकार, स्थिर कक्षाओं में बिना ऊर्जा विकिरित किए घूमता है; (2) केवल वही कक्षाएँ अनुमत हैं जिनका कोणीय संवेग h/2π का पूर्णांक गुणज हो (mvr = nh/2π); और (3) ऊर्जा का उत्सर्जन या अवशोषण केवल तब होता है जब इलेक्ट्रॉन एक कक्षा से दूसरी में छलाँग लगाता है, hν = E₂ − E₁ ऊर्जा वाले फोटॉन के रूप में।

बोर त्रिज्या क्या है?

बोर त्रिज्या हाइड्रोजन परमाणु की पहली कक्षा की त्रिज्या है, 0.529 Å (52.9 pm)। सामान्यतः nवीं कक्षा की त्रिज्या rₙ = 0.529 × n²/Z Å होती है, जहाँ Z परमाणु क्रमांक है — अतः कक्षाएँ n² के साथ बढ़ती हैं और Z बढ़ने पर छोटी होती हैं।

रिडबर्ग समीकरण से किसी स्पेक्ट्रमी रेखा का तरंगदैर्घ्य कैसे ज्ञात करते हैं?

1/λ (तरंग संख्या) = R_H × Z² × (1/n₁² − 1/n₂²) का प्रयोग करें, जहाँ R_H = 109677 cm⁻¹ और n₁ निचला स्तर है। हाइड्रोजन के 4 → 2 संक्रमण के लिए: 109677 × (1/4 − 1/16) = 20564 cm⁻¹, जिससे λ ≈ 486 nm मिलता है — दृश्य क्षेत्र में बामर श्रेणी की दूसरी रेखा।

परमाणु में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा ऋणात्मक क्यों होती है?

ऊर्जा का शून्य अनंत दूरी (n = ∞) पर स्थित मुक्त इलेक्ट्रॉन को दिया जाता है। बद्ध इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा मुक्त इलेक्ट्रॉन से कम होती है, इसलिए यह ऋणात्मक होती है: Eₙ = −13.6 Z²/n² eV। आयनन ऊर्जा वह धनात्मक ऊर्जा है जो इलेक्ट्रॉन को उसके स्तर से शून्य तक ले जाने के लिए आवश्यक है — हाइड्रोजन की निम्नतम अवस्था के लिए 13.6 eV।

Practice Questions (With Solutions)

पहले सभी प्रश्न खुद हल करें, फिर सबमिट दबाकर अपना स्कोर और हर प्रश्न का पूरा हल देखें, चाहे उत्तर सही हो या गलत। प्रश्नों की भाषा बदलने के लिए ऊपर दिए भाषा टॉगल का उपयोग करें।

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QCC Notes — Class 11 Chemistry

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24 Sep 2026